初等数论《 整除 》 习题集(连载 4)

                           习  题

 

40  三个学生，年龄一个比一个大3岁,三人年龄的乘积是1620，求三学生年龄的和。

答：36

解：1620=2×2×3×3×3×3×5 =9×12×15 ， 取 9+12+15 = 36

41  两个数的和是107,它们的乘积是1992,这两个数分别是多少？

答：24与83

解：1992=2×2×2×3×83=24×83

42  如果两个数A、B之和是64,两数的积可以整除4875,那么这两数之差是多少？

答：14 。即 A=39、B＝25、A+B=64、AB=39×25=975、4875÷975=5 整除

解：题意是A+B=64，(A×B)∣4875，求A－B。

4875=3×5×5×5×13=13×3×5×5×5=39×25×5    其中39+25=64 ，正好是A+B，所以A=39、

B＝25，同时，A×B=39×25 ，而4875÷(39×25) = 5正好整除，所以

A－B=39－25=14。

题外感言。

真是出题容易，做题难啊。例如 先设知 A= 7、B=12、C=13， A+B+C= 32，

A×B×C=7×12×13=1092，又设1092×5=5460。便可出题：

如果三个数A、B、C之和是32, 三个数的积可以整除5460,那么这三个数是什么？

要你去做，你将如何下手呢？首先得质因数分解，再去调配个数、和、积，再验算。我就

是这样应对的。所谓调配，就是凑而已。

43. 某一个数A，与它自己相加、相减、相乘、相除，得到的和、差、积、商之和为256。这个数是多少？

答：A=16

解：A+A=2A    A-A=0   A×A=AA    A÷A=1  相加 → A2+2A+1=256  →  A=16

44 如果将八个数14，30，33，35，39，75，143，169平均分成两组，使得这两组数的乘积相等，问怎样分组。

答：两组为33、35、30、169 和14、39、75、143 

解：两组数的乘积相等，说明两组质因数相同。先把八个数的质因数分解出来，再将这些质因数调配成乘积相等的两组。原则是这样，但分起来就要有点凑了。

     数      14        30        33        35      39        75         143       169   

质因数   2  7    2  3  5     3  11    5  7    3  13   3  5  5    11  13    13  13 

结果是：  

       质 因 数     2     3     5     7     11    13      

         个 数       2     4     4     2      2      4

每组质因数个数   1     2     2     1      1     2

凑得：33、35、30、169 和 14、39、75、143

45 观察1+3=4；4+5=9；9+7=16；16+9=25；25+11=36这五道算式，找出规律，然后填

   写  2025＋（  ）＝ (     ) 

答：2025＋  91  ＝ 200216

  解：算式可表达为A+B=C，实际上是一个数列，列号为N，则A= N2 、B=2N+1、C=(N+1) 2

A+B=C即为 N2+2N+1 = (N+1) 2 ，数列如下：

                      N              1           2             3              4              …       N  

N N+2N+1 = (N+1) 2   1+3=4；  4+5=9；  9+7=16；  16+9=25； …   2025+？= ？

现在已知A= N 2 =2025，则N=√A=√2025= 45 、由此知B=2N+1=91、C=A+B=2116，所以有

2025+ 91 = 2116。

46  13XY45Z能被792整除，问XYZ各为多少？(克罗地亚国家数学竞赛题)

答：X=8 、Y=0、Z=6。即1380456÷792=1743。

解：792=8×9×11=8×99。先解决除以8的问题。再直接解决除以99的问题，不必分

9与11两步。

由于只有456÷8为整除，所以得Z=6。 此时有13XY456

而13XY456能否被99整除，可用“两位一段，各段相加法”去判别，即将13XY456从尾向左两位一段的分，分为 1  3X  Y4  56  ，相加，1＋3X＋Y4＋56 ﹦99的倍数，如99、198等

    0  1  

    3  X     只有X=8   进1、得尾数9 ：1+X+4+6 =19  

    Y  4     只有Y=0   进位的1＋3+Y+5 = 9

+  5  6   

   9  9

所以13XY45Z = 1380456 ，1380456÷792＝1743 整除。此题几本书上重见。

47  N是75的倍数，并有75个约数(因数)，试求N/75 

答：N=32400 、 N/75=432

解：首先注意：约数个数75，成奇数，说明N是一个完全平方数。

而其约数的指数只能有三种清情况：

75 =           得指数      约数个数             N =

3×25          2   24        75              3Λ2 5Λ24          3Λ24 5Λ2，

5×15          4   16        75              3Λ4 5Λ16          3Λ16 5Λ4

3×5×5      2   4   4       75              2Λ2 3Λ4 5Λ4     3Λ2 5Λ4 2Λ4     5Λ2 3Λ4 2Λ4  

其中223454 =202500、、325424 =90000、、523424=32400都是完全平方数，以32400为最小， 即N = 75×432 = 32400 ，N /75 =432，而√32400=180 。

                                   

48  那些连续自然数之和为63 ，求所有解。

答：有三个解，

以71为首的连续 3项，记为 (3、71)

以20为首的连续 9项，记为 (9、20)

以 6为首的连续16项，记为 (16、6)

     解： 63=6×6×6=216 ，216是偶数。我以前认为偶数2N，只能分拆出奇数个连续自然数，

而不能分拆出偶数个连续自然数的。所以只要由偶数2N除以奇数项g，得到整数后，就能分拆。例如：

216÷3=72   可以分柝为 71  72  73

216÷9＝24  可以分柝为 20  21  22  23  24  25  26  27  28 。而偶数2N除以偶数项w是不必要的。

但在翻了书本之后才知道我错了，若“偶数2N除以偶数项w”得到的商，其尾数是0.5的话，是可以分拆出偶数项的。例如：

216÷16=13.5，是可以分拆出16项的。首先列出13，14，再左右排序，即可得：

6   7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20  21 ，16项之和为216。

所以此题要用216除以2  3  4  6  8  9  12  16  18 来试除，再判别能否可以柝分。

       216除以     2      3      4     6      8     9      10      12     16     18

   商(中间项)   108    72    57    36    27    24    21.6    18    13.5    12

      能否柝分    否     能     否    否    否     能      否      否      能      否

49 将14个互不相同的自然数，从小到大依次排成一列，已知它们的总和是170，如果去掉最大数和最小数，那么剩下的总和是150，在原来排成的次序中，第二个数是多少？ 

答：7

解：  最大与最小数的和为170－150=20，设最小数为1，则最大为20－1=19，此时150依次

   排成12个数(14－2)，150/12=12.5，先列12、13，再左右排列，得

18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7=150，原先的170即为

19+18＋17＋16＋15＋14＋13＋12＋11＋10＋9＋8＋7＋1=170， 所以第二个小数为7。

50 3！=2585A01B738C849766DE000，其中A B C D E 表示不相同的偶数，且C＞B，

求A B C D E

答：A=2、B=6、C=8、D=4、E=0 23！=25852016738884976640000  

   解：

1、先解决末尾的E，E=0。因为23！=1×2×3×4×5×6…×10× …  ×23，中间有许多偶数及5、10、15、20，所以末尾应有4个0，已有3个0，因此E肯定为0 。

2、再解决D，D=4。 有了2585A01B738C849766D0000，把末尾0去掉，剩下2585A01B738C849766D。看末三位66D，判别能否整除8，（判别8，已包含了判别2、4）只有664÷8=83，才整除，所以D=4。得2585A01B738C84976640000。

3、再解决A、B、C。A=2、B=6、C=8。方法是判别能否整除9与11。合并为能否整除99。

可按两位一段，分为若干段，各段相加，凑成99的倍数99、198、297、396  …  即 ：

00+00+64+76+49+C8+38+B7+01+5A+58+2=353+A+10B+10C，

其中10B、10C是因为B 与C  在十位上的原因。去掉99的倍数297后，剩56+A+10(B+C)。

一设  56+A+10(B+C)=99， 若A=3、则有10(B+C)=40 ， B+C=4，由于规定A、B、C是不相同的偶数，所以一设行不通。

二设  56+A+10(B+C)=198，若A=2、则10(B+C)=140 ， B+C=14，此时可得C=8、B=6，或C=6、B=8，但规定C＞B，所以只能取C=8、B=6了。A=2、B=6、C=8 。至此还没有完，还得三设，看有没有其他结果。

三设  56+A+10(B+C)=297，结果行不通。所以唯一之解为A=2、B=6、C=8 。

此题用4个己知判别法解4个末知数。即用5、8判末尾数、用9、11判中间数，但题中有5个末知数，只能增加限止条件才能判别5个末知数。回过头来看，题中规定的“A B C D E 表示不相同的偶数，且C＞B ”，是出题老师早就注意到了的关键，否则就没有正确解了。

靠乱凑是不行的。但一旦原理明白了，也就不难入手。当然也很繁琐。解题只能耐心一点罗。

51   一个两位数，它的各位数字和的3倍，与这个数加起来的和，等于原数的两个数字交换了位置后所得之两位数，这样的两位数有多少个？

答：有4个，即12  24  36  48 。

解：题目咬嘴。其实是有一个两位数A B ，有关系如下3 ( A + B ) + A B = B A 即

3 A +3 B +10 A + B =10 B + A  →  12 A=6 B →  2 A = B 枚举如下：

A =     1    2    3    4  

B =     2    4    6    8    共4个数  A B = 12、24、36、48  

如A B =1 2 ，则有 3 (1+2 ) +12 = 21 = B A  等等

52  已知两位数A B 且满足A×B × A B = B B B  ，求这个两位数。

答：37

解：题意  A×B×(10A+B) =100B+10B+B → 10AAB+ABB=111B  →B (10AA+AB)=111B    →    10AA+AB=111  → A (10A+B) =111 = 3×37 此式前后对应，有：

   A=3  、 (10A+B) = 37 ，  则B=7 ，  A B =3 7   

检验 3×7×37=777

53  若N=2A78是一个能被17整除的数，求A

答：A=2、即N=2278  2278÷17=134

解：N=2A78 = 2078+100A

先看 2078÷17=122…4 、 100A÷17=5A…15A  可知

N=2A78 = 2078+100A = 122×7+4 + 5A×17+15A = 17×(122+5A) + 4+15A，

由于17∣N，所以17∣(4+15A) ，即解不定方程(4+15A)÷17=整数，很简单A=2。

2A78÷17=2278÷17= 134，商是整数、又无余数，这不是整除吗！

54  五位数ABCDE是9的倍数，其中ABCD是4的倍数那么ABCDE最小值是多少？

答：11124。做完题才发现，应是10008

解：  先看4的倍数： 1000 A+100 B+10C +1 D  

考虑到整除4要看末两位，所以想，如果C=1，则D=2 ，于是有10C +1 D =12，12÷4=3为整除。此时A=B=C=1、D=2，A B C D= 1112，而ABCDE=1 1 12 E  

再考虑到1 1 12 E是9的倍数，各位数之和 1+1+1+2+E 应=9，E只能是4，所以

ABCDE=11124， 

注：后来才发现，ABCD=1000 才是能被4整除的最小值，所以ABCDE =10000 E ，E=8，ABCDE =1000 8才是能被9整除的最小值。

又想，如果要最大值，，又怎样做？有ABCD=99 96 ，而 ABCDE=9996 3就是最大了。

55  算式□＋91=○中，□盖住的是一个两位数，且是9的倍数，○盖住的是7的倍数。恢复算式。

答：63+91=154

解：此题笨算：2×9+91=18+91=109   109÷7=15  余4  不对

3×9+91=27+91=118    118÷7=16 余6  不对

                   ……

7×9+91=63+91=154   154÷7=22       OK ！  这不是太笨了吗。

主要问题在于  91=7×13，就是7的倍数，所以□也应是7的倍数，□既是9的倍数，又是7的倍数，所以□=7×9=63，即有63+91=7×9+7×13=7×(9+13) =7×22=154 

56  A、B和C都是两位的自然数，A、B的个位数分别是7和5，C的十位数是1，如果满足等式AB+C=2005,则A+B+C=? 

答：A+B+C==57+35+10=102

解：   A×B时，因尾分别是7与5，所以有7×5=35，尾数一定是5。而A+B+C =2005 ， 尾数也是5，所以C的个位应该为0 ，C=10。于是AB =2005－10=1995 

分解1995得1995=57×35，前后对照可见A=57、B=35，A+B+C==57+35+10=102 

57  ABCD乘9= DCBA， A=? B=? C=? D=?

     答：A=1  B=0  C=8  D=9 、ABCD=1089 、1089×9=9801 。

     解： 题意是 9 ×（1000A+100B+10C+D）= 1000D+100C+10B+A

                 9000A+900B+90C+9D= 1000D+100C+10B+A

8999A+890B－10C－991D＝0         （1）

关键在于A只能是1，D只能是9。由 (ABCD)×9=DCBA，可得竖式：

A B C D                     1 B C 9

×       9                     ×       9  

D C B A                      9 C B 1  

注意：A不能＞1，否则乘积就是5位数了，所以A=1，且9×B不能进位，这样，B≦1，

而此时A已等于1，所以B只能是0， 便得D=9，代入（1）式得：

8999×1+890B－10C－991×9=0 

8999+890B－10C－8919=0  

80+890B－10C=0 。显然，按此式算，B也是为0 。B=0 则 80－10C = 0 ，C=8。

最后：ABCD=1089。9×1089=9801，正合题意。

我把这道题给初中二年级的盈盈做，她竟不费时的做出来了，真不要小看孩子了。

这道题出得很刁难。我试算过：除了乘4，有4×（ABCD）= DCBA外，其他乘8、乘7、… 乘2、乘1的全都无解。

58  ABCD乘4=DCBA， A=? B=? C=? D=?

     答：A=2  B=1  C=7  D=8 、ABCD=2178 、2178×4=8712 。

     解： 题意是 4 ×（1000A+100B+10C+D）= 1000D+100C+10B+A

                 4000A+400B+40C+4D= 1000D+100C+10B+A

3999A+390B－60C－996D＝0         （2）

试算，A只能是1，D只能是8。由 (ABCD)×4=DCBA，可得竖式：

A B C D               2 B C 8

×       4                ×      4  

D C B A                8 C B 2

注意：A如果是1，不进位时D=4，进位时D=5，不论D=4或D=5，D×4之末尾数，都不能等于1 (A=1) 。又不能使A=3，因为这就变成5位数了，所以只能取A=2，不进位时D=8，而D×4=32，末尾数为2，正好是A。由A=2、D=8，代入（2）式得：

3999×2+290B－60C－996×4=0 

7999+390B－60C－7968=0  

30+390B－60C=0 

1+13B－2C=0 ， 易得  B=1 、C=7，所以ABCD=2178 而4×2178=8712，正合题意。原来这是一道《华罗庚金杯》少年数学赛的模拟试题，时隔28年后，给我这个78岁的老学生好不容易地做出来了。

59   一个自然数A与3的和是5的倍数，与3的差是6的倍数。这样的自然数中，最小的是多少？

答：最小特解是27 。通解是 A =27 + 30 K  ( K=1、2、3、4… )

解： 枚举法：

A＋3 = 5 、10、15、20、 25、 30、…  对应着 A = 2 、 7、12、17、 22、 27、 … 

 A－3= 6 、12、18、 24、 30…          对应着A = 9 、15、21、 27、 33  …

得 A=27 为特解。

由于最小公倍数是5×6=30，所以通解是 A =27 + 30 K  ( K=1、2、3、4… )