再说合数的全部因数怎样算

 看到外甥向农赞了一下我的《合数的全部因数怎样算》一文，很高兴。现在出一道较复杂的题，考考他。所谓较复杂，是因为有4个矩阵相乘。矩阵相乘就是表格相乘。

题目：44100有多少个质因数？共有多少个因数？请排出全部因数。

答：44100有4个质因数。有81个因数。全部因数见下表。

解：1  先分解质因数。如果没有分解质因数的程序，可以用短除法。得：

44100=2×2×3×3×5×5×7×7=2 ² 3 ² 5 ² 7 ² ，可见只有4个质因数：2  3  5  7 

2  因为“因数个数 = 各个质数的指数加1后的乘积”，即：

S = (2+1)× (2+1) ×(2+1) ×(2+1) = 81，所以因数有81个。

3  但要排出全部因数，并不容易。

如果用除法，一个个顺次除以1、2、3、4、5、6、7、… 凡整除的便是因数，则可以不漏又不重复的排出全部因数来。但这样排，真是太烦了。

《合数的全部因数怎样算》一文，说到的矩阵相乘，实在是最实用的方法。不过本题是4个矩阵相乘，要注意怎样乘，才不漏又不重复。

44100=2 ² 3 ² 5 ² 7 ²     中

2 ² 矩阵表示为 (1  2   4 ) = A

3 ² 矩阵表示为 (1  3   9 ) = B

5 ² 矩阵表示为 (1  5  25 ) = C   C 分为  5    25

7 ² 矩阵表示为 (1  7  49 ) = D   D 分为  7    49

相乘时有 (1  2  4 )  (1  3  9 )  (1  5  25 )  (1  7  49 ) = A×B×C×D

    第一步  2  与3   相关    A×B =K            

第二步  2、3 与5相关    K×5＝M     K×25= N

第三步  2、3 与7相关    K×7 = R      K×49 =T

第四步  5  与 7  相关    M×7 = W     M×49 =X     N×7=Y     N×49=Z

得9张矩阵表，每张9个因数，共81个。取成对因数的方法：

K与Z相对，顺次有K中 1   2   4与Z中的 44100   22050   11025相对。

3   6   9与Z中的 14700    7350    3675相对，…

另有R与Y相对、 M与X相对、 N与T相对 、 W自相对，等等。整理后有81个因数。因数总数成单，说明44100是一个完全平方数。正是√44100＝210，它位于因数表中间。

矩阵相乘结果：

   如果质因数太多、指数又大，那么矩阵相乘就更复杂。有两个矩阵相乘的计算程序，似乎没有多个矩阵相乘的。即使有，又何必动牛刀。但我还没有细想过如何用手工来组合相乘，才不多不漏。