白银椭圆及其性质

                                      田彦武

                             广东省深圳市南头中学 518052

                 本文发表在《中学数学研究》（江西）2012年第6期

    文[1—3]研究了黄金椭圆与黄金双曲线，文[4]研究了亚黄金椭圆及其性质，最近文[5]又研究了亚黄金双曲线及其性质．受其启发，笔者今给出白银椭圆及其部分性质，与同行共勉．

http://s13/middle/a67fa5134c43d85ae139c&690定义1 若矩形一端去掉两个正方形之后，得到的矩形相似于原矩形，则这个矩形的宽与长之比为http://s12/middle/a67fa5134c43d85cf082b&690为白银比（见文[6]）．

如图，在矩形ABCD中，设http://s15/middle/a67fa5134c43d85dea9ee&690，

由矩形ABCDhttp://s10/middle/a67fa5134c43d85fa5369&690（负值舍去）．

定义2 若椭圆http://s5/middle/a67fa5134c43d860e9994&690，则称此椭圆为白银椭圆．

设椭圆http://s7/middle/a67fa5134c43d8614cee6&690．

性质1 白银椭圆的离心率http://s8/middle/a67fa5134c43d8624d537&690．（证明略）

http://s16/middle/a67fa5134c43d86641cdf&690．

证明 如图1，设点P的坐标为http://s2/middle/a67fa5134c43d86831661&690

的方程为http://s15/middle/a67fa51307a06270ca88e&690，则以切点为端点的弦AB的

方程为http://s6/middle/a67fa5134c43d8692c595&690． 图1

令http://s11/middle/a67fa5134c43d86bf279a&690，

∴http://s1/middle/a67fa5134c43d86c09f60&690，

∵点Phttp://s15/middle/a67fa5134c43d86cfb74e&690，

故http://s12/middle/a67fa5134c43d86dd5a0b&690．

http://s15/middle/a67fa5134c43d86ffd43e&690．

证明 如图2，设http://s6/middle/a67fa5134c43d86fc6b95&690，则

由http://s6/middle/a67fa5134c43d87093005&690易得： 图2

http://s2/middle/a67fa5134c43d87213871&690

由题设有http://s11/middle/a67fa5134c43d8727c25a&690，即

http://s16/middle/a67fa5134c43d87377b5f&690．

性质4 若经过白银椭圆http://s9/middle/a67fa5134c43d874c5838&690．

证明 设http://s10/middle/a67fa5134c43d8777aeb9&690，

由http://s9/middle/a67fa5134c43d87a46128&690．

推论 设白银椭圆http://s12/middle/a67fa5134c43d87a1cc7b&690上任一点与其长轴两个顶点的连线的斜率（假设都存在）之积为定值．

证明 设Phttp://s10/middle/a67fa5134c43d87b31079&690，则

http://s9/middle/a67fa5134c43d87c05d78&690

∵http://s4/middle/a67fa5134c43d87e4c333&690．

性质5 设http://s14/middle/a67fa5134c43d880452dd&690．

证明 设Phttp://s14/middle/a67fa5134c43d881bafcd&690，

∴http://s2/middle/a67fa5134c43d882725b1&690，

∴http://s15/middle/a67fa5134c43d885069ce&690．

性质6 白银椭圆http://s16/middle/a67fa5134c43d887d904f&690．

证明 设白银椭圆斜率为http://s5/middle/a67fa5134c43d88b07204&690，

∴http://s14/middle/a67fa5134c43d88c9928d&690 ①

则http://s5/middle/a67fa5134c43d88c63dd4&690 ②

由②http://s2/middle/a67fa5134c43d88f86721&690．

性质7 经过白银椭圆http://s16/middle/a67fa5134c43d8916265f&690．

证明 考虑白银椭圆的上半部分，其方程为http://s10/middle/a67fa5134c43d89324619&690，

∴http://s5/middle/a67fa5134c43d89407754&690．

由椭圆的对称性知，当点P在白银椭圆的下半部分时，结论也成立．

参 考 文 献

1． 吴文尧．黄金椭圆与黄金双曲线[J]．中学教研（数学），2004（11）．

2． 陈爱花．“黄金”数列与“黄金”椭圆[J]．中学生数学，2006（11）．

3． 玉邴图．黄金椭圆与双曲线的一个新性质[J]．中学生数学，2007（21）.

4． 苏立志．从一道高考试题谈“亚黄金椭圆”的性质[J]．数学教学研究，2007（6）．

5． 罗文军．“亚黄金双曲线”及其性质[J]．数学通讯，2011（11）（下半月）．

6． 郭森明．“黄金比”与“白银比” [J]．第二课堂，1998（1-2）．