学习“计算星期几”新法后的体味与推敲

 

                       一   “计算星期几”的一个新方法

 

    2014年12月21日，星期天。佛山大学退休教授杜老师，给小学四年级以上的小朋友们，在江湾社区第三课堂，讲“计算星期几”的方法。我也参加听讲，大有收获。

    杜老师讲的方法只要三步：

1  求2014年12月21日，是星期几？为叙述方便，我现在引进字母。先把年份分为A、B两段，月份

   为C、日为D，再在其下方，划上一线，写上解题时要用到的数字a、b、c、d ，称为“代表字”

   吧。先告知你：a、b、c、d分别为0、3、4、0 ：

         A     B      C     D

        20    14 年  12 月  21日

       a=0    b=3     c=4    d=0 

2   计算a＋b＋c＋d = e ，即 0+3+4+0=7。

3   e÷7 取余，余即为星期几。7÷7=1余0 。

  答：2014年12月21日是星期天。

 

   又如     A     B      C      D

           20    11年   7 月   18 日

           a=0    b=6     c=5     d=4

     计算0+6+5+4=15、15÷7=2余1 

    答：2011年7月18日是星期一。查年历，果然如此。

 

    杜老师又把代表字a、 b 、c 、d的算法、记法说明如下：

    1   20 (21世纪A) ，其代表字a ：

凡是15  19  23打头的，a=1。注：即1500、1900、2300年的元旦是星期 1

凡是16  20  24打头的，a=0。    即1600、2000、2400年的元旦是星期 6  (作起算，a=0)

凡是17  21  25打头的，a=5。    即1700、2100、2500年的元旦是星期 5

凡是18  22  26打头的，a=3。    即1800、2200、2600年的元旦是星期 3

且以2000年元旦星期6为起算点，归为a=0。在计算1900、2100、2200等时，要加上改正数a，所以a分别为1、5、3了。

    2   由年代、年份B，计算代表字b 的方法：

B÷4 = K 余Y，

5×K＋Y=Z

Z÷7=X 余 b

如 14÷4 = 3 余2、   5×3+2=17、  17÷7=2 余 3 、  得b=3

如 11÷4 = 2 余3、   5×2+3=13、  13÷7=1 余 6 、  得b=6

    3  由月份C 计算代表字c 的方法是查表：

月  份 C  1    2    3    4    5    6    7    8    9    10    11    12

平年时c   6    2    2    5    0    3    5    1    4     6     2     4

闰年时c   5    1    2    5    0    3    5    1    4     6     2      4

    4  由日D求代表字d的方法：

D÷7=P，余 d 。如21÷7=3  余 0 ，d=0。  又如18÷7=2  余4 ，d=4。

杜老师讲的“计算星期几”的方法，的确简便，小朋友们好奇开心，但不理解原理。

 

                 二   “计算星期几”的最笨方法

    听课时，我就在思索：为什么要这样算？当时仅想到，这本质上是一个带余除法的问题，是取余或同余的问题。

    回家后，整理一下思路，认为最笨的方法，应该是先知道一个初点，例如2014年1月1日是星期三。如果要求2014年12月21日是星期几，只要算出该天隔元旦多少天，加上初始星期三，再除以7，取余数，即得该天的星期数了。

      算一算吧：2014-01-01到2014-12-21，有31+28+31+30+31+30+31+31+30+31+30+21=355日，减1，亦即隔元旦354天，354+3=357 ， 357÷7=51余0，即星期天了。

 

    上述算法虽然很笨，但正是星期几星期几的基本原理：计算累加天、除以7、取余数、即可得星期数。

    累加天数很累，可以简化一下：先分段计算出每年元旦是星期几、每个月1日又是星期几，再加上所求该月的日数，那就可算得该天的累加星期几了。有了累加星期几，就÷7，得最终的星期几。我以为杜老师讲的方法，正是如此。

   下面a、b、c、d分段推敲之。

 

                三   选 初 值a=0，元旦是星期六

 

    杜老师以2000（或1600）年元旦是星期六为初点，取a=0。400年一个大循环，相隔400年的a相同。相隔100年的a分别为1、5、3 ，见上(一)的注。有了初点及a，就去算b，即以后每年的元旦是星期几。

 

 

                   四   每年元旦是星期几的算法

 

可以用最笨的累加法计算b，如下表：

 

年        一年天数               元旦是星期几   b

2000 闰年    366                                  6（初值）

2001         365       6+366=372   372÷7=53   余 1（366是2000年天数）

2002         365       1+365=366   366÷7=52   余 2（365是2001年天数）

2003         365       2+365=367   367÷7=52   余 3（365是2002年天数）

2004 闰年    366       3+365=368   368÷7=52   余 4（365是2003年天数）

2005         365       4+366=370   370÷7=52   余 6（366是2004年天数）

2006         365       6+365=371   371÷7=53   余 0（365是2005年天数）

2007         365       0+365=365   365÷7=52   余 1（365是2006年天数）

2008 闰年    366       1+365=366   366÷7=52   余 2（365是2007年天数）

2009         365                         …

…           …                      略  …

     这个表仅说明，每年元旦是星期几的b，是可以独立计算的，不过计算较麻烦，且要递推。

实际上，b不必递推计算，可以用宋老师讲的公式直接计算：

B÷4 = K 余Y，    5*K+Y=Z    Z÷7=X 取余 b

下面是用电子表格计算的B与b的对照表：

 

年代B	B/4	INT B	余Y	Z =5*K+Y	b	元旦是星期几
0	0	0	0	0	0	6
1	0.25	0	1	1	1	1
2	0.5	0	2	2	2	2
3	0.75	0	3	3	3	3
4	1	1	0	5	5	4
5	1.25	1	1	6	6	6
6	1.5	1	2	7	0	0
7	1.75	1	3	8	1	1
8	2	2	0	10	3	2
9	2.25	2	1	11	4	4
10	2.5	2	2	12	5	5
11	2.75	2	3	13	6	6
12	3	3	0	15	1	0
13	3.25	3	1	16	2	2
14	3.5	3	2	17	3	3
15	3.75	3	3	18	4	4
16	4	4	0	20	6	5
17	4.25	4	1	21	0	0
18	4.5	4	2	22	1	1
19	4.75	4	3	23	2	2
20	5	5	0	25	4	3
21	5.25	5	1	26	5	5
22	5.5	5	2	27	6	6
23	5.75	5	3	28	0	0
24	6	6	0	30	2	1
25	6.25	6	1	31	3	3
26	6.5	6	2	32	4	4
27	6.75	6	3	33	5	5
28	7	7	0	35	0	6循环开始
29	7.25	7	1	36	1	1循环
30	7.5	7	2	37	2	2循环

 

由上表可知：

1   每4年有一个闰年，一个小周期。平年时，计算的b与元旦星期几相同。遇闰年就多跳一天。

    闰年时，b就比元旦星期几大1。这一点在后续计算中即可抵消。

2   表中的z，实际上是累加的星期几，与除以7的余，两者是“同余”。

3   每28年有一个大周期。当B数值大时，可简省计算。如B=88，用B=98-84=14代算，算得b=3

4   我以为用公式  b=B + int〔B/4〕(mod 7)  更简洁。

 

              五   一年12个月，每个月1号是星期几的算法

 

    还是笨算。初点：1月1日是星期六。则有：

 

月    一月天数    平年时 各月1日 是星期几 c         闰年时 c

1       31                    （初值）  6               5

2       28       6+31=37   37÷7=5   余 2               1

3       31       2+28=30   30÷7=4   余 2               2

4       30       2+31=33   33÷7=4   余 5               5

5       31       5+30=35   35÷7=5   余 0               0

6       30       0+31=31   31÷7=4   余 3               3

7       31       3+30=33   33÷7=4   余 5               5

8       31       5+31=36   36÷7=5   余 1               1

9       30       1+31=32   32÷7=4   余 4               4

10      31       4+30=34   34÷7=4   余 6               6

11      30       6+31=37   37÷7=5   余 2               2

12      31       2+30=32   32÷7=4   余 4               4

这6、2、2、5、0、3、5、1、4、6、2、4，就是c表中的平年值。现在见到它的来历了。

 

                六   各段合并，计算星期几       

 

    把a、b、c、d各段的星期几累加，就是余数的和，根据“余的和等于和的余”原理，

a＋b＋c＋d = e，再÷7取余，就是最后的余数，即星期几。

 

                七   蔡勒（Zeller）公式

 

     我翻出笔记，有我在佛山国土局打工时，约2010年所记的一个“计算星期几”的公式。查电脑，才知是德国数学家蔡勒（Zeller）在1886年推导出的，通称为蔡勒公式。计算步骤是：

1   先把实际年、月、日的月份，退回2个月。

2   年份分两段，为世纪A、年代B，月份为C，日为D。

3   累加星期   W= int〔A/4〕﹣2A＋B＋int〔B/4〕＋int〔(13C﹣1) /5〕＋D

4   由W÷7取余g ，即W≡g ( mod 7)  ，g即为星期几。

 

上例 2014年12月21 日，取A=20、 B=14、 C =12－2=10 ， D=21。

W = int〔20/4〕﹣2×20＋14＋int〔14/4〕＋int〔(13×10﹣1) /5〕＋21

W = 5－40+14+3+25+21 = 28 

28÷7=4   余0 ，g=0  即星期天。

又例 2010年02月25日，退回2个月，变为2009年12月25日，取A=20、 B=09、 C =12 ， D=25。

W = int〔20/4〕﹣2×20＋9＋int〔9/4〕＋int〔(13×12﹣1) /5〕＋25

W = 5－40+9+2+31+25 = 32 

32÷7=4   余4 ，g=4  即星期四。

 

    比较上面讲的两种方法，我认为：

    1  杜老师新法，计算公式简单些，但要记一张世纪A所对应的有4个(a) 数的表、记一张月份C所对应的有12个 (c) 数的表，还要注意平年、闰年。严格的说，还是一种查表法。

    2 蔡勒公式，却是纯公式，有通用性，不必记一些特定的数。但切记要退回2个月。

   

    这就是我化了两天的时间，学习消化后的肤浅理解。但我这个老学生，不能独立推导出计算公式或方法。杜老师们学有功底、下足功夫，所得到的成果，各有秋色，令我受益、令我赞叹！