先做一些约定：设 a_0,a_1,a_2,a_3,... 是一个无穷整数列，除第一项外均为正整数，记

    显然 p_n,q_n 都是整数数列。由这里可以得到

    另外，由于 a_1,a_2,a_3,... 都是正整数，于是容易得出

    根据 p_n*q_(n-1)-q_n*p_(n-1)=(-1)^(n+1) ，由裴蜀定理容易得到

    n=-2 的情形可以单独验证，所以 (p_n,q_n)=1 对 n=-2,-1,0,1,2,3,... 都成立。这样立即得到我们的渐近分数 s_n=p_n/q_n 一定是个既约分数。

    下面研究普通分数与有限简单连分数的互化。先做个铺垫：任意一个有理数 x 都能唯一表示成下列形式：

    而我们又知道有限简单连分数 s_n=[a_0,a_1,a_2,a_3,...,a_n] 可以写为

    注意 p_n 为正整数，由于 q_0=1 故显然有 q_n 为正整数，而且我们刚刚证过 (p_n,q_n)=1 。所以这符合上面的有理数标准形式。

    将有理数转化为有限简单连分数也不难，只需不断“提取整数部分再取倒数”就行了，先举个例子：

    这和辗转相除法非常像：“提取整数部分”就是在用分子除以分母，商作为某个 a_i ，余数仍然在分子上，然后通过“取倒数”把分子分母交换再接着除。

    我们要问：这种表示是否唯一？不是。例如 935/324 就有两种表示形式：

    还有别的表示形式吗？我们刚才是按照每次提取整数部分的原则操作的。现在我们不用非要提取整数部分，假设我们在某一步提取了某个正整数，那么剩下的部分取完倒数就即将表示成这个样子：

    注意 a_k 并不是整个连分数的第一项，可见它仍然是一个连分数，并且这个连分数的所有 a_i 都是正整数（包括最左面一项）。于是这个连分数必然大于等于 1 ，注意到特殊情况下该连分数只有一项歧且为 1 ，于是这个等号可以取到。

    也就是说，在取倒数之前这个数必然大于 0 小于等于 1 。如果待提取的有理数不是整数，那么只能提取整数部分；如果待提取的有理数是整数，那么要么把这个整数全提取出来结束操作，要么剩下一个 1 在下一步结束操作。

    这样就可以得到任意一个有理数可以化成恰好两个有限简单连分数，并且其中一个连分数比另一个多一项，最后一项是 1 ，倒数第二项比另一个连分数的最后一项少 1 ，其余所有项对应相等。

    同时可以得到两个有限简单连分数相等的条件：要么两个连分数的项数和对应项完全相等，要么其中一个连分数比另一个多一项，最后一项是 1 ，倒数第二项比另一个连分数的最后一项少 1 ，其余所有项对应相等。