北师大版九年级数学（上）第一章  证明（二）

４．角平分线（一）

      一、学生知识状况分析

本节在学习了直角三角形全等的判定定理及已有公理和学过的定理的基础上进一步学习角平分线的性质和判定定理及相关结论.学生已探索过角平分线的性质，而此处在学生回忆的基础上，尝试着证明它，学习角平分线的画法，并还能说明所作的射线是角平分线的理由，主要运用启发式教学，采用‘‘实验——猜想——验证”的课堂教学方法，适时启发诱

导，让学生展开讨论，充分发挥学生的主体参与意识，激发学习兴趣，调动学习的积极性，培养学生良好的思维方法与习惯．

    二、教学目标

1．知识目标：

①角平分线的性质定理的证明．②角平分线的判定定理的证明．③用尺规作已知角的角平分线．

2．能力目标：

①进一步发展学生的推理证明意识和能力，培养学生将文字语言．转化为符号语言、图形语言的能力． ②体验解决问题策略的多样性，提高实践能力．

3．情感与价值观要求

①能积极参与数学学习活动，对数学有好奇心和求知欲．

②在数学活动中获得成功的体验，锻炼克服困难的意志，建立自信心．

三．教学重点、难点

重点

①角平分线的性质和判定定理的证明．②用尺规作已知角的角平分线并说明理由．

难点

①正确地表述角平分线性质定理的逆命题．

②正确地将文字语言转化成符号语言和图形语言，对几何命题加以证明．

四、教学方法：

探索，引导法

五、教具准备

一张纸，直尺，圆规

    六、教学过程

    第一环节：设置情境   温故知新

【师】角平分线的定义是什么？你能把它用几何语言写出来吗？

学生展示自己搜集的结果，并把它用几何语言写了出来。教师给予充分的肯定和鼓励。

【师】你还记得角平分线上的点有什么性质吗？你是怎样得到的？

我们曾用折纸的方法探索过角平分线上的点的性质，步骤如下：教师和学生共同完成折纸。

从折纸过程中，我们可以得出CD=CE，

即角平分线上的点到角两边的距离相等．

【师】你能证明它吗?

第二环节：展示思维空间.构建活动空间

【师】请同学们自己尝试着证明它，然后在全班进行交流．

【生】已知：如图，OC是∠AOB的平分线，点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别为D、E．

求证：PD=PE．

证明：∵∠1=∠2，OP=OP，

∠PDO=∠PEO=90°，

∴△PDO≌△PEO(AAS)．

∴PD=PE(全等三角形的对应边相等)．

(教师在教学过程中对有困难的学生要给以指导)

【师】我们用公理和已学过的定理证明了我们折纸过程中得出的结论．我们把它叫做角平分线的性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

你们能结合图形把它用几何符号语言描述出来吗？

【生】∵点P在角平分线OC上

PD⊥OA，PE⊥OB

∴PD=PE

【师】我们经常用逆向思维得到一个原命题的逆命题．你能写出这个定理的逆命题吗?

我们在前面学习线段的垂直平分线时，已经历过构造其逆命题的过程，我们可以类比着构造角平分线性质定理的逆命题．(教师提示：可以先把角平分线的性质定理改写成如果…那么的形式，再写出它的逆命题)

【生】如果有一个点到角两边的距离相等，那么这个点必在这个角的平分线上．

此时有学生提出：“我觉得这个命题是假命题．角平分线是角内部的一条射线，而角的外部也存在到角两边距离相等的点．”学生举出几个反例。

教师肯定这位同学思考问题很仔细．并加以解释。事实上，从同一点出发的两条射线一般组成两个角，而“角的内部”通常是指其中小于180°的角的内部，其余部分为角的外部．教师在黑板上画图，到∠AOB两边距离相等的点的集合应是射线OC、OD、OE、OF，但其中只有射线OC(即在∠AOB内部的射线)才是∠AOB的平分线．因此逆命题中应加上“在角的内部”的条件．

【师】请再来完整地叙述一下角平分线性质定理的逆命题。

在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

它是真命题吗? 你能证明它吗?

【生】没有加“在角的内部”时，是假命题．加上之后，应该是真命题。

 (由大家自己独立思考完成，在全班讨论交流，对困难学生可个别辅导)

请几个学生上台展示自己的结果并给大家进行讲解。

证明如下：

已知：在∠AOB内部有一点P，且PD⊥ OA，PE⊥OB，D、E为垂足且PD=PE，

求证：点P在∠AOB的角平分线上．

证明：PD⊥OA，PE⊥OB，

∴∠PDO=∠ PEO=90°．

在Rt△ODP和Rt△OEP中

OP=OP，PD=PE，∴Rt△ODP ≌ Rt△OEP(HL定理)．

∴∠1=∠2(全等三角形对应角相等)．

逆命题利用公理和我们已证过的定理证明了，那么我们就可以把这个逆命题叫做原定理的逆定理．我们就把它叫做角平分线的判定定理。

师生共同总结角平分线的判定定理：在一个角的内部且到角的两边距离相等的点，在这个角的角平分线上．

【师】哪位学生能用几何符号语言将角平分线的判定定理描述出来。

学生积极的讨论交流，最后形成一致的结论。教师板书，学生进行修正使学生养成更加严谨、规范的习惯。

【师】你能用什么办法平分一个已知角呢?能利用角平分线的性质定理和判定定理平分一个角吗？请在小组内交流．

学生提出：可以用量角器、三角尺、角尺等以前常见的方法．

教师提出：今天我们学习用直尺和圆规平分一个已知角．请同学们自学课本34页的内容并在练习本上画出一个已知角的平分线。学生一边自学体会数学语言的严谨和精炼一边画图，完成之后小组内互相检查纠正。

教师请一学生在黑板上展示自己小组的结果，并说明OC为什么是∠AOB的平分线

已知：∠AOB(如图)

求作：射线OC，使∠AOC=∠BOC．

作法：1、在OA和OB上分别分别截取OD、OE，使OD=OE．

2．分别以D、E为圆心，以大于DE的长为半径作弧，两弧在∠AOB内交于点C．

3．作射线OC

OC就是∠AOB的平分线．

从作图的过程中，可以发现OD=OE，CE=CD，OC=OC，

△OCEC≌△OCD(SSS)．

∴∠1=∠2，即OC是∠AOB的角平分线．

第三环节：  经典例题 及时巩固

例1：如图，已知AD为△ABC的角平分线，∠B=90°，DF⊥AC，垂足为F，DE=DC，

求证：BE=CF

 

 

 

 

 

 

 

例2：如图，CD⊥AB，BE⊥AC，垂足分别为D、E，BE、CD相交于O，且OB = OC。

求证：AO平分∠BAC

                                                        

第四环节：课时小结

这节课我们在折纸的基础上，证明了角平分线的性质定理和判定定理，并学习了用尺规作一个已知角的角平分线，进一步发展学生的推理证明意识和能力．

第五环节：课后作业

1．习题1．8第2，3题．

2．阅读“读一读”，使学生通过了解数学发展史上与尺规作图有关的“三大几何难题”，开阔他们的视野，体会数学家坚忍不拔的科学探索精神．

七、板书设计

1.4 角平分线（1）

一、复习回顾: 角平分线的定义

二、讲授新课

（一）角平分线性质定理：角平分线上的点到这个角的两边的距离相等．

几何语言：∵点P在∠AOB的平分线OC上

PD⊥OA，PE⊥OB            

∴PD=PE

（二）角平分线的判定定理：在一个角的内部到角的两边距离相等的点，在这个角的平分线上．

几何语言：∵在∠AOB内有一点P，PD⊥ OA，PE⊥OB，

PD=PE，

∴OP平分∠AOB．

 

（三）做一做

用尺规作角的平分线．

 

 

 

 

三、例题解析