《张丘建算经》中的三道追及题

一   卷中(二)   追盗马贼，追到中途不追了

    卷中 (二)  今有人盗马乘去已行三十七里，马主人乃觉悟，追之一百四十五里，不及二十三里而还；今不还追之，问几何里及之。

    答曰：二百三十八里一十四分里之三。

    术曰：置不及里数，以马主追里数乘之为实；以不及里数减已行里数余为法；实如法而一。

   【高文秀老师注】题目的意思是：有贼盗马已经跑了37里，主人才发觉。马主人追了145里，还差23里就回去了。问如果继续追，还要再走多远才能追上此盗马贼。

    解法：

1  原来相差37，现在还差23，实际追上37－23＝14，

2  追了145才追上14，那未剩下的23，要追多少呢？设还要追X

3  这是一个比例问题。有14﹕145＝23﹕X

4  X＝23×145／14 ＝238 … 3 ＝238又3/14，

   说明：

1  23×145，即置不及里数(23)，以马主追里数(145)，乘之(23×145)，为实(分子＝3335)。

2  14＝37－23，即不及里数(23)，减已行里数(37)，余(37-23=14)，为法(14为分母)。

3  X＝3335 / 14 ＝238又3/14，即实如法而一，分子除以分母：二百三十八里一十四分里之三。

二   卷中(五)  追及问题的一个特性

    卷中 (五) 今有迟行者五十步，疾行者七十步；迟行者以先发，疾行者以后发行八十七里一百五十步乃及之。问迟行者先发行几何里？

    答曰：二十五里。

   术曰：以迟行者步数减疾行者步数，余以乘及步数为实；实如法而一。

   【高文秀老师注】题目的意思是：有甲乙二人，甲的速度为70，乙的速度为50；乙先行若干里之后，甲开始追，甲走了87.5里追上乙；求乙先行多少里。

我的解法：

1  87.5是疾行者所追路程，他的速度是70，所以他追赶的时间是87.5÷70=1.25

2  在同一时间1.25内，这迟行者走了1.25×50=62.5

3  87.5－62.5=25就是迟行者先行之里

4  列式 87.5－(87.5÷70×50)= 87.5－62.5＝25

“术曰”解法：

1 “术曰”方法不同。但它讲到了追及问题的一个特性，即距离差与速度差之比，等于距离与

速度之比，即d S﹕d V = S﹕V

2         题中d S是所求值先行之里，dV ＝70－50=20 ， S＝87.5 ， V＝70。

所以有dS﹕(70－50)＝ 87.5 ﹕70

3  dS＝ (70－50)×87.5÷70

算式中(70－50)×87.5＝1750，就是以迟行者步数(50)减疾行者步数(70)，余(20)以乘及步数(87.5)为实；

4  “术曰”似乎少了一句“以疾行者步数为法”，即以70为分母。

5  最后，dS＝(70－50)×87.5÷70＝1750÷70＝25，即实如法而一。“实”、“法”相除，得先行25里。

                           三   卷下(二)  与勾股、速度比有关的追及问题

    卷下 (二)  今有鹿直西走，马猎追之，未及三十六步。鹿回直北走，马俱斜逐之，走五十步未及一十步，斜直射得鹿。若鹿不迴，马猎追之；问几何里而及之。

    答曰：三里。

    术曰：置斜逐步数，以射步数增之，自相乘；以追之未及步数自相乘减之，余，以开方除之所得，以减斜逐步数余为法；以斜逐步数乘未及步数为实；实如法而一。

【高文秀老师注】鹿向西行，有一猎人骑马追之，当猎人追至(A)与鹿(B)还相差36步时，鹿突然转向北；此时骑马猎人就斜着追去，追了50步(至D)时，与鹿(C)还差10步，此时猎人射得鹿。问如果鹿不向北转，而继续向西，猎人需追多远才能追上此鹿。

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 解法分析：

    1  先解直角三角形⊿ABC。鹿北行至C，马斜行至D。BC=√(AC²－BA²)＝√((50+10)²－36²)＝48。其中√(50+10)²－36²＝√2304＝48，即术曰的置斜逐步数(50)，以射步数增之(+10)，自相乘；以追之未及步数(36)自相乘减之，余(2304)，以开方除之，得48。

    2  由此可知，马行50、鹿行48。若设马行X，则鹿行X－36，则有：

50﹕48＝X﹕(X－36)

48X＝50 (X－36)

(50－48)X＝50×36

X＝50×36∕(50－48)

    算式中(50－48)，即开方除之，所得(48)，以减斜逐步数(50)余(50-48=2)为法(作为分母)；算式中50×36即以斜逐步数(50)乘未及步数(36)为实(作为分子)；

    3  最后，实如法而一，X＝50×36∕(50－48)＝1800/2＝900步

900步÷300步/ 里＝3里

古代数学家没有列方个程式，但算式与现代解方程完全相当。他们是如何思维的？而今人脱离方程，似乎无路可走。比之前贤，真汗颜也。

另一种解法是：

马行50、鹿行48，按比例，马行1、鹿行0.96。速度相差0.04。回到原先AB位置，马以0.04的速度差，去西追相距36的鹿，则要追36 / 0.04＝900步＝3里。此鹿北逃，反而早死。