简介

　　1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联合竞赛”。 　　竞赛分为一试和二试，在这项竞赛中取得优异成绩的全国约200名学生有资格参加由中国数学会奥林匹克委员会主办的“中国数学奥林匹克(CMO)暨全国中学生数学冬令营”(每年元月)。各省的参赛名额由3人到8人不等，视该省当年的联赛考试成绩而定，且对于承办方省份有一定额外的优惠。

　　为了促进拔尖人才的尽快成长，教育部规定：在高中阶段获得全国数学联赛省、市、自治区赛区一等奖者便获得保送重点大学的资格，对于没有保送者在高考中加分，加分情况根据各省市政策而定，有些省、市、自治区保留了竞赛获奖者高考加5分到20分不等，而部分省级行政区已经取消了竞赛加分。对二、三等奖获得者，各省、市、自治区又出台了不同的政策，其中包括自主招生资格等优惠录取政策。为严格标准，中国数学会每年限定一等奖名额1000名左右，并划分到各省、市、自治区。各省、市、自治区在上报一等奖候选人名单的同时，还要交上他们的试卷，最终由中国数学会对其试卷审核后确定获奖名单。

 

竞赛历史

　　在华罗庚、苏步青等老一辈数学家的倡导下，从1956年起，开始举办中学数学竞赛，在北京、上海、福建、天津、南京、武汉、成都等省市都开展了数学竞赛，并举办了由京、津、沪、粤、川、辽、皖合办的高中数学联赛。1979年，我国大陆上的29个省、市、自治区都举办了中学数学竞赛。1980年，在大连召开的第一届全国数学普及工作会议上，确定将数学竞赛作为中国数学会及各省、市、自治区数学会的一项经常性工作，每年10月中旬的第一个星期日举行“全国高中数学联赛”。

 

联赛试题模式（2010年起实施）　　

自2010年起，全国高中数学联赛试题新规则如下：

　　联赛分为一试、加试（即俗称的“二试”）。各个省份自己组织的“初赛”、“初试”、“复赛”等等，都不是正式的全国联赛名称及程序。

　　一试和加试均在每年10月中旬的第一个周日举行。

　　一试

　　考试时间为上午8：00-9：20，共80分钟。试题分填空题和解答题两部分，满分120分。其中填空题8道，每题8分；解答题3道，分别为16分、20分、20分。

　　（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）

　　加试（二试）

　　考试时间为9：40-12：10，共150分钟。试题为四道解答题，前两道每题40分，后两道每题50分，满分180分。试题内容涵盖平面几何、代数、数论、组合数学等。

　　（2009年的旧规则和2008年之前的旧规则略去。）

　　依据考试结果评选出各省级赛区级一、二、三等奖。 其中一等奖由各省负责阅卷评分，然后将一等奖的考卷寄送到主办方（当年的主办方），由主办方复评，最终由主管单位（中国科协）负责最终的评定并公布。二、三等奖由各个省自己决定。

　　各省、市、自治区赛区一等奖排名靠前的同学可参加中国数学奥林匹克（CMO）。　

　　根据最新消息，2011年数学联赛的试题规则与2010年相同。

 

考试范围

一试
　　全国高中数学联赛的一试竞赛大纲，完全按照全日制中学《数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，即高考所规定的知识范围和方法，在方法的要求上略有提高，其中概率和微积分初步不考。
　　二试
　　1、平面几何
　　基本要求：掌握初中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
　　补充要求：面积和面积方法。
　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。
　　几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。三角形内到三边距离之积最大的点--重心。
　　几何不等式。
　　简单的等周问题。了解下述定理：
　　在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
　　在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
　　在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
　　在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
　　几何中的运动：反射、平移、旋转。
　　复数方法、向量方法。
　　平面凸集、凸包及应用。
　　2、代数
　　在一试大纲的基础上另外要求的内容：
　　周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
　　三倍角公式，三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
　　第二数学归纳法。
　　递归，一阶、二阶递归，特征方程法。
　　函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。
　　n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用。
　　复数的指数形式，欧拉公式，棣莫佛定理，单位根，单位根的应用。
　　圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
　　一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成对定理。
　　简单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降法，同余，欧几里得除法，非负最小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧拉函数，孙子定理，格点及其性质。
　　3、立体几何
　　多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
　　正多面体，欧拉定理。
　　体积证法。
　　截面，会作截面、表面展开图。
　　4、平面解析几何
　　直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
　　二元一次不等式表示的区域。
　　三角形的面积公式。
　　圆锥曲线的切线和法线。
　　圆的幂和根轴。
　　5、其它
　　抽屉原理。
　　容斥原理。
　　极端原理。
　　集合的划分。
　　覆盖。
　　梅涅劳斯定理
　　托勒密定理
　　西姆松线的存在性及性质。
　　赛瓦定理及其逆定理。

 

全国高中数学联赛(加试)在知识方面有所扩展，适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加内容是：

　　1．平面几何

　　几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理；

　　三角形旁心、费马点、欧拉线；

　　几何不等式；

　　几何极值问题；

　　几何中的变换：对称、平移、旋转；

　　圆的幂和根轴：

　　面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。

　　2．代数

　　周期函数，带绝对值的函数；

　　三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角函数；

　　递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式；

　　第二数学归纳法；

　　平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数及其应用；

　　复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根；

　　多项式的除法定理、因式分解定理，多项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*；

　　n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理；

　　函数迭代，求n次迭代*，简单的函数方程*。

　　3．初等数论

　　同余，欧几里得除法，裴蜀定理，完全剩余系，不定方程和方程组，高斯函数[x]，费马小定理，格点及其性质，无穷递降法*，欧拉定理*，孙子定理*。

　　4．组合问题

　　圆排列，有重复元素的排列与组合，组合恒等式；

　　组合计数，组合几何；

　　抽屉原理；

　　容斥原理；

　　极端原理；

　　图论问题；

　　集合的划分；

　　覆盖；

　　平面凸集、凸包及应用*。

　　(有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。)