五个连续整数的平方和不是完全平方数的证明.

一

设五个连续整数为M－2、M－1、M、M+1、 M+2.，其平方和为S。 那么

S ＝（M－2）²＋（M－1）²＋M ²＋（M+1）²＋（m+2）²

＝M²－4M+4+ M²－2M+1＋M²＋M²＋2M+1＋M²＋4M+4＝5M²+10         ＝5（M²+2）.

如果S是完全平方数，它的各个因数的指数应该是偶数，最少是2吧。现在的因数只有一个5、一个（M²+2）。为了能使S成为完全平方数，（M²+2）必须要表达为5×A² 。这样才能与5一起，组成等式 5（M²+2）=5 (5×A²)=5² ×A² ，这样才是一个完全平方数。

但如果（M²+2）中没有一个5的因数，那末就不可能使（M²+2）=5×A² ，也就不可能使 S＝5（M²+2）=5 (5×A²)=5² ×A² ，S就不可能成为一个完全平方数。

可惜的是，（M²+2）恰恰没有一个5的因数。因为M不论是多少，M²的个位数只能是0，1，4，5，6，9，（M²+2）的个位数则只能是2.3，6，7，8，1 ，没有5。

所以S＝5（M²+2）≠5² ×A² 。虽然整个5（M²+2）有5的因数，但远远不够。即使有5² 的因数，还不行，还要有A² 因数才行，不能缺一。也就是说，S ＝5（M²+2）不可能是完全平方数了。

二

至于有的网文说，“ S ＝5（M²+2）能被5整除，但不能被25整除，所以S就不是完全平方数”，我以为这个结论虽然没有错，但这样论证，还不严密。S是完全平方数的条件有两个：一要有5²，二要有A^2。。现在连第一个条件都达不到，所以肯定不是完全平方数，这不错。但作为严密论证，必须还要指出第二个条件。不说第二个条件，似乎S只要能被25整除，就是完全平方数了。其实这不严密。例如，假设S ＝4325，能被25整除，但它仍不是完全平方数。因为S ＝4325＝25*173，但173不是平方数，所以S ＝4325也不是完全平方数。

又如S ＝5×845=5×(5×169)= 5 ×845＝4225，它是65的平方，这下可以了吧。此时 A² ＝169。但要使（M²+2）=5×A² ＝5 ×169=845，那是不可能的。最接近，取M=29，则（M²+2）＝843不是845。反证了结论的严密。

《数论》中的证明，一不小心就不正确或不严密。网上论证、跟进的文章似乎都没有说透，我这个79老学生就忍不住跳出来议论一下。但是，是不是真正严密了，心里还是没有底。