函数图像变换对三角函数周期的影响

（362100）福建省惠安第三中学    江志杰(tel:013505072169)

我们知道，求三角函数的最小正周期的最常用方法是：将三角函数化为 （或 ）的形式，由 （或 ）求得；有时也常利用三角函数的对称性求得（如正余弦曲线的相邻两条对称轴距离等于其周期的一半）。纵观近几年高考，不难发现三角函数周期问题已经从静态的基本运算转为动态的能力考查，其中不乏有函数图像变换的因素影响着三角函数的周期。

1、 平移变换：

显而易见，对三角函数图像进行平移变换是不会改变其周期的大小。但“平移量”若为其周期的整数倍时，则平移前后的三角函数图像出现重合。

例：（2010福建）将函数 的图像向左平移 个单位，若所得图像与原图像重合，则 的值不可能等于（      ）

A. 4            B. 6          C. 8           D. 12

【解析】：说明 是函数 周期的整数倍，不妨设 ，则 ，故选B.

2、对称变换（翻折变换）：

一些常见的含绝对值的三角函数，我们需利用函数图象变换知识，迅速作出其示意图，才能判断其是否为周期函数。如：

是周期为 的周期函数，但 却不具备周期性，不是周期函数。

是周期为 的周期函数，而 是周期为 的周期函数。

是周期为 的周期函数，但 却不具备周期性，不是周期函数。

这些结论要熟练牢记，才能灵活运用。

例：（2005年全国卷Ⅱ）函数f (x)  = | sin x +cos x |的最小正周期是（      ）

   (A)             (B)           （C）              （D）2

【解析】： ，又其周期性与振幅、平移无关，只要求出 的周期即可，故选C。

例：（2005年江西卷）设函数 为  （     ）

       A．周期函数，最小正周期为              B．周期函数，最小正周期为

C．周期函数，数小正周期为           D．非周期函数

【解析】： 分别是是周期为 ， 的周期函数，取它们的“最小公倍数”初步得到最小正周期为 。再结合比较各自图象发现：当 时，两者的函数值相同，叠加后函数值翻倍。当 时，两者的函数值相反，叠加后函数值为零。且函数f(x)图象是循环重复出现的（如图1），故选A。

图1：

由此可见，脱离图象研究三角函数的性质简直是“无米之炊”，要求读者要熟练掌握三角函数的作图方法，甚至有时也要充分利用计算机辅助作图，为我们深入研究三角函数性质提供具体的模型。

3、伸缩变换：

三角函数 中参数 的变化直接影响周期的变化，从而造成其图象犹如弹簧一样伸缩变换。倘若运用这一动态观点来解题，将加深对周期的实质性的认识和理解。

如：（2006年福建卷）已知函数f(x)=2sin x( >0)在区间[ , ]上的最小值是－2，则 的最小值等于（    ）

A.               B.             C.2          D.3

【解析】：函数 的图象在y轴左、右两侧第一个最低点分别为 、 。本题只要将周期“压缩”，使 或 即可。解得 ，选B.

【巩固提高】：

1.（2010辽宁文数）设 ,函数 的图像向右平移 个单位后与原图像重合，则 的最小值是（      ）

（A）       （B）        （C）     （D） 3

【解析】：选C.

2.（2005年全国卷Ⅱ）已知函数  在（- ， ）内是减函数，则（      ）

（A）0 < ≤ 1      （B）-1 ≤ < 0      （C） ≥ 1      （D） ≤ -1

【解析】：当 时， 在定义域上每一区间内单调递减，并且最小正周期为 。本题只要将周期“拉长”，使 即可。故-1≤ < 0。

3.（2005年湖北卷）函数 的最小正周期与最大值的和为          .

【解析】：本题关键在于研究 ，其中 分别是是周期为 ， 的周期函数，取它们的“最小公倍数”初步得到最小正周期为 。再结合 的图象（如图2）比较发现：在每一个长度为 的区间上 各自都能恰好完成一个周期的图象，但相邻区间上的图象并不循环重复，而间隔一个区间上的图象却又循环重复。故该函数的最小正周期为 。

图2：

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