合数的全部因数怎样算

小学生在分析合数的因数时，最简单有效的方法就是“从小到大、成对罗列”。如48可分解出10个因数、5对：

1     2    3    4    6

48    24   16   12    8  

这样做，一次便得两个因数，并且不会遗漏、不会重复。但当合数很大、特别是质因数很大、因数很多时，分析因数就比较麻烦了。

合数Z，它有多少个因数呢？首先要分解出质因数A ^、B ^、C …，再计算因数的个数、最后才确定有哪些因数。

《数论》的“因数个数定理”是： Z=A^α B^β C^γ，则Z的因数个数有S个。

S=(α+1)×(β+1)×(γ+1) ， 其中 α、β、γ 是质数A、B^、C的指数。

如1800=2³×3²×5² ，质因数是2、3、5，因数个数S=(3+1)×(2+1)×(2+1)=4×3×3=36个

那么这36个因数是哪些呢？凭从小到大、一个个的判断就很麻烦。可作以下简化。

因为2³ 即表示1800中有因数2⁰ 、 2¹、 2²、  2³ 、可以用矩阵 (2⁰  2¹  2²  2³ ) 表示。同样，3² 可用 (3⁰  3¹   3² ) 表示，5² 可用(5⁰  5¹  5²) 表示。这样，

Z=A^α B^β C^γ 中因数可用 (2⁰  2¹  2²  2³ ) (3⁰  3¹   3² ) (5⁰  5¹  5² ) 表示，或

                                (1   2   4  8 ) ( 1   3    9 ) (1   5  25 ) 表示。

三个矩阵相乘，可分解出具体因数。先是(1  2  4  8 ) 、( 1  3  9 ) 相乘，有：

再与 (1  5  25 ) 相乘，有：

得36个因数、18对：

1    2   3   4    5   8    9  10  12   15  18  20  24  25  30  40  45

1800  900  600  450  360  225  200  180  150  120  100  90   75  72   60   45  36

可见，问题的关键是质因数分解，这有什么办法呢。

做一道习题吧。

有A、B两数相乘AB=2800，且已知其中A的因数个数，比B的因数个数多一个，问A、B各是多少。

解：

2800=2⁴×5²×7，因数共有5×3×2=30个。如A的因数个数30，则B的因数个数1…或：

A的因数个数  B的因数个数  A比B的因数多1     判断

30            1              29            不合题意

15            2              13            不合题意

10            3               7            不合题意

6            5               1              合题意

A=5²×7=175    B=2⁴=16        AB=175×16=2800

其中B的因数个数5，说明质数指数为4。正好，2800=2⁴×5²×7中有2⁴，所以B=2⁴=16。剩下A=5²×7，因数有(2+1)×(1+1)=3×2=6，也合题意，所以A=5²×7=25×7=175