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氯化钡和硫酸银
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经典题目:以任意三角形的三边为边长向外作正方形

(2012-08-17 16:50:29)
标签:

数学

几何

三角形

中线

平移

杂谈

分类: 数学趣题-几何

    先上一道题目:已知△ABC,分别以AB,AC,BC为边长,向形外作正方形ABED,BCGF,ACHI,连DI,EF,GH,求证以长为DI,EF,GH的线段为边可以构造一个三角形,且其面积为△ABC面积的3倍。

    这道题并不难,提示:某些图形的面积等于△ABC的面积。

经典题目:以任意三角形的三边为边长向外作正方形

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

    显然,△ADI,△BEF,△CGH的面积都等于△ABC。以△ADI举例,AB=AD,AC=AI,sin∠BAC=sin∠DAI,三者相乘即为△ABC,△ADI面积的2倍。妙就妙在,三个三角形可以由平移拼在一起:

经典题目:以任意三角形的三边为边长向外作正方形
    然后,上面的两个结论就不用我说了。

 

    另外一个很水的结论是:DI,EF,GH分别等于BC,AC,AB边上中线长的2倍。这题更简单,倍长中线就完了。

经典题目:以任意三角形的三边为边长向外作正方形
    由AB=AD,BQ=(AC=)AI,∠ABQ=(180°-∠BAC=)∠DAI,用SAS证出△ABQ≌△DAI,然后AQ=DI,DI=2AM就完了。

 

    接下来这件事情就神奇了:以任意三角形的三条中线的长度为边长,可以构造一个三角形,面积为原三角形面积的3/4。仔细一想,其实也就是那么回事:以中线长为边长构造的三角形与那个△DPI相似,相似比为1:2,面积比等于相似比的平方,1:4。于是上面的结论就显然了。

 

    网上搜到了一张图片,非常神奇,最后附上它:经典题目:以任意三角形的三边为边长向外作正方形

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