广义斐波那契数列的通项公式、及前N项数列和的求法

 

一   先做一道习题

 

    这个问题是由一道初中一年级习题引起的。盈盈请教唐爷爷一道课外题：

7个自然数，由小到大排列成A  B  C  D  E  F  G，其中C=A+B  D=B+C  E= C+D  F= D+E   G= E+F 。这7个数的总和是2010，问A+B+C最大是多少？

    一看就知道，这个数列，类似于“斐波那契数列”，即自第三项开始，每一项都等于前两项之和。此题只给前7项之和，实际上是要求起始数A、B是多少，且B＞A。

    因为背不出斐波那契数列的通项公式，只得按题意硬做。先求7项之间的的关系：

项N        1      2      3        4       5        6         7         总和

数值F()    A      B      C        D       E        F         G         2010

关系       A      B     A+B      B+C     C+D      D+E       E+F        2010

即         A      B     A+B      A+2B    2A+3B    3A+5B     5A+8B    13A + 20B

 

7项之和  A＋B＋C＋D＋E＋F＋G=2010  即

          13A + 20B = 2010

    这不是一个不定方程吗？细想一下，解A、B要满足下列条件：

   1  A、B是整数，B＞A

   2  A必须是偶数，且尾数为0 。因为如果尾数不为0，则B不可能是整数了。

   3  于是，设A=10、20、30 … 计算B = (2010－13A )/20 。试算如下：

 

A     13A       (2010－13A )      B = (2010－13A )/20          注

10     130         1880                    94                          可以

20     260         1750                    87.5             ( 以下A=20、40等、不取 )

30     390         1620                    81                          可以

50     650         1360                    68                          可以

70     910         1100                    55                      B＜A 不取

    有了多组A和B，就按题意比A+B的大小：

A=10   B=94  A+B=104   不是最大

A=30   B=81  A+B=111   不是最大

A=50   B=68  A+B=118   最大，此时C=A+B=118，所以

       A+B+C=236

实际上，这个数列就是：

       A    B    C     D     E    F     G      总和

      50   68   118   186   304   490   794    2010

 

    这道题，当我是初中生时，肯定只能得0分。或许可以先设A、B，再去凑总和2010，但这决不是正路。真难为我们的初一学生了。又请问出题老师，如何给学生讲解呢？他们能理解、独立解题吗？我怀疑可能另有解法吧。

    习题做完，我就想：如果已知最初的两项数值A、B，则整个数列已经确定不移。那末它的通项公式怎样求呢？前N项之和又怎样求呢？我就以这道习题为出发点，来思考这个问题，于是有了下文，对我来说，无疑是一个挑战。

 

    二   引起我的第一个思考：广义斐波那契数列的通项公式

 

          ※ 1     斐波那契数列的通项公式

     斐波那契数列最初两个数A=1、B=1，第三项开始，每一项都等于前两项之和。数学书上就用 F[A，B]表示“广义斐波那契数列”， 上述习题的数列便可表示为 F[50，68]。   

     有一个卢卡斯数列，A=1、B=3，就表示为 F[1，3]。

    为了区别，我把“F[1，1]的斐波那契数列”称为“典型斐波那契数列”，且项号为 n。而“广义斐波那契数列”的项号为 N。

    典型斐波那契数列，有通项公式：

F(n)=(1/√5)×{[(1+√5)/2]^n －[(1－√5)/2]^n}     ……… ( 1 )

    由于 √5=2.2360679775    1/ √5= 0.4472135955 所以：

F(n) = 0.4472135955 ×(1.618033988749 ^ n－ (－0.618033988749) ^ n)  

    又由于(－0.618033988749) ^ n很小，所以也可简化为：

F(n) = 0.4472136 ×(1.618034 ^ n )  ……… ( 2 )  (四舍五入取整数)

如n =6 时，则F(6) = 0.4472136 ×(1.618034 ^6 ) = 0.4472136×17.944 = 8

 

            ※ 2     P、T 与N、n的关系

    当A、B为任意数时，F[A，B] 有通项公式吗？现列出项数N与A、B的关系：

   项N    1      2      3        4        5        6         7         8

通式F(N)  A      B     A+B      A+2B    2A+3B    3A+5B    5A+8B     8A+13B

 

    如要写成通式，就只能是F(N)=PA+TB，其中p是A的系数，T是B的系数。如N=6时，  F(N)=F(6)=3A+5B， P=3、T=5。所以要先知道P、T，才能算出F(N)。现列表一，看N与P、T有什么关系。结果高兴的发现：P、T恰恰就是一个典型斐波那契数列：

表一

项N        1     2     3      4      5       6       7         8

数值       A     B     C      D      E       F       G         H

关系       A     B    A+B    B+C    C+D     D+E     E+F      F + G

即         A     B    A+B    A+2B   2A+3B   3A+5B   5A+8B   8A+13B

A系数P     1     0     1      1      2       3       5        8   (典型斐波那契数列)

B系数T     0     1     1      2      3       5       8        13  (典型斐波那契数列)

 

    P、T 既是典型斐波那契数列，就配上对应项号n，分别表示为：

 

                            P 与 N、n 的关系：

N        1    2    3     4     5     6     7     8     9     1 0     11    

P        1    0    1     1     2     3     5     8    13     21     34 

N = (N－2 )        1     2     3     4     5     6     7      8      9 

 

                            T 与 N、n 的关系：

N            1    2    3     4     5     6     7     8     9     10    11    

T            0    1    1     2     3     5     8    13    21     34    55 

N = (N－1 )       1    2     3     4     5     6     7     8      9    10 

 

由此发现：

1   P与T是项号移了位的典型斐波那契数列。

2   T的项号移了1位，这时N－1= n。

3   P的项号移了2位，这时N－2=n。但有异常，即在首项之前多了两项：1、0。现在先不管这多出的两项，因为它对“通项”计算没有影响。而要在计算“前N项数列和”的时候，才有影响，到时再说。

 

          ※3   套用典型斐波那契数列的通项公式，求出广义斐波那契数列的通项公式

     由于N与n有一个固定的差值1与2，对应着同一项的T、P，由此我就想到，可套用斐波那契数列的通项公式 (2 )，先求出 广义斐波那契数列的系数P、T，再计算它相应的值F(N)，即

P =F(n) =F(N-2) = 0.4472136 ×(1.618034 ^ (N-2) ) ……… ( 3 )

T=F(n ) =F(N-1) = 0.4472136 ×(1.618034 ^( N-1) ) ……… ( 4)

F(N)= PA+TB  ……… ( 5 )

    因此，如果有了A、B，就可以计算第N项的值F(N)。

例：已知A=50、B=68 ，N=6，求数值F(6)。分三步。

1  P=F(N-2) = F(4) =0.4472136 ×(1.618034 ^ 4 ) = 3

2  T=F(N-1) = F(5)= 0.4472136 ×(1.618034 ^5) )= 5

3  F(N)= F(6)=PA+TB=3×50+5×68=490，正确！

 

又例

   项号N          1   2   3   4   5    6    7    8   9    10    11    12  …

卢卡斯数列F(N)    1   3   4   7   11   18   29   47  76   123   199   322 …

已知A=1、B=3、N=11，求数值F(11)。

1  P =F(N-2) = F ( 9) = 0.4472136×(1.618034 ^  9 ) = 34

2  T =F(N-1) = F(10)  = 0.4472136 ×(1.618034 ^10) ) = 55

3  F (N) = F(11 )= PA+TB=34×1+55×3=199，正确！

 

    计算当然比一步到位的“典型通式”要多算几步，但毕竟可以套用“典型通式”来计算了。这就是我独立思考的成果。开心一笑。

 

三   引起我的第二个思考：广义斐波那契数列前N项数列和的求法

 

                 ※ 1 “典型斐波那契数列”求和公式

     我查了网页，找不到“典型斐波那契数列”求和公式。但发现有两个公式可以利用；

奇项   F₁＋F₃＋F₅＋F₇＋ … ＋F_(2n-1)＝F_(2n)

偶项  F₂＋F₄＋F₆＋F₈＋ … ＋F_(2n)＝F_(2n+1)－1

两式相加，即可得前n项数列之和。我核算后发现，不管n是奇、是偶，均有

前n项数列和ΣFn＝F₁＋F₂＋F₃＋＋F₄ …… ＋F_(n)＝F_(n＋2) －1 ……… ( 6 )

 

    以下是核算典型斐波那契数列的前n项和：

       n               1   2   3   4   5   6   7    8   9   10   11   12

斐波那契数列 F (n)      1   1   2   3   5   8   13   21  34   55  89  144

斐波那契数列和ΣFn      1   2   4   7   12  20  33   54  88  143

 

n    F(n)   手算和ΣFn       n+2     F(n+2)    公式( 6 )计算 F (n +2)－1

4     3        7              6         8            7

5     5       12              7        13            12

6     8       20              8        21            20

7     13      33              9        34            33

8     21      54              10       55            54

9     34      88              11       89            88

 

            ※ 2  “广义斐波那契数列”前N项数列和 

    现在要计算“广义斐波那契数列”前N项数列和，实际上是计算

ΣF_N＝Σ(PA+TB)=ΣP×A＋ΣT×B

    由于P、T是“典型斐波那契数列”，所以ΣP、ΣT的计算也可以套用“典型斐波那契数列的前n项和”的公式( 6 )。由于求和公式要用到(n+2)项，所以在套用前，先得把项号N与n的关系搞清础。对于P来说，移动了2项，即N-2=n，所以(n+2)= N。对于T来说，移动了1项，即N-1=n，所以(n+2)=N-1+2=N+1。于是，

ΣP = F(n＋2) －1 = F(N) －1。注意到，在P数列中，首项之前还有一个系数1，这次求和时要补加进去，所以：

ΣP = F(n＋2) －1+1= F(N)= 0.4472136 ×(1.618034 ^ N )           ……… ( 7 ) 

ΣR= F(n＋2)－1= F(N+1)－1 =0.4472136 ×(1.618034 ^ (N +1)) －1  ……… ( 8 )

 

    现计算F[50，68]的前N项数列之和。

1  先算 P：

N    1    2      3     4     5     6     7      8     9      10     11      12

n                1     2     3     4     5      6     7       8      9      10

F(N)  50   68   118   186   304   490   794   1284   2078    3362   5440   8802

P    1     0     1     1     2     3     5      8    13       21     34     55    

 

N    n = N-2   手算和ΣP       n+2    ΣP= F(n+2)= F(N) =0.4472 ×(1.618 ^ N ) 

3     1         1+1=2            3      计算 F(3)  =      2

4     2         1+1+1=3          4           F(4)  =      3

5     3        1+1+1+2=5         5           F(5)  =      5

6     4        1+1+1+2+3=8       6           F(6)  =      8

7     5       1+1+1+2+3+5=13     7           F(7)  =     13

8     6      1+1+1+2+3+5+8=21    8           F(8)  =     21

 

2  再算 T：

N      1    2    3     4     5     6     7      8      9      10     11  

n           1    2     3     4     5     6      7      8      9     10 

F(N)  50   68   118   186   304   490   794   1284   2078   3362   5440 

T      0    1    1     2     3     5     8     13     21     34     55    

 

N   n = N-1  手算和ΣT       n+2  ΣT= F(n+2 ) -1== F(N+1)-1=0.4472 ×(1.618 ^ (N +1)) -1 

3    2        1+1=2            4       计算F(4) －1  =      3-1=2

4    3        1+1+2=4          5           F(5) －1  =      5-1=4

5    4      1+1++2+3=7         6           F(6) －1  =      8-1=7

6    5     1+1++2+3+5=12       7           F(7) －1  =     13-1=12

7    6    1+1+1+2+3+5+8=20     8           F(8) －1  =     21-1=20

8    7   1+1+1+2+3+5+8+13=33   9           F(9) －1  =     34-1=33

 

3  最后计算ΣF_N＝Σ(PA+TB)=ΣP×A＋ΣT×B……… ( 9 )

 

N    ΣP    A     ΣR    B    ΣF_N＝ ΣP×A＋ΣT×B     手     算

3     2     50      2    68           236              50＋68＋118 =236

4     3     50      4    68           422              236+186    = 422

5     5     50      7    68           726              422+304    = 726

6     8     50     12    68          1216              726+490    =1216

7    13     50     20    68          2010              1216+794   =2010

8    21     50     33    68          3294              2010+1284  =3294

 

                   ※ 3  综合为下表：

 

N        1    2    3      4    5     6     7      8      9      10     11      12

n                  1      2    3     4     5      6      7       8      9      10  

F(N)     50   68   118   186   304   490   794   1284   2078   3362   5440    8802

P        1     0    1     1     2     3     5      8     13     21     34      55 

T        0     1    1     2     3     5     8     13     21     34     55         

Σ F_N    50   118   236   422  726   1216  2010   3294   …

    以前我不知道递归式数列的求和方法，通过分析对比，想不到它也可以套用“典型公式”，并且不太麻烦。这已超出了我的期望，我不禁又要开心一笑了。

 

                      四  结 束 语

 

1  “典型斐波那契数列”求第n项数值的通式：

        F(n) = 0.4472136×(1.618034 ^ n )              ………( 2 )

2  “典型斐波那契数列”前n项数列和公式：

       Σ Fn=F₁＋F₂＋F₃＋…＋F_(n)＝F_(n＋2) －1       ……… ( 6 )

       F_(n＋2) = 0.4472136×(1.618034 ^( n+2) )

3  “广义斐波那契数列”求第N项数值的通式：

               (已知开始两项A、 B)

       P = F(N-2) = 0.4472136×(1.618034 ^ (N-2) )       ……… ( 3 )

       T = F(N-1) = 0.4472136 ×(1.618034 ^( N-1) )      ……… ( 4)

       F(N)= PA+TB                               ……… ( 5 )

4  “广义斐波那契数列”前N项数列和公式：

       ΣP = F(N) = 0.4472136 ×(1.618034 ^ N )              ……… ( 7 ) 

       ΣR = F(N+1)－1 = 0.4472136 ×(1.618034 ^ (N +1)) －1  ……… ( 8 )

       Σ F_N =ΣP×A＋ΣT×B                              ……… ( 9 )

    分析有规律的数据，使之归纳为一个公式，这是我的兴趣与目标，或许也是我的一种微小的能力，而且不止一次的得到一些成果。虽然有的公式早已有了，只是我不知道而已。但这些成果都是我独立思考的结果，决不是抄袭、抄书。例如关于整除中“截尾后减尾乘几”的方法、生成勾股弦数的公式、M^P或一个自然数分解为几个相邻奇数之和的方法、扩充了尼科梅彻斯公式、奇奇神算珠的产生方法、计算星期几的推敲、平方数列和公式，乃至关于圆锥、圆球体积公式的推证等等，都是在多次戆算后才得到结果的。这次做了一道初中的习题，竟有如此收获，忙了差不多两天，情绪很好。辛苦了，歇一下吧。老伴要我去买菜了。

    人生不在乎玩耍享乐，要生活得自己满意。