初等数论《 整除 》 习题集(连载 2)

习  题

 1        四位数"3AA1"是9的倍数，那么A是多少？

答：A=7 ，3771÷9=419

解：3+A+A+1= 4+2A 应 = 18  →  4+2A = 18  →  2A=18－4=14  →  A=7

 

2  在25□79这个数的□内填上一个数字,使这个数能被11整除,方格□内应填多少？. 答：□=1，25179÷11=2289

解：25□79 →应有 2+□+9 = 5+7=12 、  □=1 、  即有25179÷11=2289  整除。

 

3        能同时被2、3、5整除的最大三位数是多少？

答：990

解：2×3×5=30 、 先设999÷30=33 … 9 、取整为33、 由33×30 = 990

 

4  能同时被2、5、7整除的最大五位数是多少？

答：99960

解：2×5×7=70  、 99999/70=1428 、  取2×5×7×1428 = 99960

 

5  1至100以内所有不能被3整除的数的和是多少？ 

答：3367

解：能被3整除的数为 1×3=3 、 2×3=6 、 3×3=9 、 4×3=12  …33×3 =99 ，和为：

(1+2+3+4+ … … +32+33 )×3 =33×34÷2×3=561×3=1683

而1到100的数之和为 (1+2+3+4+ …  … + 99+100 )= 5050 

不能被3整除的数的和为  5050－1683=3367

 

6  所有能被3整除的两位数的和是多少？

答：1665

解一：能被3整除的两位数有12   15   18  …   96  99 ，和为：

 ( 4＋5＋6＋7＋ … ＋32＋33 )×3 = 37/2×30×3 = 1665

或解二：1683－3－6－9=1665

 

7  已知一个五位数□691□能被55整除,所有符合题意的五位数是多少？

答：96910 、 46915

解：即□691□同时被5、11整除。先定最末尾的□。所以先看5，再看11：

先看整除5                    再看整除11    

尾□=0 → □6910     应有 □+9+0=6+1+11，所以 □=9 ，得 96910

              尾□=5 → □6915     应有 □+9+5=6+1+11，所以 □=4 ，得 46915

 

8  如果六位数1992□□能被105整除,那么它的最后两位数是多少？

答：最后两位数是90 ， 199290÷105=1898

解一： 先取199299÷105=1898余9  ，取整为1898，有1898×105 =199290

解二： 105=3×5×7，所以1992□□能被3、5、7同时整除。

首先，被5整除时，有1992□0 和1992□5 。再分别解：

1  对于1992□0 ，有：

被3整除的有    199200、199230 、 199260 、 19929  其中：

被7整除的 仅有  199290，因为判别式290－199=91 ，而91÷7=13  整除

2  对于1992□5 ，有：

被3整除的有  199215、199245 、 199275 ，其中没有被7整除的。

3  最后 1992□□＝199290

 

　9  42□28□是99的倍数,这个数除以99所得的商是多少？

答：427284 。

     解：若A B C D E能被99整除，就有A + B C + D E = 9 9的倍数的“各段相加判别法”。

所以 42 + □2 + 8□ 应是99的倍数，而此时应 = 198 ，有：

 4  2              4  2

□ 2    即      7  2

 +  8 □          +  8  4 

    1 9  8           1  9  8          

所以42□28□应是427284

 

10    从0，2，5，7四个数字中任选三个，组成能同时被2，5，3整除的数，并将这些数从小到大进行排列。

答：270，570，720，750

解：因为组成的三位数能同时被2，5整除，所以个位数字为0。根据三位数能被3整除的特征，数字和

      2＋7＋0与5＋7＋0都能被3整除，因此所求的这些数为270，570，720，750。

 

11    173□是个四位数字.数学老师说："我在这个□中先后填入3个数字,所得到的3个

  四位数,依次可被9、11、6整除."问：数学老师先后填入的3个数字的和是多少？答：5209

解：      整除9               整除11                 整除6      

173□ =173  7          173□=173  8           173□=173  4           

上述三数之和 1737+1738+1734 = 5209

　　

12    在1992后面补上三个数字，组成一个七位数，使它们分别能被2、3、5、11整除，

    这个七位数最小值是多少？

答：最小值 19992210  (最大值 1992870)

解：2×3×5×11=330  即该数能被330整除。

最小1992□□□   →   1992000÷330 = 6036 余120  →  6037×330 = 1992210

最大1992□□□   →   1992999÷330 = 6039 余129  →  6039×330 = 1992870

 

13  五位数 A329B 能被72整除，问：A与B各代表什么数字？

　　答：A=7 、B=6 、73296÷72=1018

解：  72＝8×9，8和9是互质数，所以 A329B 既能被8整除，又能被9整除。

根据能被8整除的数的特征，要求 29B 能被8整除，由此可确定B＝6。得A3296

再根据能被9整除的数的特征，A3296 的各位数字之和为

　　     A＋3＋2＋9＋6＝A＋20  而A＋20应 =27 ， 所以A＝7。

　　

14  试找出这样的最小自然数,它可被11整除,它的各位数字之和等于13.

答：最小319

解：

1  首先，该数不是两位数AB。因为被11整除时，AB必定有A=B，而A+B不可能是13

2  自然数为ABC时，有A+C=B或A+C=B+11

3  先设A+C=B ，因A+B+C=13，则2B=13，B=6.5，不是整数，也不行。

4  再设A+C=B+11。因A+B+C=13 →A+C=13―B，则  13－B=B+11 ，得 B=1

5  由 B=1 则A+C=12 ， 由小到大可作以下试排：

 

A    B   C

              3    1   9     319÷11=29   3+1+9=13   319为最小

              4    1   8     418÷11=38   4+1+8=13

…  …  …      … 

9    1   3     913÷11=83   9+1+3=13

 

15  10□8971能被13整除，求□中的数。

答：□中的数是8 。1088971÷13=83767

解：  可利用“前位减后三位=13的倍数”这样的“两段相减判别法”去解题。

若要求A B C D E F能被13整除，就用“A BC－DEF = 13的倍数”去组合。对于10□8971来说，就用 (10□8－971) 去凑数。

10□8971 → 10□8－971 = 1008+□0－971=37+□0，由此可推知 □ = 8 ，因37+80=117，而117÷13=9正好整除。

 

16  六位数 3ABABA 是6的倍数，这样的六位数有多少个？

答：20个

解：6=2×3，这个整数既能被2整除又能被3整除。

3ABABA能被2整除，推知A可取0，2，4，6，8这五个值，

被3整除，推知每个数的B都可取0，3，6，9这四个值：

           

3ABABA    B=0     B= 3     B=6      B= 9

A=0   300000   303030   306060   309090    

A=2   320202   323232   326262   329292    

A=4   340404   343434   346464   349494    

A=6   360606   363636   366666   369696     

A=8   380808   383838   386868   389898     

共有5×4＝20（个）。

　　

17  要使六位数 15ABC6 能被36整除，且所得的商最小，问A，B，C各代表什么数字？

　  答：A=0，B=1，C=5，此时六位数150156÷36＝4171。整除且所得商最小。

解：  因为36＝4×9，这个六位数应既能被4整除，又能被9整除。

15ABC6 能被4整除，就要 C6 能被4整除，因此C可取1，3，5，7，9。

要使所得的商最小，就要使 15ABC6 中的A尽量小，其次是B尽量小，最后是C尽量小。

先试取A=0。得150BC6，六位数字和为12＋B＋C。它应能被9整除，因此B＋C＝6或

B＋C＝15。因为B、C应尽量小，所以取B＋C＝6。而B又比C小，应取B＝1，C＝5。注意，不能取B＝2，

C＝4，因为前述，C只能取1，3，5，7，9。

最后，A=0，B=1，C＝5。六位数15ABC6 即150156。

 

18  ABCABC 能否被7、11和13整除？

答：能。

解：因为 ABCABC=ABC×1001，所以ABCABC 能被1001整除。竖式证明如下：

    1  0  0  1     

             ×   A  B  C    

                C  0  0  C

           B  0  0  B

.                   A  0  0  A          

                   A  B  C  A  B  C

而1001=7×11×13，1001又能被7、11和13整除，根据整除的传递性，ABCABC 能被7、11和13整除。

如103103÷7÷11÷13=103。其他如301301、253253、789789等等，也都能被7、11和13整除。

　

19  说明12位数 ABBA ABBA ABBA一定是3、7、13的倍数。

　  解：     与上题相似，用竖式乘法可证明 ABBAABBAABBA=ABBA×100010001。

而100010001=3 ×7 ×13 ×37×9901，所以ABBA ABBA ABBA能被3、7、13整除。而且还能被37、9901整除呢。

 

20  8990615496能否被27或37整除：

　　答：能被37整除，不能被 27整除。

解：用多段相加法。三位为一段。

8990615496  →8，990，615，496  → 8+990+615+496=2，109  →　2，109  → 2+109=111

　　  因为111能被37整除，不能被27整除，所以2109能被37整除，不能被27整除，进一步推知8990615496能被37整除，不能被 27整除。(待续)