1.几个重要的不等式

①均值不等式:
Ⅰ、两个正数的平均不等式(即基本不等式):
模型:如果,,那么,当且仅当时,等号成立。
Ⅱ、三个正数的平均不等式:
模型:如果,,,那么,当且仅当时,等号成立。
Ⅲ、个正数的平均不等式:
模型:如果,那么,当且仅当
时,等号成立。
②柯西不等式:
Ⅰ、二维形式的柯西不等式:
模型:如果都是实数,那么,当且仅当,或时,等号成立。
Ⅱ、向量形式的柯西不等式:
模型:如果是两个向量,那么,当且仅当是零向量,或存在实数,使时,等号成立。
Ⅲ、三角形式的柯西不等式:
模型:如果,那么。
Ⅳ、一般形式的柯西不等式:
模型:设非零实数组及实数组,则
,
当且仅当时,等号成立。
③排序不等式:
模型:设有两组数;满足
, 。
则有
(反序和)
(乱序和)
(同序和)。
④贝努利不等式:
Ⅰ、贝努利不等式:
模型:设,则有。
Ⅱ、贝努利不等式的一般形式:
模型:如果,那么当时,有;当,或时,;上述当且仅当时,等号成立。

①利用重要不等式可以求最值,可以证明不等式或解决实际问题,无论如何都要理解重要不等式的内涵,重在“构造”,才能达到运用重要不等式的目的。
②利用重要不等式证明不等式,不等式的证明方法不可缺少,常用的比较法、分析法、综合法、放缩法、换元法、反证法等,都要理解其特点,才能灵活应用。

二、案例分析

 案例1：（2010江苏·21）设是非负实数，求证：。

 分析：一般用求差比较法证明，即“作差、变形、判断正负”，关键是变形、因式分解；由于“因”不明确，也常常可以用分析法证明。
证明：（证法1-比较法）
∵    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.003.png
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.004.png
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.005.png ，
又实数http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.006.png， ∴ http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.007.png ，且
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.008.png ，
∴ http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.009.png
∴http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.002.png。
（证法2-比较法）∵实数http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.006.png，作差得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.003.png
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.004.png 。
当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.014.png；
当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.018.png。
∴http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.002.png。
（证法3-分析法）要证 http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.002.png ，
即证    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.019.png，
只要证    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.020.png，
若，则，，于是，所以http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.020.png成立；
若http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.029.png成立；
也就是非负实数无论大小如何，不等式http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.020.png都成立，
所以不等式 http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//14/237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1/2/picture//237f7bad-68ef-4fb2-b160-3cb18198cfd1.002.png 成立。
案例2：（2010辽宁·理）已知均为正数，证明：，并确定为何值时，等号成立。

分析：设计二元或三元的平均值不等式证明，如http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.009.png，当且仅当两个元或三个元相等时，等号成立。如果多次地设计应用平均值不等式，那么每一次的等号成立的条件都必须具备。
证明：（证法1-综合法）∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.001.png均为正数，由平均值不等式得
      http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png时，等号成立），
      http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.011.png （当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png时，等号成立），
∴    （当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png时，等号成立）。
∴  http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.013.png
（当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.014.png时，等号成立）。
    所以不等式http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.002.png成立。
当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png，且http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.014.png时，等号成立。即当且仅当时，原不等式等号成立。  
（证法2-综合法）∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.001.png均为正数，由基本不等式得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.006.png ，http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.008.png，
∴  （当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png时，等de号成立）          
同理 http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.016.png （当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png时，等号成立）        
∴  http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.017.png
    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.018.png
    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.020.png时，等号成立）
所以原不等式成立。当且仅当http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//67/8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968/2/picture//8eb3b5bf-0e7f-4e70-b800-f0bf6e7d2968.010.png，且时，即当且仅当时，原不等式的等号成立。
案例3：已知，求证：。

分析：采用综合法证明，可以利用分析法“执果索因”，探得由基本不等式http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.003.png，
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.004.png 入手证明；可以设计柯西不等式证明，即由
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.005.png 切入证明。显然，选择综合法，“因”的重要不等式的设计十分关键，除了应用分析法探路外，还要不断积累重要不等式应用的设计经验。
证明：(证法1-综合法) ∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.006.png均为正数，由利用基本不等式，由分析法探得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.007.png ，
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.008.png ，
即    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.009.png
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.010.png，
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.011.png。
(证法2-综合法)∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.006.png均为正数，由由柯西不等式得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.005.png ，
即    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.012.png，
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.013.png，
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.014.png
化简得 http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//87/6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe/2/picture//6ed593e1-66a7-4817-adcb-931874acc7fe.015.png 。
案例4：设，求证：， ，不可能同时大于。

分析：要求证明“不可能同时大于http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.005.png”，显然用反证法证明比较好。根据反证法证明 “反设、归缪、存真” 的程序，假设http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.002.png，http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.003.png，同时大于http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.005.png，利用基本不等式推出矛盾，从而得出结论正确。
证明：假设http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.002.png，http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.003.png，同时大于http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.005.png，即
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.007.png ， http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.008.png ，http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.009.png。
那么三个不等式相乘得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.010.png           ①
又∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.001.png， ∴ http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.011.png ，
同理  http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.013.png。
那么以上三式相乘得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.014.png 。 与①矛盾。  
所以假设错误，原结论成立，即http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.002.png， http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.003.png ，不可能同时大于http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//45/9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e/2/picture//9ac2e646-007d-4037-87fa-0eb81cae835e.005.png。
案例5：已知为正数，求证：。

分析：对于轮换对称的不等式，常常可以利用排序不等式证明，可以不妨设“序”，如http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.003.png，于是产生所需的“序” http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.004.png ，http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.007.png，
…，从而证得结论。当然，如果直接设计柯西不等式
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.008.png
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.009.png ，
那么很快水到渠成。本案例再次说明，重要不等式的设计或构建十分重要，不同的设计或构建常常产生不同的效果，务必深思熟虑，多方权衡。
证明：（证法1-综合法，利用排序不等式、柯西不等式证明）
∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.001.png为正数，由不等式的对称性，不妨设http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.003.png，则
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.004.png ， http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.010.png 。
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.005.png。
由排序不等式得
      http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.011.png（乱序和不大于顺序和），
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.012.png （乱序和不大于顺序和）。
两式相加得
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.006.png 。
由柯西不等式  
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.013.png ，即http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.014.png。
∴      http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.017.png。
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.018.png。
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.019.png
所以  http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.002.png。
（证法2-综合法，利用柯西不等式证明）
∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.001.png为正数，由柯西不等式
        http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.020.png
http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.021.png
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.022.png。
∵http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.023.png，
∴    http://pic1.up.91img.com//eduupload/question//79/f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe/2/picture//f54fb441-aea1-4dab-91ad-9b4562471bfe.002.png。
评注：
上述两种证明方法都是综合法，但构造的重要不等式不同，前者构造排序不等式，后者构造柯西不等式，显然后者比较简捷，所以在证明不等式过程中，除了方法的选择外，关键的是如何构造重要不等式，构造得当，事倍功半，效果更好。

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