“ M ³ ＝ M个相邻奇数和 ”的三种通解

              

               一   一个自然数三次方的分解问题

     现在的初中学生，所遇到的一元方程，比我五十年代初时所遇到的，不知要难出多少。上星期天，一位南庄中学的初一学生，做“北大”出版的习题，做不出来，就“请教”我。这简直是考我了。一看题，就觉得有难度，一时还想不出来，有点尴尬。我说，你等一下，让我先做做看。

这道题是：一个自然数M的立方，可分解为M个连续奇数的和。如：

2 ³ = 3+5  

3 ³ = 7+9+11 

4 ³ = 13+15+17+19 

5 ³ = 21+23 +25+27+29  … 问：在M ³的分解中，其中有一项是2013，则M是多少？

                       

                                 二  两个三角形数的比较

     一个自然数M的立方，可以、且唯一的分解为M个连续奇数的和，这个规律是怎样发现的，暂且不去想了。一看，就觉得它既呈三角形排列，又是一个公差d=2的等差数列，叫它为“奇数三角形”罢。它与公差d=1的三角形数相似。而公差d=1的三角形数，是有公式可计算的，即它是1至M的数列之累加和R。R=Σ₁^M = M (M+1) / 2。这两个形状相同的三角形，有什么关系呢？我于是左右排出这两个三角形：

 

M ³           分解的首项S    末项W    d=1的三角形数＝ 1至M的累加和R

1³ = 1               1             1              ·                 1

2³ = 3+5              3             5            · ·                3

3³ = 7+9+11            7            11           · · ·              6

4³ = 13+15+17+19         13            19         · · · ·            10

5³ = 21+23 +25+27+29       21            29        · · · · ·          15

6³ = 31+ … … …  +41       31            41      · · · · · ·         21

… …                                            … …

分析如下。

                三  正算：由M ³的M，求最末一项奇数W与首项奇数S

 

    直观就看出，“奇数三角形”的末项奇数W与三角形数的累加R有以下规律：W﹦2R－1。例如

2 ³时，M=2，R=3，有W=2×3－1=5。3 ³时，M=3，R=6，有W= 2×6－1=11 。…等等。由于

R= M (M+1) / 2，所以末项W=2R－1= M (M+1)－1。而首项S﹦W－2 (M－1)﹦ M (M－1)＋1

这样，若已知M，即可算得R，又算得末项W和首项S。例如：

M   R= M (M+1) / 2    W= M (M+1)－1    S= M (M－1)＋1     数    列        验算M ³

3    3×4/2= 6       3×4－1= 11        3×2+1=7             7+9+11=27     3 ³ = 27

5    5×6/2=15       5×6－1=29         5×4+1=21     21+23+25+27+29=125   5 ³ = 125

10  10×11/2=55      10×11－1= 109     10×9+1=91    91＋93… +109=1000   10 ³ =1000

 

            四  反算：由最末一项奇数W计算M与首项奇数S

 

    已知M，计算W、S是正运算。而已知W，计算M、S则是反算、逆运算。

    由W=2R－1知R= (W＋1) / 2、由R= M (M+1) / 2 知M (M+1)= 2R。最后S=W－2 (M－1) 。

例如，某数M的立方，分解为一些奇数之和，只知最后一个奇数W=29，求某数M=？

反算步骤为：

1 由W计算R。R= (W＋1) / 2 、                得 R= (29＋1) / 2 = 15

2 由R计算M (M+1) 。M (M+1)= 2R=W+1 、       得 M (M+1) =2*15 = 29+1=30

3 最后由M (M+1) 计算M 。M =30 / (M+1)、     M ＜√30﹦5.48、 得M=5

4 首项S=W－2 (M－1)=29－2 ×(5－1)﹦29－8=21

5 验算： 21＋23＋25＋27＋29 =125 ，  而5 ³=125 ，正确。

 

               五  反 算 解 题

    上面这道习题，仅知道2013是M ³分解中的一个奇数，不是首数S、也不是末数W。所以只能硬把2013当作末数W看待，用反算来解题了。即W=2013，则反算如下：

1 由W计算R。R= (W＋1) / 2 、            R= (2013＋1)/2 = 1007

2 由R计算M (M+1) 。M (M+1)= 2R 、       M (M+1) =2*1007= 2014

3 最后由M (M+1) 计算M 。                M＜√2014﹦44.87，得M=45

4 用正算来验证：M=45、则

     R = M (M＋1) / 2 = 45× 46 / 2 = 1035  

     W = 2R－1=2069  

    S = W－2 (M－1 )=2069－2×44 = 1981 

     2013正在1981与2069之间，即45³ = 1981+1983 +1985+ …+2011 +2013 +2015+…+2067 +2069 ，证明M = 45正确。

     我费了大概30分钟，终于算得此题，松了一口气。答：M = 45。

     以上解法是第一种解法，即先求最末奇数W来解题。

 

            六  第二种解法，由首项奇数S着手来解题。

     做完题，心情放松，于是又想：是不是可以先求首项奇数S来解题呢？

    由于首项是奇数，所以可用2 K＋1来表示，第二项则为2 (K＋1) ＋1 (也可用2 K＋3，但不方便)，第三项则为2 (K＋2) ＋1、… … 因为共有M项，

所以最末项为2 (K+M－1)＋1=2 M＋2 K－1。

    这样，首顶至末项的总和，可用等差数列求和公式：R = ( 首＋末 )÷2×项数M 。

于是有方程   M ³ = 首顶至末项的总和R。

M ³ ﹦(2 K+1＋2 M＋2 K－1) ÷2×M，经推算便得  K=M (M－1) /2 ，所以

首项 S = 2 K+1= M (M－1)＋1 

末项W=2 M＋2 K－1= M (M＋1)－1 ，竟如此简洁。

现计算如下：

M   K=M (M－1) /2  首项 S = M (M－1)＋1  末项 W=M (M＋1)－1          M ³

1       0                   1                      1                 1³=1

2       1                   3                      5                2³=3+5

3       3                   7                      11             3 ³=7+9+11

4       6                  13                      19          4 ³=13+15+17+19

5      10                  21                      29        5 ³=21+23+25+27+29

 

    如果是反算，已知S求M，则M (M－1) = S－1。M=(S－1) / (M＋1)。 如：已知S=21，则有

M (M－1)=20，算得M=5。而W= M (M＋1)－1 =5×6－1=29。

 

前述习题中，如果把2013当作S，则M (M－1) = S－1=2012，近似M=√2012=44.86，取M=45。

验算：M=45、 S=45×44＋1=1981，后面16个奇数即为2013，说明M=45正确。

 

       七  第三种解法，由“正中间项”Z着手来解题。

     写完第二种解法，当天晚上又想，是否可以从“正中间项”着手来解题呢？因为等差数列的一个重要特点就是，正中间项的左右两项之和等于正中间项的2倍。但这要分两种情况：

     1、  M ³的M是奇数。如3 ³ 、5 ³ 、7 ³ 、9 ³ 等等。而正中间项Z等于M ²。这是因为M ³分解为M 项，则M 项的平均数为M ³ / M = M ² ，正中间项Z正是此平均值。而正中间项左右两侧的各项，其平均值也等于Z。如5 ³=21+23+25+27+29。它正中间项Z= 5 ²=25，左右为23、27，平均值为25。还有21、29，平均值当然也是25。

正中间项Z= M ² ，计算太方便了。于是，

首项S=Z－M+1   如  5 ³ 时， S =5 ²－5＋1=21    7 ³ 时  S =7 ²－7＋1= 43  …

末项W=Z+M－1   如  5 ³ 时 ，W=5 ²＋5－1=27     7 ³ 时  W=7 ²＋7－1= 55  …

     2、   M ³的M是偶数。如2 ³ 、4 ³ 、6 ³ 等等。正中间项Z却是一个偶数。这不合要求，不取。只取其左右侧的奇数Z－1与Z＋1，两者平均数也是Z 。如4 ³=13+15+17+19。它的正中间项Z是4 ²=16，不取。取左右两侧的15、17与13、19，它们的平均值都为16。

正中间项Z= M ² 不取，仅作为过渡值。于是，

首项 S = Z－M＋1    如  4 ³ 时 S =4 2－4＋1=13     6 ³ 时 S =6 ²－6＋1 = 31  …

末项W= Z＋M－1      如  4 ³ 时 W=4 2＋4－1=19      6 ³ 时 W=6 ²＋6－1 = 41  …

 

      前述习题中，也可用“正中间项”着手来解题。如果把2013当作“正中间项”Z，反算，则M =√Z﹦√2013=44.87，取M=45。有了M，算S，即转为由首项着手，于是

S = M (M－1)＋1=1981，

W= M (M＋1)－1=2069。2013在1981与2069之间，所以M=45正确。

 

            八   公式汇总

 

     定理：一个自然数M的立方，可以、且唯一的分解为M个连续奇数的和。即：

M ³ =  (2 K＋1 )  +  ( 2 (K＋1) ＋1)  +  (2 (K＋2) ＋1)  +、… …  + (2 M＋2 K－1) ，或

M ³ =   首项S 1 + S2 + S3 ＋ …   ＋中项Z ＋ …＋ SP ＋  …  +  末项 W 。则：

 

已知  M    求得  R= M (M+1) / 2    首项S = M (M－1)＋1    末项W= M (M+1)－1

已知  M    求得  K=M (M－1) /2     首项 S = 2 K＋1        末项W=2 M＋2 K－1

已知  M    求得  正中项Z= M ²      首项S = Z－M＋1        末项W=Z+M－1

 

已知末项W    求得   R= (W＋1) / 2     M (M+1)=W+1         首项S=W－2 (M－1)    

已知首项S    求得   M (M－1)=S－1   项W=S－2 (M－1) = M (M＋1)－1

已知 正中项Z  求得   M =√Z          首项S= M (M－1)＋1    末项W= M (M＋1)－1

 

     这些公式，就是我4天来忙碌而得到的成果。老伴常催我“吃饭了”、 “吃饭了”，我却仍在计算思索，说：好，来了。小狗贝贝，也在我坐椅后面，抬着头、张大眼，望着我，我回望贝贝，觉得比孙子孙女还乖、还可爱，很有趣，便会心一笑。

     退休无事，我不愿白白浪费光阴。在“活到老学到老”这一上点，我做得还可以。不过，对于一个知识浅簿的人来说，所得的成果，也只能这样肤浅了。