三倍角正弦公式  Sin3A = 3sinA－4sin³A.的几何推证

                                        

                                           一    前  言

 

    1   2013年8月，我编算、发表了《回到十六世纪，让我用初等数学方法编算三角正弦函数表》一文。当时唯一依靠的就是一个“三倍角正弦公式”：sin3α = 3sinα－4sin3α 。由它迭代，反求出sin 1° 后，才编算出三角正弦函数表的。至于三倍角公式怎样来的，当时不再深究。

    查《百度百科》，只知十六世纪法国数学家韦达，专门写了一篇论文《截角术》，初步讨论了正弦，余弦，正切弦的一般公式，首次把代数变换应用到三角学中。他考虑含有倍角的方程，具体给出了将COS (nx) 表示成COS (x) 的函数，并给出当n ≦ 11时，等于任意正整数的倍角表达式了。但《百度百科》没有提到三倍角正弦公式。此公式谁首先推得，也不见记载。

现在，则高中学生都能用代数方法推导了。不怕繁琐，当一回文抄公，看三倍角正弦公式

Sin 3A=3 Sin A－4 Sin ³A ，是怎样来的。

 Sin 3A = Sin (2A+A)    (先化为二角和公式，展开后：)

= Sin 2A cosA + cos2A Sin A    (把sin2A =2 Sin A cosA、把cos2A= ( 1－2 Sin ²A)代入：)

=2 Sin A cosA cosA + ( 1－2 Sin ²A) Sin A

=2 Sin A cos²A + Sin A－2 Sin ³A.    (cos²A展开为 ( 1－Sin ²A) ：)

=2 Sin A (1－Sin ²A) + Sin A－2 Sin ³A.

=2 Sin A －2 Sin ³A + Sin A－2 Sin ³A.

Sin 3A =3 Sin A －4 Sin ³A 。

 

    2  2014年5月，完成《孙子算经简注及演算》后，便去翻看1984年上海书店出版、李俨著的《中国算学史》，讲到清初康熙时编纂的1723年刻的《数理精蕴·下编》中：

    “有‘本弧之正弦求其三分之一弧之正弦’一朮。即令R为圆半径，已知C为圆内α角之通弦，求C₃为圆內3α之通弦，以几何法证得：

    C₃=3C－C³ / R²        ……  (1 )

    即 Sin3α=3sinα－ 4sin ³α  ……  (2 )

至汪莱《衡斋算学·第三册》(1798)，则以几何法续求C₅为圆内5C之通弦之值，得

    C₅=5C－5C³/R²+C⁵/R⁴

即 Sin 5A = 5 Sin A －20 Sin ³A +16 Sin ⁵A ”

《中国算学史》还提到清乾隆之后，有：

“安清翘 (1759-1830) 等三角术公式之证明，皆有藉于几何学之证明也”。 

 

    3   用几何学证明三角公式，本是理所当然的。因为可以说，三角之学就来源于几何嘛。但这种证明方法到底如何的呢？书中未载，我就来试一试，考考自己。这就引出了本文。这是我先受启发，再独立思考的成果，记下来备忘也。

 

            二    Sin3A = 3sinA－4sin³A 的几何证明

 

已知： 圆半径R，∠AOB=∠BOC=∠COD=α，∠AOD=3α，α所对之弦AB=BC=CD=C。

  求： ∠AOD=3α所对之弦AD=C₃

  证：显然，ABCDA是等腰梯形，C+C+C＞C₃ 其差值为X。为此做以下证明：

1  △OAB  △OBC  △OCD，顶点为圆心O，边长为R，所以都是等腰三角形。

2  ∠DCO = (180－α) / 2 ，∠CDF=α，∠CFD=∠DCO。DC=DF=C。同理： 

       ∠ABO = (180－α) / 2 ，∠BAE=α，∠BEA=∠ABO。AB=AE=C。 

3  BC∕∕EF

4  ABCDA是等腰梯形。

5  作EG∕∕FC ， CFEG是平行四边形。

6  设BG=X   BE=Y

7  C₃=3C－X

8  △EBG 、 △ABE、  △OAB相似，则有：

   X / Y = Y / C = C / R

   X = YY / C ，  Y = CC / R，  YY = CCCC / RR

   X = CCCC / CRR = C ³ / R ² ， 代入C₃=3C－X，则有：

                 C₃=3C－C³/R²  即 (1)

    接着，

Sin (α/2 ) = (C / 2 ) / R  = C / 2 R ， C = Sin (α/2 ) 2 R  …… (3 )  

Sin (3α/2) = (C₃ / 2 ) / R = C₃ / 2 R，  C₃ = Sin (3α/2) 2 R …… (4 )  代入(1)，

Sin (3α/2) 2 R= 3 Sin (α/2 ) 2 R－(Sin (α/2 ) 2 R) ³ / R²

Sin (3α/2) 2 R= 3 Sin (α/2 ) 2 R－(Sin (α/2 ) ³ 8 R ³ / R²

Sin (3α/2) 2 R= 3 Sin (α/2 ) 2 R－(Sin (α/2 ) ³ 8 R          整式除以2 R，得：

Sin (3α/2) = 3 Sin (α/2 ) － 4 (Sin (α/2 ) ³  …… (5 ) 注意，此式与

Sin 3α=3 Sinα－ 4 Sin ³α …… (2 ) 关系相似，但并不相同。

若令α/2=A，则3α/2=3A，代入 (5 ) ，便有：

               Sin 3A = 3 Sin A－4 Sin ³A ，这才是最终的“三倍角正弦公式”。证毕

 

    这个公式，18世纪中叶在中国才有了论证。而250多年后，还值得人们去思索重探。数学没有时间境界的限制，应该知其然，有能力时，应该知其所以然。

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