用“数值计算”法重解《缉古算经》中的勾股术第十七至二十题

     2014-06-17做 、2020-06-19重做

 

《缉古算经》，是继《九章算术》、《孙子算经》、《张丘建算经》之后，我国古代具有较高水平的最重要的古代算经之一。唐初王孝通撰。《缉古算经》全书共二十题。最后六题即第十五至二十题，是勾股算术的问题。王孝通创造性地由勾股问题引出三次方程，并与代数方法结合起来，给出三次方程与四次方程的方程系数的计算方法。并用“带从开立方”解这些三次方程，扩大了勾股算术的范围，发展了勾股问题的解题方法。它集中体现了中国数学家早在公元七世纪，在建立和求解三次方程等方面，所取得的重要成果。这不仅是中国现存典籍的最早纪录，也是在世界数学史上，这方面最古老的著作。

《缉古算经》中有6道解直角三角形的“勾股”题。都是建立代数公式后解题的。 2014年，我以学习古算知识的心情，做过这6道勾股题，皮毛的理解了古算原文。

 

除了以代数公式解题外，我国古算还有以几何图形解题的，即用图形的分割、比较来解题的，我以测试自己解题能力为事，想用图形的分割、比较来解题，重做这6道题。

第15、16题我做成了。写成《用几何图形法重解《缉古算经》中的勾股术第十五 、十六题》一文。很高兴。

高兴之后就扫兴。因为其后的四题，第十七至二十题，却想不出图形的分割方法，无法解题了，只能作罢。

天无绝人之路，不用几何图形、不用代数公式就解不了题吗？不服，就改用“数值计算”的方法来解题。而所谓“数值计算”，不就是根据勾股定理凑算呗。靠手算去凑，那该多烦人。好在有电子表格帮忙，一下子就做出来了。算是得了一个安慰奖。

现将速成的数值计算解题，连同2014年的解题，合并为一，重写本文。

我的心愿其实没有完成。人的才智各有限度，我不再勉强自己了。

 

 3     【第十七题】  句弦相乘，弦多于股  AC=M  C－B=D

 

17、假令有句弦相乘幂一千三百三十七二十分之一，弦多股一、十分之一。问：股多少？

　　答曰：九十二五分之二。

　　术曰：幂自乘，倍多而一，为立幂。又多再自乘，半之，减立幂，余为实。又多数自乘，倍之，为方法。又置多数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即股（句弦相乘幂自乘，即句幂乘弦幂之积。故以倍股弦差而一，得一股与半差为方令多再自乘半之为隅横虚二立廉倍之为从隅多为上广即二多法故五之二而一）。

案：此术脱简既多，法亦烦扰，宜云幂自乘，多数而一，所得四之，为实。多为廉法，从。立方开之，得减差，半之，即股（幂自乘，与勾幂弦幂相乘积等。令勾幂变为股弦并乘股弦差，故差而一，所得乃股弦并乘弦幂）。

【分析】：

1、 已知AC=M 、C－B=D、 M=1337.05 ，D=1.1 。

2、 由AC=M得A=M / C=M / (B+D)，及C=B+D。先求股B。

3、 由勾股定理 A²+B²=C²  →   B²+ M²/ (B+D)²= (B+D)²  →  M²/ (B+D)² =2BD+D² 

→  M²=(2BD+D²) (B²+2BD+D²) →  M²=2DB³+2D2DB²+2D³B+ D²B²+2DD²B+D⁴   →  B³+(2D2D+D²) B² /2D + (2DD²+2D³)B/2D= M²/2D－D⁴/2D   →

→  B³+(2D+0.5D) B² +(2D²) B= (M²－D⁴)/2D    代入M=1337.05 ，D=1.1 最后得：

 B³          + 2.5D B²    +     2D²B        =      (M²－D⁴ )/2D   …… (1 )

置多数，五之，   多数自乘，幂自乘，   倍多而一，为立幂。又多再

二而一，为廉法    倍之，为方法。      自乘，半之，减立幂，余为实。

B³            + 2.75 B²     +        2.42B         =      812591.47

 4     看经文是怎样给出三次方程的：

一、B³的系数为1，所以经文就没有说了。

二、B²的系数P为：置多数，五之，二而一，为廉法。多数即D，五之，二而一实际上是乘5除以2，不就是乘2.5吗！即D×5÷2=2.5D = 2.5×1.1=2.75

三、B的系数Q为：多数自乘，倍之，为方法。即2D²=2×1.1²=2.42

四、自由项R为；幂自乘，倍多数而一，为立幂。幂自乘即M²、倍多数而一即M² / 2D， 称立幂。又多再自乘，半之，即D自乘再自乘为D⁴，同样除以2 D得D⁴/2D。减立幂，余为实。应是 (M²/2D－D⁴/2D)= (1337.05²－1.1⁴) / ( 2×1.1)= 812591.47。这里，“半之”的含义，应该也是“倍多数而一”。

五、从，即建立方程 (1)式：B³+2.75 B² +2.42B= 812591.47

六、开立方除之，即股。得B=92.4

七、于是C=B+D=92.4+1.1=93.5 ，  A=M / C=1337.05/93.5=14.3

由此看来，经文中除“半之”的含义稍有不清外，其他叙述，足够能建立一个完全的三次方程：X³+PX² +QX= R

而案语：“此术脱简既多，法亦烦扰，宜 … ”反而语焉含糊了。

 

“数值计算”法

 已知AC=M 、C－B=D、 M=1337.05 ，D=1.1 。

解题:

设A为近似值，则C=M/A，B=C-D 。 核算 bb=CC-AA ， 如A正确，则 BB-bb=0，否则重取A，再反复计算，直到BB-bb=0。在电子表格上有A=14.3  C=93.5  B=92.4

 

 

设A	C=M/A	B=C-D	BB	bb=CC-AA	BB-bb=0？
14	95.50	94.40	8912.03	8924.93	-12.90
15	89.14	88.04	7750.45	7720.35	30.11
12	111.42	110.32	12170.69	12270.60	-99.92
14.2	94.16	93.06	8659.88	8664.17	-4.30
14.3	93.50	92.40	8537.76	8537.76	0.00
14.4	92.85	91.75	8418.19	8413.89	4.30

 

 

4     【第十八题】  股弦相乘  句少于弦  BC=M  B=C－S

 

18、假令有股弦相乘幂四千七百三十九五分之三，句少于弦五十四五分之二。问：股多少？

　　答曰：六十八。

术曰：幂自乘，倍少数而一，为立幂。又少数再自乘，半之，以减立幂，余为实。又少数自乘，倍之，为方法。又置少数，五之，二而一，为廉法，从。开立方除之，即句。加差，即弦。弦除幂，即股。

【分析】：

1、 这个习题与第17题相似，只是将勾少于弦54.4称为“少数”。现以S表示。

己知BC=M、 C=A+S。M=4739.6 、S=54.4 。先求勾A。

2、 根据“术曰”套公式，即可得

  A³+2.5S A² +2S²A= (M²－S⁴) / 2S       …… (1 )

现以M=4739.6 、S=54.4代入(1 )式，得：

A³+(2.5×54.4)A²+2×54.4×54.4A=(4739.6²－54.4⁴ ) / (2×54.4 )

A³+136A² +5918.72A =125974.233  …… (2 )

3、开立方除之，即勾。解得A=15.3 ，经中没有列出。

4、加差，即弦。C=A+S=15.3+54.4=69.7，经中也没有列出。

5、弦除幂，即股。B=M/C=4739.6/69.7=68，经中答曰：六十八。。

6、又用A²+B²=C²  检验：15.3 ²+68 ² =68 ²  ，OK！

 

“数值计算”法

 己知  BC=M、 C=A+S。M=4739.6 、S=54.4 。

解题:

设B为近似值，则C=M/B，A=C-S 。 核算 aa=CC-BB ， 如B正确，则 AA-aa=0，否则重取B，再反复计算，直到AA-aa=0。在电子表格上有B=68  C=69.7  A=15.3

 

 

设B	C=M/B	A=C-S	AA	aa=CC-BB	AA-aa=0？
67	70.74	16.34	267.01	515.19	-248.18
68	69.70	15.30	234.09	234.09	0.00
69	68.69	14.29	204.20	-42.70	246.90
67.9	69.80	15.40	237.24	262.00	-24.76
68.0	69.70	15.30	234.09	234.09	0.00
68.1	69.60	15.20	230.97	206.22	24.75

 待续