数学中有一个令人惊奇的事实：只用圆规，就可以完成一切尺规可以作出的点！

    为了说明圆规完全可以代替直尺的工作，我们只需用圆规完成两个工作：

    1° 作出圆和直线的交点（当然直线没有画出，只给出了两个点，下同）；

    2° 作出两条直线的交点。

    然后，我们就不用用直尺连线，只用圆规完成尺规作图。

 

作点关于点的对称点

 

    已知：两点A,O

    求作：点A关于点O的对称点B

    作法：只需以O为圆心，过A点画个圆，在圆上以AO为半径截取3次即可。

http://s1/mw690/a661ecd5gx6BwcEKf7y20&690

 

作点关于直线的对称点

 

    已知：三点A,P,Q

    求作：点A关于直线PQ的对称点B

    作法：分别以P,Q为圆心，过点A作两个圆，两圆的另一个交点就是点B。（如果两圆相切，说明点A在直线PQ上，此时点B与点A重合）

http://s16/mw690/a661ecd5gx6Bwdd6Wlh8f&690

 

作等腰三角形的外心

 

    已知：不共线三点A,B,C，满足AB=AC

    求作：△ABC的外心O

    作法：1.以点A为圆心，过点B,C作圆；

          2.作点A关于直线BC的对称点D；

          3.以点D为圆心，过点A作圆，交圆A于点E,F；

          4.作点A关于直线EF的对称点O，点O即为所求。

http://s4/mw690/a661ecd5gx6BwdLqULx63&690

    证明很简单，考虑△AEO和△ADE，两个三角形都是等腰三角形，且底角相等，于是这两个三角形相似，AE/AO=AD/AE，进而有AB/AO=AD/AB，这可以推出△ABO和△ADB也是相似三角形，好了，既然AB=BD，那同时就有AO=OB，于是证完了。

    当然还存在两圆不相交的情况：当△ABC的底角小于某个角（约为14.5°）时两圆不会相交。不过这个漏洞很好补上：很容易作出线段AB中垂线上两点，然后作出点C关于中垂线的对称点P，则点P与A,B,C共圆，同理作出点B关于线段AC中垂线的对称点Q，则AP=AQ，且△ABC的外心即为△APQ的外心，而三角形底角翻了一倍，有限次翻倍后总能超过临界角。如下图。

http://s5/mw690/a661ecd5gx6BwVTSpFi84&690

 

四等分圆周

 

    这个问题很出名，因为据说拿破仑研究过...做法也不难。

    已知：圆O

    求作：圆上等分圆周的四点A,B,C,D

    作法：1.在圆周上任取一点A；

          2.作出点A关于点O的对称点C，并设截两次后得到的点为P；

          3.以A,C为圆心，AP长为半径作圆，其中一个交点为Q；

          4.以A为圆心，OQ长为半径作圆，与圆O交于两点B,D，作图完毕。

http://s1/mw690/a661ecd5gx6BwWGRLs4c0&690

    原理很简单，设圆O半径为R，则AP=AQ=(√3)*R，而AO=R，由勾股定理，QO=(√2)/R，于是可以截出圆的四等分点。

 

作两点所连线段的中点

 

    已知：两点A,B

    求作：线段AB的中点M

    作法：1.作点A关于点B的对称点C；

          2.以点A为圆心，作圆过点B；

          3.以点C为圆心，作圆过点A，两圆交点为点P,Q；

          4.作点A关于直线PQ的对称点M即为所求。

http://s1/mw690/a661ecd5gx6BwXeSbg460&690

    证明很简单，△ACP和△APM是两个等腰三角形，底角相等，所以它们相似，于是AC/AP=AP/AM=2，M即为线段AB中点。

 

    有了上面几个辅助作图，现在分别解决两个目标问题。

 

作圆与直线的交点（1）

 

    已知：圆O，两点A,B

    求作：圆O与直线AB的交点

    作法：1.作点O关于直线AB的对称点O'；

          2.以点O'为圆心作一个与圆O半径相等的圆；

          3.两圆交点即为所求，两圆有2/1/0个交点恰好对应圆O与直线AB有2/1/0个交点。

http://s7/mw690/a661ecd5gx6BwYIpOGq06&690

    证明很简单，因为直线AB是线段OO'的中垂线，所以只需在圆O上作与O,O'距离相等的点就行。

    这个作图要求点O不在直线AB上。若点O在直线AB上，问题转化为作直线OA与圆O的交点。

 

作圆与直线的交点（2）

 

    已知：圆O，点A

    求作：圆O与直线OA的交点P,Q

    作法：1.以线段OA为直径作圆（作法：先找中点）交圆O于点B；

          2.以点O为圆心，过点A作圆，在圆上找到与A相邻的两个圆周四等分点C,D；

          3.以点C为圆心，线段AB为半径作圆，交大圆于点E,F；

          4.作点C关于点E,F的对称点G；

          5.以线段DG为直径作圆，交小圆于两点P,Q即为所求。

http://s9/mw690/a661ecd5gx6BwZG5DIca8&690

    仍然用相似三角形来证明。

    △COE和△CEG都是等腰三角形，底角相等，所以是相似三角形，有CO/CE=CE/CG，设大圆和小圆半径分别为R,r，则有CE^2=R*CG。

    而CE^2=AB^2=OA^2-OB^2=R^2-r^2，于是有R^2-r^2=R*CG,R*OG=r^2。这样就可得OD*OG=OP^2。

    又有DP⊥GP（且显然G,O,D共线），取线段DG中点M，即有OD*OG=DM^2-OM^2=PM^2-OM^2，于是OM^2+OP^2=PM^2，得出OD⊥OP，同理OD⊥OQ，这就证明了作图的正确性。

    最后一个问题，如果点A在圆O内，这时不能直接用上面作法（因为以线段OA为直径的圆与圆O不相交），不过可以先作出点O关于点A的对称点A'，这样相当于OA的长度翻了一倍，经过有限次操作后总可以找到一个在直线OA上、在圆O外的点。

    至此，第一个目标问题已解决。

 

作两条直线的交点

 

    已知：四个点A,B,C,D

    求作：直线AB与直线CD的交点P

    作法：1.作出点C,D关于直线AB的对称点C',D'；

          2.作出点A关于直线CD,C'D'的对称点A_1,A_2

          3.由对称性可得AA_1=AA_2，作△AA_1A_2的外心即为所求。

http://s8/mw690/a661ecd5gx6Bx1xfN7Ve7&690

    证明：点P满足AP=A_1P，而直线CD是线段AA_1的中垂线，所以点P在直线CD上，同理点P在直线C'D'上，由于直线CD,C'D'关于直线AB对称，所以三线共点，点P即为直线AB和直线CD的交点。

    这个作法有时会出点小情况：

    如果点A,A_1,A_2重合，那就是直线CD过点A，这时A是所求交点；

    如果点A_1,A_2重合，但不与点A重合，就直接找线段AA_1的中点即为所求；

    如果点A,A_1,A_2共线，说明AB∥CD，那就不用找交点了。

    至此第二个目标问题已解决，我们成功证明了圆规作图等价于尺规作图。

 

参考资料：http://www.docin.com/p-26835863.html