各种科普书上都有集合比大小的方法，这里就不作铺垫，直接给定义了：对于集合 A, B，若存在从 A 到 B 的一个双射，则称集合 A, B 等势，记作 A≈B 。直观上来说，两个集合等势，意思就是它们的元素可以一一对应。
    注意，我们直到现在都没有定义“有限集”和“无穷集”的概念！更不用提定义“有限集”含有元素的多少了。这些工作我们马上就会做。不过在此之前，我们先做一些简单的铺垫。对任意集合 A, B, C，有下面的结论：

    对第一条，显然从 A 到 A 的恒等映射（即每个元素都映到它自己）就是个双射；对第二条，若存在从 A 到 B 的双射，则它的逆映射就是从 B 到 A 的双射；对第三条，若存在从 A 到 B 的双射和从 B 到 A 的双射，则二者的复合就是从 A 到 C 的双射。可以把它们叫做自反性、对称性、传递性，但是我们避免说等势是等价关系，因为这个关系要定义在全部集合组成的集合上（而这不能算作是一个集合）。由对称性，我们说 A, B 等势跟说 B, A 等势是一个意思。
    初次接触等势概念，可能会认为一个集合与它的真子集一定不等势。注意下面的例子：若规定映射 f : ω→ω-{0} 满足对任意自然数 n，均有 f(n)=n+，那么 f 是一个双射（这是由下面三条性质推出的：任意两个不同自然数的后继不同；0 不是任何自然数的后继；除 0 外任意自然数都是某个自然数的后继），从而 ω 与它的真子集 ω-{0} 等势。
    接下来，我们证明 ω×ω 与 ω 等势。我们想构造一个映射 f，使得 (0, 0) 被映成 0，(0, 1), (1, 0) 被映成 1, 2，(0, 2), (1, 1), (2, 0) 被映成 3, 4, 5，依次类推。为此，先定义一个从 ω 到 ω 的函数 u：u(0)=0, u(n+)=u(n)+(n+)（由递推原理，这样的函数 u 唯一存在，并且用归纳原理容易证明若自然数 m<=n，则 u(m)<=u(n)；实际上，这就是通常所说的三角形数，我们不直接使用表达式 u(u+1)/2，是因为我们没有定义自然数的除法），之后我们定义从 ω×ω 到 ω 的函数 f 满足

    这显然确定了一个从 ω×ω 到 ω 的映射。从 ω×ω 中任取两个不同元素 (m, n), (m', n')，若 m+n 与 m'+n' 不等，不妨设后者比前者大，则有 m'+n' 大于等于 m+n+1，故有

（别忘了对任意自然数 n，n+1 都是 n 的后继），因此 f((m, n)) 不等于 f((m', n'))；若 m+n 与 m'+n' 相等，则 m, m' 不等（否则 (m, n) 就等于 (m', n') 了），因此 f((m, n)) 仍然不等于 f((m', n')) 。综上，f 是单射。
     另外，我们对自然数 k 归纳证明存在自然数 m, n 使得 f((m, n))=k 。当 k=0 时，f((0, 0))=0 。假设对自然数 k 有 f((m, n))=k，若 n 不为 0，则可以写 f((m+1, n-1))=k+1；否则，有 f((m, 0))=u(m)+m=k，则可以写 f((0, m+1))=u(m+1)=u(m)+m+1=k+1 。总之，k+1 总在映射 f 的值域中。由归纳原理，f 是满射，因此 f 是双射，故 ω×ω≈ω 。
    当然，举了这么多奇怪的例子，并不意味着任意两个集合一定等势。例如说，任意非空集合与空集不等势：从空集到任意集合的映射只能是空集，它的值域也是空集，故从空集到任意非空集合的映射肯定不是满射，当然也不是双射。那么，我们熟悉的“无穷”集是否有不等势的例子？下面证明，任意集合 X 与它的幂集 P(X) 不等势。不妨先取 X=5={0, 1, 2, 3, 4} 的一个例子看看：

    注意花括号组成的方阵，它的主对角线含有 0, 1 但是不含 2, 3, 4 。我们取 X 的子集 {2, 3, 4}，那么因为它不包含 0 而 f(0) 包含 0，故它不等于 f(0)；它包含 2 而 f(2) 不包含 2，故它不等于 f(2) 。以此类推，它不等于任意一个 f(x)，这说明函数 f 不是满射。
    一般地，假设存在从 X 到 P(X) 的一个函数 f，考虑集合

（由子集公理，该集合唯一存在，且属于 P(X)），那么若存在 X 中某个元素 x 满足 f(x)=A，注意到 x∈A 等价于 x 不属于 f(x)，这就是说 x∈A 等价于 x 不属于 A，显然这不可能。故 f 不是满射，更不是双射。实际上，这个论证过程就是罗素悖论的翻版。不妨设 X 为“一切集合组成的集合”，那么一切集合都是它的子集（由子集定义显然），因此 P(X)=X，二者之间竟然有双射了，这不可能。又多了一个踢掉“万有集”的理由。

    我们准备用自然数来定义有限集。按照我们直观的感受，集合 0（即空集）中没有元素，集合 1 中只有一个元素 0，集合 2 中只有两个元素 0, 1，基于这样的理由，我们定义：对任意集合 A，若存在自然数 n 使得 A≈n，则称 A 为有限集，否则称 A 为无穷集。
    一个很自然的问题是，对于有限集，与它等势的自然数唯一吗？直觉上，这显然是成立的，接下来我们就想法证明它成立。又注意到若对自然数 m, n 有 A≈m 且 A≈n，则必有 m≈n，我们只需证明任意两个自然数若等势则一定相等就行了。我们将对自然数 n 归纳证明：

    事实上，n=0 时这是显然成立的，这是因为若 m 与 0=∅ 等势，那么根据之前的讨论，m 一定是空集，即 m=∅=0 。假设它对于自然数 n 成立，考虑自然数 n+，并设自然数 m 与 n+ 等势。由于 n+ 不是空集（空集不是任意集合的后继），故 m 也不是空集（即不为 0），设它为自然数 p 的后继，则 p+ 与 n+ 等势，即存在一个从 p∪{p} 到 n∪{n} 的双射 f 。
    若 f(p) 恰好等于 n，那么直接把 f 限制在集合 p 上，得到的映射就是从 p 到 n 的双射；若 f(p) 不等于 n，设有 f(t)=n（因为 f 是双射，所以这样的 t 存在且唯一），把 f(p) 和 f(t) 的值交换一下，得到的映射 f' 仍然是双射，并且此时 f'(p)=n，再把 f' 限制在集合 p 上，仍然可以得到从 p 到 n 的双射。总之，我们有 p≈n，由归纳假设有 p=n，故 m=p+=n+ 。因此，待证命题对 n+ 也成立，由归纳原理，该命题对一切自然数 n 均成立。
    这样，我们就证出了：任意两个自然数若等势则一定相等。由此立即可以推出对任意有限集 A，与它等势的自然数唯一，称为集合 A 的元素个数，记为 N(A)（注意，我们没有说 N 是个函数，因为它的“定义域”——所有有限集组成的“集合”——可不能是一个集合！否则因为它含有一切单集 {x}，对它取并就得到万有集了）。
    我们用“该集合与某个自然数等势”来刻画有限与无穷，但是这并不能显然地引出我们对有限与无穷的直观印象：有限集的子集，总该是个有限集吧！还好，它是成立的。我们先证明：任意自然数 n 的任意真子集都是有限集，且它的元素个数小于 n，也就是说

    对 n 归纳。当 n=0 时，结论成立，因为 A 永远不是 n 的真子集。假设结论对自然数 n 成立，看 n+，设 A 是 n+=n∪{n} 的一个真子集，此时有两种情况：
    若 n 不属于 A，则 A 是 n 的子集，若是真子集则用归纳假设，存在小于 n 的自然数 m 与 A 等势，当然更小于 n+；若不是真子集，即 A=n，那自然数 n 就与 A 等势并且小于 n+ 。总之，结论成立。
    若 n 属于 A，设 A'=A-{n}，则 A' 是 n 的真子集。由归纳假设，存在小于 n 的自然数 m 与 A' 等势。此时取从 m 到 A' 的一个双射 f，并令 f(m)=n，这样 f 就变成了从 m+ 到 A 的一个双射 f，因此 m+ 与 A 等势，而由 m 小于 n 知 m+ 小于 n+，结论成立。
    综上由归纳原理，结论对一切自然数 n 成立。
    很容易把自然数换为任意有限集：有限集 A 的真子集 B 必为有限集，且 N(B) 小于 N(A) 。这是因为设 N(A)=n，那么存在从 A 到 n 的双射 f，从而在这个函数下 B 的象 f(B) 是 n 的真子集，故它是有限集且元素个数小于 n，而 f 在 B 上的限制就是从 B 到 f(B) 的双射，故 B 也是有限集且元素个数小于 n 。我们还立即可以得到，有限集的子集还是有限集（因为它的真子集以及它本身都是有限集）。
    反过来，若一个集合与它的某个真子集等势，它一定是无穷集。例如，前面推出 ω≈ω-{0}，故自然数集 ω 是无穷集。

    很多时候，我们需要判断两个集合谁大谁小，而不仅仅是判断是否相等。这就引出了下面的定义：对于集合 A, B，若存在从 A 到 B 的一个单射，则称 A 受制于 B，记作

    另外，若 A 受制于 B 且不与 B 等势，则称 A 严格受制于 B，即

    容易证明，A 受制于 B 等价于 A 与 B 的某个子集等势。若 A 受制于 B，则存在从 A 到 B 的单射 f，那么 f 就是从 A 到 ran(f) 的双射，从而两者等势，而 ran(f) 是 B 的子集；反过来，若 A 与 B 的某个子集等势，则存在从 A 到这个子集的双射，它可以充当从 A 到 B 的单射。由此立即推出，任意集合 A 的子集受制于 A，特别地，A 受制于 A（实际上，等势的集合一定相互受制）。
    受制关系不仅满足自反性（A 受制于 A），还满足传递性（若 A 受制于 B 且 B 受制于 C，则 A 受制于 C），这很容易看出来：把从 A 到 B 的单射和从 B 到 C 的单射复合起来就是了。
    对于有限集 A, B，容易证明 A 受制于 B 等价于 N(A) 小于等于 N(B)，A 严格受制于 B 等价于 N(A) 小于 N(B) 。无穷集也可能有严格受制关系，作为一个严格受制的例子，我们证明任意集合严格受制于它的幂集。这是因为，规定从 X 到 P(X) 的映射 f 满足对任意 X 中元素 x，有 f(x)={x}，这显然是个单射，因此 X 受制于 P(X) 。但是我们已经证过，这两个集合不等势。
    接下来证明与受制有关的 Cantor-Bernstein-Schroeder 定理：若 A 受制于 B 且 B 受制于 A，则 A, B 等势。一个有些令人惊奇的事实是，自反性和传递性的证明非常显然，但是这个类似反对称性的看起来很明显的性质，证起来却没那么容易。这是因为根据定义，只能得出存在一个从 A 到 B 的单射 f 和一个从 B 到 A 的单射 g，这两个函数并没有什么联系，上哪去找从 A 到 B 的双射？
    我们先试着把 A, B 分别划分成两个集合 A1, A2, B1, B2，满足 A1 和 A2 并集为 A 且不相交，B1 和 B2 并集为 B 且不相交，并且 f(A1) 恰好是 B1，g(B2) 恰好是 A2 。如果真有这么好的事，那把 f 限制在 A1 上，把 g 限制在 B2 上再逆过来，两者并起来就是符合要求的双射。这么好的事，当然不能一下子就满足了，我们可以先满足它的一部分：对集合 A 的任意子集 X，定义

    简单地说，我们让 A1 等于 A 的随便一个子集 X，然后 B1 就是 f(X)，B2 就是 B-f(X)，A2 就是 g(B-f(X)) 。如果 X*=X，就说明 A1=A-A2，条件就满足了。A 的子集 X 有很多，X* 和 X 的关系多种多样，我们只关心那些使得 X* 包容于 X 的集合 X，并把它们叫做正规子集。这样的子集肯定是有的，A 本身就是正规子集，并且是“最大”的那个，但是想让 A*=A 除非 f 本来就是双射。反过来想，如果有一个“最小”的正规子集，它可能更接近我们的要求。下面就来进行严格的证明。
    显然，任取 A 的子集 X1, X2，若 X1 包容于 X2，则 X1* 包容于 X2* 。这是因为由 X1 包容于 X2，有 f(X1) 包容于 f(X2)，有 B-f(X1) 包容 B-f(X2)，有 g(B-f(X1)) 包容 g(B-f(X2))，有 A-g(B-f(X1)) 包容于 A-g(B-f(X1))，即 X1* 包容于 X2* 。
    接下来，求一切正规子集的交集（一切正规子集能形成集合，因为有 P(A) 作包容集；同时正规子集是存在的，这样就可以求交集了），记为 M 。先证 M 是正规子集，这是因为对任意正规子集 X，都有 M 包容于 X，从而 M* 包容于 X* 包容于 X，即 M* 包容于一切正规子集，故也包容于它们的交集 M，这也就是说 M 是正规子集。由 M* 包容于 M 得 M** 包容于 M*，故 M* 也是正规子集，从而它包容一切正规子集的交集 M 。综合以上两点，M*=M，故 M 就是要找的集合，定理得证。
    这个定理是判断集合等势的有力工具，例如，我们立即可以断定实数区间 (0, 1), [0, 1), (0, 1], [0, 1] 等势，这是因为由表达式 f(x)=x/2+1/4 给定的函数是从任意一个区间（它充当函数的定义域）到任意一个区间的单射，从而它们互相受制，因此均等势。区间 (a, b), [a, b), (a, b], [a, b] 分别与前面四个区间等势（例如，从 (0, 1) 到 (a, b) 有双射 f(x)=(b-a)x+a；另外四组等势对应的双射，表达式完全一样），所以实数集上任意有限区间均等势。函数 f(x)=cot(πx) 是从 (0, 1) 到实数集的双射，从而实数集上任意有限区间与实数集等势。对于 (a, +∞) 这样的集合，只需注意 (a, a+1) 受制于它，它受制于 R（因此也受制于与它等势的集合 (a, a+1) 就会发现它与实数集也等势。类似地，实数集的任何区间（当然不含 [a, a] 这种平凡区间）不管是有限的还是无限的，都与实数集等势。
    接下来证明 P(ω) 与 [0, 1) 等势。实际上，[0, 1) 的每个实数可以唯一表示为标准二进制小数（即 0.a1a2a3... 的形式，且不存在某位往后全是 1），把每个小数代表的数字串看作函数 f : ω→2={0, 1} 的函数值，就立即构造出了从 [0, 1) 到 2^ω 的单射。现在把所有二进制改写成三进制（这时仍然是 0.a1a2a3... 的形式，但是限制条件变成了不存在某位往后全是 2），把每个仅含有 0, 1 的小数（这种小数一定是标准的）代表的数字串看作函数 f : ω→2={0, 1} 的函数值，就立即构造出了从 2^ω 到 [0, 1) 的单射。从而，2^ω 与 [0, 1) 等势，又 P(ω) 与 2^ω 之间存在一个很明显的双射（对 ω 的任意一个子集 A，令它映射到这样一个函数 f，它把属于 A 的元素映射到 1，把不属于 A 的元素映射到 0，显然这个映射是从 P(ω) 到 2^ω 的双射），故 P(ω) 与 [0, 1) 等势。
    至此，我们对一些常见集合的大小有了直观的印象：ω, ω×ω 等势；P(ω), 2^ω, R 上任意区间, R 等势；前者严格受制于后者（因为 ω 严格受制于 P(ω)）。我们还知道，两个集合 A, B 的关系只有四种情况：要么两者等势，要么 A 严格受制于 B，要么 B 严格受制于 A，要么这三者均不满足。直观上来看，两个集合总有一个比另一个“大”，前三种情况应该总有一个成立吧！但是，对它的严格证明，还要留到后面再说。

    定义可数集的概念：称一个集合为可数集，当且仅当它受制于 ω 。可以看出，所有有限集是可数集（显然有从任意自然数到 ω 的单射），所有与 ω 等势的集合也是可数集。
    接下来，我们将证明 ω 受制于任意无穷集。为此，只需构造出从 ω 到无穷集的单射 f，这也就是说，从一个无穷集中取出一长串元素 f(0), f(1), f(2), ...，看来是很容易的，因为显然不会在某一步把这个无限集取光，可以一直取下去，但是，就像递推公理一样，我们不能用无限步来取出这么一长串元素。
    看起来很奇怪，这个似乎很显然的结论要用一个似乎很显然的公理来保证。这就是选择公理：
    选择公理 对任意非空集合 A，存在从 P(A)-{∅} 到 A 的函数 φ，使得对 A 的任意非空子集 X，有 φ(X)∈X 。
    直白地说，选择公理说的就是对任意非空集合，可以从它的每个非空子集里选一个元素。因为非空子集的个数可能会非常多，而选元素又可能没有任何规律，已有的公理对这样的选择函数是否存在是无用的。这种似乎很显然的东西居然不一定成立，是一件很反直觉的事情。不过，千万别以为构造这么一个选择函数很容易：事实上，至今无人构造出实数集 R 上的一个选择函数。后面我们会证明选择公理、良序化原理、Zorn 引理是等价的，但是一个正常人看到它们的第一反应分别是：“这特么还用证？”“这特么也能对？”“这特么是啥？”承认这个公理，就相当于不管对什么集合，都有满足条件的选择函数。在之后的论证中，我们将承认选择公理，并在用到它时标明。
    选择公理还有一种等价形式：给定集族 (A_i)_(i∈I)，其中标集 I 和每个 A_i 都非空，那么存在集族 (a_i)_(i∈I) 使得对任意 i∈I 都有 a_i∈A_i 。若它成立，那么在选择公理的前一种叙述中把 A 的所有非空集合看成集族（标集就取成 P(A)-{∅} 好了，让 A_i 都等于 i），可以看出存在这样的选择函数 φ；反之，若选择公理的前一种叙述是正确的，那么令 A 等于集族 (A_i)_(i∈I) 之并，再把集合 A 的选择函数限制在各个 A_i 组成的集合上就行了。
    在回到刚才的命题之前，让我们先证一个小结论：若集合 A, B 满足 A 非空，那么存在从 A 到 B 的单射，当且仅当存在从 B 到 A 的满射。从左边推出右边是容易的，只需把单射取反函数，再让 B 中其它元素全映射到 A 中某个元素就行了。要从右边推出左边，设这个满射为 f，在 B 中定义等价关系“两个数的函数值相等”，然后由选择公理，在每个等价类里取一个元素，把函数 f 限制在这些元素组成的集合上，再取反函数，就是所要的单射。注意到，这给出了 A 受制于 B 的另一个充要条件。
    回到刚才的命题，我们将证明对任意无穷集 A，存在从 ω 到 A 的单射 f 。由选择公理，先取集合 A 的一个选择函数 φ，之后用第二递推原理构造这样一个单射 f，为此取递推函数为

（其中 u 是 A^0, A^1, A^2, ... 并集中的任意一个函数）。容易看出对任意这样的函数，A-ran(u) 都是 A 的子集，并且非空（否则 ran(u) 就等于 A，设 u 属于 A^n，这就是一个从 n 到 A 的满射，故 A 受制于 n，即 A 与 n 的一个子集等势，故 A 为有限集，这不可能），因此这个递推函数定义是成功的。接下来由第二递推原理，存在从 ω 到 A 的函数 f 满足对任意自然数 n，有 f(n)=g(f|n) 。注意对任意不等的自然数 m, n，由三歧性不妨设 m 小于 n，则 m 属于 n，因此 f(m) 属于 f|n 的值域 ran(f|n)，但是 f(n) 等于 g(f|n)，它属于 A-ran(f|n)，因此 f(m) 不等于 f(n) 。这样，f 就是一个从 ω 到 A 的单射，所证结论成立。
    由此可以直接推出，可数集只有两类：有限集及与 ω 等势的集合。按定义，显然这两类集合都是可数集。反过来，一个可数集 A 要么有限要么无穷，如果是无穷集，那么 ω 就受制于 A，但按可数集的定义 A 又受制于 ω，故 A 与 ω 等势。
    另一个推论是，无穷集必与某个真子集等势。事实上对于无穷集 A，取一个从 ω 到 A 的单射 g，构造从 A 到 A-{g(0)} 的函数 f：对于每个 g(n)，令 f(g(n))=g(n+)；对于不属于 g 的值域的那些 x，令 f(x)=x 。显然 f 是双射，故 A 与它的真子集 A-{g(0)} 等势。我们证明过有限集与它的真子集不等势，于是可以说，一个集合是无穷集，当且仅当它存在一个真子集与它等势。
    另外一个结论是，可数集的任意子集可数，这个用定义以及受制的传递性显然。
    接下来我们证明：可数个可数集的并集可数。也就是说，若集合 M 可数，且 M 的每个元素可数，则 ∪(M) 可数。当 M 为空集时，结论成立，故可设 M 非空。若 M 包含空集，则把空集扔掉不影响 ∪(M)，故可设 M 不包含空集。
    由于 M 可数，故存在从 ω 到 M 的满射 A，容易看出集族 (A_m)_(m∈ω) 的并就是 ∪(M) 。接下来，对任意的 A_m，都存在从 ω 到 A_m 的满射，设这些满射组成的集合为 F(m)，由选择公理，可以从每个 F(m) 中各选出一个满射 g(m) 组成映射族 (g(m))_(m∈ω) 。也就是说，对任意自然数 m，g(m) 是从 ω 到 A_m 的满射。
    最后，记 f((m, n))=g(m)(n)，则对于 (A_m)_(m∈ω) 的并集中任意一个元素 x，存在自然数 m 使得 A_m 包含 x，而 g(m) 是从 ω 到 A_i 的满射，故存在自然数 n 使得 g(m)(n)=x，即 f((m, n))=x，于是 f 是从 ω×ω 到 ∪(M) 的满射。因此，∪(M) 受制于 ω×ω，故也受制于与它等势的集合 ω，即 ∪(M) 可数。
    由此，立即可以看出整数集是可数集（因为它是正整数集、负整数集和 {0} 的并集），且与 ω 等势；注意到正整数集与它自己的笛卡尔积 Z+×Z+ 受制于 ω×ω，故它是可数集且与 ω 等势，而显然存在从 Z+×Z+ 到正有理数集的满射（(m, n) 映射到 m/n），故正有理数集也与 ω 等势，根据同样的理由，有理数集也与 ω 等势。

    集合大小的讨论暂时告一段落，引入一个更好玩的东西：序集。给定集合 A 以及 A 中一个关系 R，若满足对任意 x, y, z∈A，下面三式（自反性、反对称性、传递性）

均成立，称 R 是集合 A 的一个偏序，(A, R) 是一个序集。
    注意，序集是一个有序对，第一坐标是一个集合，第二坐标是在这个集合上的满足三个条件的关系。但是在不会混淆的情况下，经常直接说 A 是一个序集。后面我们还会有“序集 (A, R) 的子集”的表述，此时它指的是一个序集 (B, R')，其中 B 是 A 的子集，并且 R' 是 R 与 B×B 的交集，即集合 B 的顺序与集合 A 完全一致。通常此时我们还会更简单地说“序集 A 的子集 B ”。注意，对于序集 (A, R) 及 A 的任意一个子集 B，只要集合 B 的顺序与集合 A 完全一致，那么 B 就是序集。
    我们经常把这种关系 R 读作小于等于，记作 <= 。另外，把 x 小于 y 定义为“ x<=y 且 x≠y ”。任取序集 A 中两个元素 x, y，要么 x=y，此时显然 x 小于 y 和 y 小于 x 都不成立；要么 x≠y，此时又分三种情况：x 小于等于 y（也就是 x 小于 y）、y 小于等于 x（也就是 y 小于 x）以及两者都不符合（注意两者不可能都符合，否则由反对称性就有 x=y 了）。综上，x=y, x 小于 y, y 小于 x 至多有一个成立。容易证明，若 x 小于 y 且 y 小于 z，则 x 小于 z，这是因为由传递性知 x 小于等于 z，但是若 x=z，则 x, y 都小于对方，这是不可能的。
    若 x 小于等于 y 和 y 小于等于 x 至少有一个成立，则称 x, y 可较。对于可较的元素 x, y，x=y, x 小于 y, y 小于 x 恰有一个成立。若序集 A 的任两个元素都可较，则称 A 是全序集，此时对 A 中任意元素 x, y，x=y, x 小于 y, y 小于 x 恰有一个成立，即满足三歧性。值得注意的是，全序集的子集必为全序集。
    此时，我们对序集的小于关系已经有了一个直观的印象：任意两个元素要么相等，此时它们谁也不小于谁；要么有一个小于另一个，但是两个元素不会都小于另一个；要么它们不相等并且谁也不小于谁。对于全序集，最后一种情况不存在，也就是说对任意两个不同元素，总能分出个大小来。对于一些“小”的全序集，可以认为所有元素能排在一条直线上，使得左边的都小于右边的（但是如果全序集太“大”，可能就挤不进一条直线了）。
    引入序集的最小元的概念：若序集 A 中存在一个元素 a，使得对 A 中任意元素 x 均有 a 小于等于 x，那么 a 是 A 的最小元。注意，A 的最小元是 A 的元素，并且与 A 中任意元素均可较。把“小于等于”换成“大于等于”，这就是最大元的定义。容易看出，序集最多有一个最小元，因为如果有两个最小元 a, b，那么它们都小于等于对方，由反对称性，有 a=b 。注意，序集可以没有最小元，例如整数集 Z 按通常的小于等于的顺序是序集，但是它没有最小元；又对于某个至少含两个不同元素的集合，令它任两不同元素都不可较（于是“小于等于”和“等于”是一个意思），那么它的任意元素都做不到与其他元素都可较，更别说成为最小元了。同理，序集最多有一个最大元。
    若序集 A 的任意非空子集（前面约定过，序集的子集仍然当成序集看）都有最小元，则称 A 是良序集。值得注意的是，良序集的子集必为良序集（空集也是良序集，因为它连非空子集都没有）。另外，良序集一定是全序集：对良序集中任意两个不同的元素 x, y，集合 {x, y} 有最小元，要么是 x 要么是 y，它肯定小于等于对方，也就是说 x, y 必可较。
    用归纳原理容易证明，若在有限集上有全序，则它为良序集；自然数集 ω 按照原来的顺序，也是良序集（最小数原理）；按照有理数原来的顺序，集合 {0, 1/2, 2/3, 3/4, ... , 1} 是良序集（相当于在一串自然数后面加入一个比它们都大的元素）；集合 {0, 1/2, 2/3, 3/4, ... , 1, 3/2, 5/3, 7/4, ...} 是良序集（相当于把两串自然数一左一右放置）；集合 {0, 1/2, 2/3, 3/4, ... , 1, 3/2, 5/3, 7/4, ... , 2, 5/2, 8/3, 11/4, ... , ...... , k, k+1/2, k+2/3, k+3/4, ... , ......} 是良序集（相当于把无限串自然数串起来）。现在我们对如何造良序集有了一个粗略的直观印象：要么一个一个在右边加元素，要么在“加了无穷个元素”之后再加一个元素，从它开始接着加元素。

    引入良序集的目的之一，是想把归纳原理和递推原理推广到比自然数“更大”的集合。为此，定义截段的概念：给定全序集 A（事实上对任意序集也有这样的定义，不过这里只关心全序集就够了），若 A 的子集 T 满足

则称 T 为 A 的截段。若 T 不等于 A，称 T 为 A 的真截段。这个定义的意思是，对截段里任意元素，比它小的元素仍然属于这个截段。直观地说，如果把全序集排在一条线上，左边的元素比右边小，那么截段就是全序集从“某个地方”截开后得到的左边那段集合。容易看出，空集和 A 本身都是 A 的截段。若 a 是 A 的一个元素，定义前段和弱前段分别为

则它们都是 A 的截段，并且 s(a) 还是 A 的真截段（因为 a 不属于 s(a)，故 s(a) 不等于 A）。前段一定是真截段，但是真截段就不一定是某个元素的前段。例如，空集是整数集 Z 的一个真截段，但却不是某个整数的前段。所有小于等于 0 的有理数组成的集合是有理数集 Q 的一个真截段，但同样也不是某个有理数的前段。下面这个定理，指出了良序集的特有性质：
    给定全序集 A，则 A 为良序集当且仅当 A 的任意真截段都是 A 中某个元素的前段。
    事实上，若 A 是良序集，设 T 为 A 的一个真截段，那么 A-T 非空，故有最小元 a 。对 A 中任意元素 x，若 x 属于真截段 T，那么假如有 a 小于等于 x，按截段的定义 a 就应该属于 T，这与 a 是 A-T 的最小元矛盾，故 x 小于 a；反过来，若 x 不属于 T（即属于 A-T），那么由于 a 是 A-T 的最小元，必有 a 小于等于 x 。因此，x 属于 T 当且仅当 x 小于 a，这说明 T 一定是 s(a)，即为 A 中某个元素的前段。
    反过来，若全序集 A 的任意真截段都是 A 中某个元素的前段，设 B 为 A 的非空子集，记 A 中所有满足“小于 B 中一切元素”的元素组成集合 T，那么按定义 T 显然是 A 的截段，并且还是真截段（因为 B 中元素都不属于 T）。由假设，设 T=s(a)，那么 a 一定小于等于 B 中任意元素 x（若不然则 x 小于 a，即 B 中的元素 x 属于集合 s(a)=T，而这不可能），同时 a 一定属于 B（若不然则 a 一定小于 B 中任意元素 x，那么按定义 a 属于 T=s(a)，即 a 小于 a，显然不可能），故 a 是 B 的最小元。综上，A 是良序集。
    至此，所证结论成立。
    直观地说，良序集满足这样的性质：把良序集排在一条线上，随便在左边截下一段，不管这一段有没有最大元，总能找到“紧接在它后面的元素”（只要截下的这段不是全部良序集）。相反，非良序的全序集就不满足这一性质。
    归纳原理可以推广到良序集上，称为超限归纳原理：对于良序集 A，若 A 的子集 B 满足条件

（也就是说对 A 中任意元素，只要比它小的元素都属于 B，那么它就属于 B），则 B=A 。证明它很简单，若 A 不等于 B，则 A-B 必有最小元 a，此时比 a 小的元素都不属于 A-B（即都属于 B），但是 a 却属于 A-B（即不属于 B），这与条件不符。注意到，若良序集 A 取成自然数集 ω，那么这就是第二归纳原理。
    递推原理可以推广到良序集上，称为超限递推原理：对于良序集 A 及非空集合 X，给定递推函数

那么存在唯一的从 A 到 X 的函数 u，满足

    若良序集 A 取成自然数集 ω，那么这就是第二递推原理（注意到，此时 s(a) 恰好就是 a）。证明同第二递推原理的证明基本上一样。超限归纳原理和超限递推原理都将在后面经常被用到。

    最后，讨论序集的相似。给定两个序集 (X, <=_X), (Y, <=_Y)，若存在从 X 到 Y 的双射 f 满足

则称 X, Y 相似，记作

并说 f 是从 X 到 Y 的一个相似映射。相似是一个很强的条件，它表明两个序集的结构完全一样，只不过在集合 X 中的元素 a，在集合 Y 中改叫做元素 f(a) 了。显然，序集的相似满足自反性、对称性和传递性。
    对于全序集 X, Y，这个定义可以换成更弱的等价命题：当且仅当存在从 X 到 Y 的满射 f 满足

时，X, Y 相似。这是因为全序集的任意两个元素都满足三歧性。
    良序集的相似有一些很好的特殊性质，例如可以证明：若从良序集 X 到它的某个子集（前面约定过，序集的子集仍然当成序集看，并且顺序保持一致，因此这里只用 <= 记良序集 X 的顺序）有相似映射 f，那么对 X 中任意元素 a 都有 a<=f(a) 。我们使用超限归纳原理，对 X 中任意元素 a，设对任意小于 a 的元素 x 都有 x<=f(x)，那么假如 f(a) 小于 a，由 f 是相似映射，立即有 f(f(a)) 小于 f(a)，但是由归纳假设，f(a) 应该小于等于 f(f(a))，这是矛盾的。因此，必有 a<=f(a)，由超限归纳原理，所证结论成立。这说明，良序集到它的子集的相似映射是不能“后退”的，一般的全序集就未必如此：整数集 Z 到它自己的相似映射 f(x)=x-1，正有理数集 Q+ 到它自己的相似映射 f(x)=x/2，都是不满足该结论的例子。
    由此立即可以推出，良序集不可能与它的真截段相似。事实上，若良序集到它的真截段 s(a) 有相似映射 f，那么 f(a) 必然小于 a，这就违反了不能“后退”的要求。另外，若从良序集 X 到良序集 Y 有相似映射，则它是唯一的相似映射。事实上，若存在两个从 X 到 Y 的相似映射 f, g，那么 g^(-1) 与 f 的复合就是从 X 到 X 的相似映射，故对 X 中任意元素 a 有 a<=g^(-1)(f(a))，两边用映射 g（注意这是个相似映射，映完之后大小关系不变）得 g(a)<=f(a)，同理得 f(a)<=g(a)，故 f(a)=g(a)，这说明 f, g 是同一个映射。

    在本文的结尾，证明一个很重要的结论：对任意良序集 X, Y，下列三种情况恰有一个成立：X 与 Y 相似；X 与 Y 的某个真截段相似；Y 与 X 的某个真截段相似。事实上利用刚才的几个结论，很容易推出三种情况最多有一个成立，接下来我们只需证明三种情况最少有一个成立就行了。为此，我们将用超限递推原理构造满足条件的相似映射。当 X, Y 有一个是空集时，结论显然成立，因此可设 X, Y 均非空。
    设 Y 不与 X 的某个真截段相似，先构造递推函数 f 。对任意 a∈X 和任意从 s(a) 到 Y 的映射 t，分两种情况定义 f(t)：当 ran(t) 不等于 Y 时，令 f(t) 等于 Y-ran(t) 的最小元（按 Y 中顺序；后面出现小于、最小元等描述，要看上下文来确定它是按的哪个良序集的顺序），否则令 f(t) 等于 Y 的最小元。注意，后面我们会推出不可能有 ran(t)=Y 这种情况出现，所以第二种情况其实无关紧要，我们定义它只是为了完全确定递推函数 f 。由超限递推原理，存在唯一的从 X 到 Y 的函数 u，满足对任意 a∈X 有 u(a)=f(u|s(a)) 。
    分几步完成命题的证明：
1.函数 u 在 X 上严格递增。
    只需证明对 X 中任意满足 b 小于 a 的元素 a, b，有 u(b) 小于 u(a) 即可。对 a 超限归纳，假设该命题对所有小于 a 的元素均成立（对任意满足 c 小于 b 小于 a 的元素 b, c，有 u(c) 小于 u(b)），即 u 在 s(a) 上严格递增，那么 ran(u|s(a)) 不会等于 Y，否则 u|s(a) 就是从 X 的真截段 s(a) 到 Y 上的相似映射，这与假设矛盾。同理，对任意小于 a 的元素 b，ran(u|s(b)) 不会等于 Y 。于是按函数 u 的定义，u(a), u(b) 分别等于 Y-ran(u|s(a)), Y-ran(u|s(b)) 的最小元。注意前者是后者的子集（因为 s(b) 是 s(a) 的子集，从而 ran(u|s(b)) 是 ran(u|s(a)) 的子集），故后者的最小元小于等于前者的一切元素，自然也小于等于前者的最小元，即 u(b) 小于等于 u(a)；另一方面，u(b) 属于 ran(u|s(a))，然而 u(a) 却属于 Y-ran(u|s(a))，故两者不等，u(b) 小于 u(a) 。至此，该命题已证完。
    由于已经证明 X 严格递增，我们还可以顺便得到对任意 a∈X 满足 ran(u|s(a))≠Y，从而递推函数定义中的第二种情况就没有用了。
2.ran(u) 是 Y 的截段。
    设 x 为 ran(u) 的一个元素，且 y 小于 x，只需证明 y 属于 ran(u) 即可。由假设，设 x=u(a)，考虑集合

    注意 y 小于 x=u(a)，故 a 属于 A，即 A 不空。设 b 是集合 A 的最小元，则自然有 y<=u(b) 。另外，y 不属于 ran(u|s(b))，否则就存在小于 b 的元素 b' 满足 y=u(b')，那么 b' 也应该属于 A，这样 b 就不是最小元了。这也就是说，y 属于 Y-ran(u|s(b)) 。然而，u(b) 是 Y-ran(u|s(b)) 的最小元，因此 u(b)<=y，从而有 y=u(b)，故 y 属于 ran(u)，命题成立。
    此时，若 ran(u)=Y，那么 u 就是从 X 到 Y 的相似映射；否则，u 就是从 X 到 Y 的某个真截段的相似映射。至此，结论全部证完。
    这个结论可以看作是良序集的可较原理，它告诉我们，任意两个良序集都可以以相似为标准比较，如果把所有良序集“排成一串”，从左到右依次“增大”，那么从最小的良序集（空集）一直往后加元素，就可以按顺序造出“全部”的良序集。