运用极限思想巧解高考题

(362100)惠安三中      江志杰

一、   极限思想的历史意义

极限，体现事物（或变量）运动变化的最终趋势或向极端状态无限逼近。极限方法是人们从有限中认识无限，从近似中认识精确，从量变中认识质变的一种数学方法．极限方法是极限思想的体现，也是辩证思想的体现。我国魏晋时期杰出的数学家刘徽公元263年创立的“割圆术” 的数学思想是极限思想的体现。到了十七世纪，数学中要处理的许多问题都跟变量有关，如求任一曲线上一点的切线，求曲线下的面积，求物理学中的非匀速运动任意时刻的速度等。为了解决这些问题，微积分应运而生．牛顿和莱布尼茨继承了前人的成就，分别创立了微积分．牛顿用无穷小量的方法，莱布尼茨则创立了一套无限小量分别对微积分进行了研究。而微积分的基础正是极限理论，导数实质上是一类特殊的极限，定积分是“和的极限”，可以说微积分中几乎所有的基本概念，都是用极限来定义的。

二、运用极限思想巧解高考题

“极限”在高中数学中是一个描述数列和函数在无限过程中的变化趋势的重要概念。也是高考常考的内容之一，在高中数学教学中深受广大师生的重视。但一般情况下大家往往只把注意力放在求某一个式子的极限值或用定义证明极限等问题上，而对极限思想的应用还未引起足够的重视。笔者在数学教学和辅导中遇到不少数学题用一般方法解答十分繁琐而应用极限思想来处理更能体现数学的美妙之处。以下献上几道应用极限思想解答的高考题，与读者切磋：

例1．（01年高考）若                                            则（     ）

A．a<b                  B. a>b               C. ab<1            D.ab>2

解析: 令 趋近于 ， 趋近于 ,则a趋近于1， b 趋近于 。故选A。

例2．（01年高考）一间民房的屋顶有如图三种不同的盖法：1）单向倾斜，2）双向倾斜，3）四向倾斜。记这三种盖法屋顶面积分别为 若屋顶斜面与水平面所成的角都是 ，则（    ）

解析：可用特殊值法选D。也可令 趋近于 ，显然 都趋近于屋顶斜面在水平面的射影面积，从而选D。

例3．（03年高考）已知长方体的四个顶点。A（0，0）、B（2，0）、C（2，1）、和D（0，2）。一质点从AB的中点P₀沿与AB夹角为 的方向射到BC上的点后，依次反射到CD、DA、和AB上的P₂、P₃和P₄.（入射角等于反射角）设P₄的坐标为（x₄,0），若1<x₄<2,则 的取值范围是（     ）。

解析：本题可用 依次表示P₁B、P₁C、CP₂、P₂D、DP₃、P₃A，                                   最后得AP₄= 即 ，从而选C。其实，从逆向角度观察：若从P₄ 发出的光线最终必射到P₀，令P₄无限趋近于1时，则 P₁、P₂、P₃分别无限趋近于各所在边的中点，此时 无限趋近于 ；又若 无限趋近于 ，则 ，此时光线已无法反射到AB边。从而排除A、B、D，选C。

例4．（02年北京高考）数列 由下列条件确定：    

1）证明：对 ，总有  .

2）证明：对 ，总有  .

3）若数列 的极限存在且大于零，求 的值。

解析：1）、2）略

3）设 由 得 解得  但很多同学对这小题无从下手，其实只要留心观察1）、2）的结论，便发现  显然数列 中越后面的项越小（或相等）且越接近于 ，从而

例5．（02年高考）设点P到点M（-1，0）、N（1，0）距离之差为2m，到x轴、y轴距离之比为2。求m的取范围？

解析：本题有诸多解法，现用函数极限的方法解析此题：

设P（x,y）依题意得    

1）当x趋近于0时，m趋近于0。

2）当x趋近于 时，  从而 。

3）当x趋近于 时，同理有  ，结合m=f(x)在 的单调性与连续性得

三、从教材中培养极限思想

现行高中教材中有许多处注意了极限思想的渗透。例如：旧教材用祖 原理推导球的体积公式，方法简便，易于理解。新教材却不惜篇幅地用“分割，求近似和，再由近似和转化为准确和”这些详细步骤分别用于球的体积，表面积的计算公式的推导。这样“舍简求繁”的目的，就是要有意识地渗透极限思想，为今后学习微积分作好准备。

由于极限概念中关系到“无限”，而在以往的数学学习中接触的主要是“有限”的问题，很少涉及“无限”的问题．如何用极限思想和方法认识矛盾的双方，树立正确运动变化的辩证唯物观呢？请看下例：

    设双曲线方程为  ，它的渐近线方程为  ，对于渐近线上的任意一点  ，可得P点到双曲线两焦点F₁、F₂的距离差的绝对值为:

    这就是说，当  时，渐近线上的点具有双曲线上任意点的特性，渐近线完全退化为双曲线．反过来，对于双曲线上任意一点Q(x,y).

这就是说，当  时，双曲线上的点具有渐近线上任意一点的特性，双曲线完全退化为渐近线．从“有限”观点看，双曲线和渐近线一个是“曲”，一个是“直”，是矛盾的双方．从无限观点看，矛盾的双方发生了转化，“曲”变成了“直”，“直”变成了“曲”，矛盾的双方对立统一起来了．

培养学生用数学的意识，不但需要好的素材，更需要教师有新的观念。近几年高考中应用问题的得分率比较低，这从一个侧面反映出目前数学应用教学的不足。教师要转变思想，有些知识在中学只能介绍有关的最基本的内容及由这些内容反映出来的思想方法。教科书对极限概念只作了直观描述性定义，从变量的变化趋势上进行定性的讨论．虽然缺少极限的严格精确定义（大纲不作要求），对于一些性质和结论只借助直观的、特殊的例子去说明。培养极限思想要从实际出发，理论上的过分严谨不但学生难于接受，而且往往是不必要的，甚至会有碍于发挥创造性。

                                                        撰稿人：江志杰

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