五个连续整数的乘积不是完全平方数的证明.

一  分析这个问题的立脚点

先举一个例子；

7  8  14  16   四数相乘，乘积S＝7×8×14×16＝7×8×（2×7）×（2×8）=2²×7²×8² =12544。1254是完全平方数。当然，它不是连续整数相乘，也不是五个。这个例子只是说明：有多个整数相乘时，在乘积S中，如果它的各个因数的指数都是偶数（最少是2），S才是完全平方数，否则就不是完全平方数。这是分析这个问题的立脚点。

二   用奇偶位置的安排来证明

设五个连续整数相乘，其乘积为S。又设M为任意整数。 那么；

S ＝    A     ×    B    ×     C    ×    D   ×    E 

S ＝（2M－1）× （2M） × （2M+1）×（2M+2）×（2M+3）    两偶三奇

如6952862280 ＝91 × 92 ×93 × 94 × 95＝83383.8 ²       非完全平方数

S ＝   （2M）×（2M+1）× （2M+2）×（2M+3）×（2M+4）    三偶二奇

如6586922160 ＝ 90 ×91 × 92 × 93 × 94＝81159.8 ²        非完全平方数

证明之一

 设：五个连续整数中，有两个偶数，三个奇数，即 奇A   偶B   奇C   偶D  奇E

偶数是B=2M  、D=2M+2=2（M+1）。应该在其他三个位置中，找到M（或含M的因数），与M+1（或含M+1的因数），才能与B、D一起，构成  M² 与（M+1）² 。

如果M是偶数，M+1就是奇数；如果M是奇数，M+1就是偶数，总之这两个数是一奇一偶。不管奇数，单说这一个偶数。现实是，两个偶数已有位置了，再加进一个偶数，是加不进的。若在奇数位置去找，则这个位置不可能有偶数因子，总之有两个矛盾。这样，这五个连续整数相乘，还设乘完，就给否定了：乘积不可能是完全平方数。

如  91  92  93  94  95  中  92=2×46 、94=2×47，  M=46是偶数 。偶数已有92、94了，再要给偶数46找一个合法位置，怎么可能呢。46无法安身，46²无法出现。而在奇数91  93  95中，都不会有偶数46的因子。所以乘积不可能是完全平方数。

证明之二

 设：五个连续整数中，有三个偶数，两个奇数，即  偶A   奇B   偶C   奇D   偶E

偶数是 A=2M 、C=2M+2=2（M+1） 、E= 2M+4=2（M+2） 。应该在其他二个位置中，找到M、M+1、M+2 这三个数或它们的因子。

同上理，如果M是偶数，则三个数中有两偶一奇。如果M是奇数，则有两奇一偶。总之，最少有一个是偶数。而现实是，三个偶数已有位置了，再加进一个偶数，不就超过五个了吗？同时也不可能连续，所以是找不到的。若在奇数位置去找，则这个位置不可能有偶数因子，所以又不行。这样，这五个连续整数相乘，还设乘完，就给否定了：乘积不可能是完全平方数。

如  90  91  92  93  94   中  90=2*45    92=2*46   94=2*47，  其中有因子M+1=46是偶数。而偶数已有90、92、94了，再要给偶数46找一个合法位置，怎么可能呢。而在奇数91  93  中，都不会有偶数46的因子。所以乘积不可能是完全平方数。证毕。