初等数论《完全平方数》 习题集(1)

 

一  完全平方数

自然数         N     1   2   3    4    5     6     7     8    9    10     11   12    13  …

完全平方数  N²    1   4   9  16   25   36   49   64   81   100  121  144  169 …

 

二  完全平方数的特征

 

1  末位数字为：0、1、4、5、6、9的，可能是完全平方数，如100  81  64  225  36  169等等。但有的不是完全平方数，如200  181  464  325  56  189 等等。

2  末位数为：2、3、7、8的整数，肯定不是完全平方数。如22222、123  167  38 等等，

3  偶数的平方是4N型的偶数。个位数字是偶数0、4 、6，十位数字有奇有偶。它们只能是

00  04  24  44  64  84、16  36  56  76  96

4  奇数的平方是4N+1型的奇数。个位数字是奇数1、9 ，十位数字有奇有偶。即只能是

01  21  41  81  09  29  49  69  89

5  尾数为25的数，可能是完全平方数。如225  625等等，

但有的不是完全平方数，如125  325  7125等等。

6  3k或3k+1型的数，可能是完全平方数。如144=3×48 、121=3×40+1等，

但有的不是完全平方数，如156 =52×3、244=81×3+1等等。

7  完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。数字和是2,3,5,6,8的，肯定不是完全平方数。

8  如果质数p能整除A，但p的平方不能整除A，则A不是完全平方数。如：

7︱196   49︱ 196    A=196    是完全平方数

       7︱119   49ト119   A=119  不是完全平方数

9  相邻整数的平方数之间，不可能有别的平方数。如7²=49、8²=64之间，不可能有别的平方数。

总之，以上的判别法，只判别可能是完全平方数，但不能肯定是完全平方数。实质上只适合判别非完全平方数。

10  判别完全平方数的必要充份条件是：因数一定是偶次方，因数个数一定是奇数。最直接的方法是质因数分解。例如144=12²=2⁴×3²

11  平方差公式：X²-Y²=（X-Y）（X+Y） 

12  完全平方和公式：（X+Y）²=X²+2XY+Y²

13  完全平方差公式：（X-Y）²= X²-2XY+Y²

14  p=4n+1型的素数，都能表示为两个整数的平方和，如n=7时， p=29=2²+5² 等等

    p=4n+3型的素数，不能表示为两个整数的平方和，如n=7时， p=31≠x²+y² 等等

15  两个奇数的平方和，一定不是完全平方数。如3²+5²=34≠y²  、9²+15²=306≠y² 等等

15  两个质数的平方和，一定不是完全平方数。如2²+3²=13≠x²   、 3²+5²=34≠y²等等

可见，两个质数的平方和，可能是质数，也可能是合数，但肯定不是完全平方数。

17        拉格朗日四平方和定理：任何一个正整数都可以表示为不超过四个整数的平方之和。

如 7=2²+1²+1²+1²  34=5²+3²+0²+0² 、    87=7²+5²+3²+2²=7²+6²+1²+1²=9²+2²+1²+1²  等等

三  习  题

 

1  在十进制中，各位数字全由奇数组成的完全平方数共有多少个？

答：2个，即1 、9 。

解：奇数的平方是4N+1型奇数。一位数字为奇数的，只有 1、9 。二位数字以上的完全平方数，末两位尾数不是奇偶就是偶偶，没有奇奇的，所以二位以上的完全平方数，没有全是奇数的。例如  11  11111、13579、  315351   9999999等全奇数，都不可能是完全平方数。

 

 

2  下列四个数中：513231  121826  122530  625681有多少个完全平方数。

答：只有625681是完全平方数。

解：根据尾数判别法，完全平方数的末两位尾数只能是：

00  04  24  44  64  84、16  36  56  76  96   25  01  21  41  81  09  29  49  69  89  

只有625681 的尾是81，可能是完全平方数。但还要作充份条件的判别：

    完全平方数的必要、充份条件是：它的各因数一定是偶次方。最直接的方法是质因数分解。

625681=7²×113² ，合符充份条件，所以625681是完全平方数

 

3  证明：形如11，111，1111，11111，…的数中没有完全平方数．

奇数为2n+1，则它的平方为4n²+4n+1，显然除以4余1．现在这些数都是奇数，它们除以4的余数都是3，所以不可能为完全平方数．

且奇数的平方，十位数字必是偶数，而11、111 等，十位上的数字为1，所以不是完全平方数。

 

4  证明39个5和4个0组成的数，不可能是完全平方数

证：

555…550000 的数字和为39*5=195 ，195的数字和为1+9+5=15，15的数字和为6。

但完全平方数的数字之和，只能是0,1,4,7,9。所以它不可能是完全平方数

 

5  一个自然数X加上60,为一完全平方数。如果加上43, 则为另一完全平方数。求X。

答：X=21

解：有X+60=A² 及X+43=B² ，两式相减：A²－B² = 60－43=17= (A+B)(A-B)=17*1  → (A+B)=17、 (A-B)=1 →2A=18   A=9   → B=8

X= A²－60=81-60=21 或  X= B²－43=64-43=21

 

6  一个自然数X减去45及加上44都仍是完全平方数，求此X。

答：X=1981

解：有X－45=A² 及 X＋44=B² ，两式相减：B²－A² = 44＋45=89= (B+A)(B-A)=89*1，两因数同奇，有整数解  (B+A)=89、(B-A)=1

→  2B=90   B=45  B² =2025    X= B²－44=2025-44=1981

或    A=44  A² =1936    X= A²＋45=1936+45=1981

 

 

7  求一个能被180整除的最小完全平方数X²

答：该最小完全平方数是900

解：X² 应有因数180与A，即应有X²=180*A 。180分解后有，X²=6²×5×A

完全平方数中各因数的指数都应等于偶数，现在5的指数为1，所以最小取A=5，才合要求。这样，

X²=6²×5² =30² =900

 

8  一个两位数与它的反序数(个位数字与十位数字交换)的和，是一个完全平方数,

求这样的两位数.

答：这样的两位数是 29  38  47  56

解：设这样的两位数是AB ，题意AB＋BA＝X² ，即10A+B+10B+A= X²  

→  11 (A+B)＝X² ，可见A+B应=11 。若A=2 则B=9 … 等等。检算如下：

A    B     A B   B A    A B＋B A   是否是完全平方数

2    9      29    92       121        是11的平方

3    8      38    83       121        是11的平方

         4    7      47    74       121        是11的平方

         5    6      56    65       121        是11的平方

         6    5      65    56       121        重复了   

 

9  若自然数X²是一个完全平方数，则下一个完全平方数是多少？

答：是X²+2X+1。

解：

X的下一个数是X+1，它的完全平方数是 (X＋1) ² =X ²+2X+1

例如 4²=16 ，4+1=5  5²=16+8+1=25

 

10  相邻自然数之差是1。相邻自然数平方之差是 (N+1)²－N² ＝2N+1  列表

N           0    1    2    3    4     5     6     7    100    100000    …

( N+1)        1    2    3    4    5     6     7     8    101    100001    …

( N+1)²－N²   1    3    5    7    9    11   13   15    201    200001   2N+1

 待续