圆锥曲线章末复习教学设计

周至中学     刘秋过

课    题：小结与复习（一）
教学目的：
1  通过小结与复习，使同学们完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 
2  通过本节教学使学生较全面地掌握本章所教的各种方法与技巧，尤其是解析几何的基本方法――坐标法；并在教学中进一步培养他们形与数结合的思想、化归的数学思想以及“应用数学”的意识 
3  结合教学内容对学生进行运动变化和对立统一的观点的教育   
教学重点：三种曲线的标准方程和图形、性质  
教学难点：做好思路分析，引导学生找到解题的落足点   
授课类型：新授课  
课时安排：1课时  
教    具：多媒体  
内容分析：
   在学完椭圆、双曲线、抛物线知识之后进行必要的小结与复习，可以梳理知识要点，使学生从圆锥曲线这个整体高度来全面认识三种曲线；同时也可以对前面所学的各种解析几何的基本方法进行归纳整理   所以本节在全章教学中起着复习、巩固和提高的作用 
椭圆、双曲线、抛物线同属于圆锥曲线，它们的定义、标准方程及其推导过程以及简单的几何性质都存在着巨大的相似之处，也有着一定的区别  而前面只是它节逐个学完了三种曲线，还缺少对它们归类比较，为了提高水平，使同学们能够完整准确地理解和掌握三种曲线的特点以及它们之间的区别与联系 
本章介绍使用了较多的思想方法，其中的重点是数形结合的思想，转化与化归思想，坐标法等，这些都是培养学生解决解析几何问题的基本技能和能力的基础   解析几何是最终能体现运动与变化、对立与统一的思想观点的内容之一   点与坐标、方程与曲线之间的转化与化归给我们提供了良好的思想教育素材，我们应该给予充分的利用，达到应有的教学效果  
本小结与复习可分为二个课时进行教学   第一课时主要讲解课本上内容，即：一、内容提要；二、学习要求和需要注意的问题  第二课时则针对本章的训练重点，讲解例题，进行巩固和提高  
教学过程：

 

知识点一　定义和性质的应用

 

例一．　设F₁、F₂是椭圆＋＝1的两个焦点，P为椭圆上的一点，已知P、F₁、F₂是一个直角三角形的三个顶点，且|PF₁|>|PF₂|，求的值．

解　由题意知，a＝3，b＝2，则c²＝a²－b²＝5，即c＝.

由椭圆定义，知|PF₁|＋|PF₂|＝6，|F ₁F₂|＝2.

(1)若∠PF₂F₁为直角，则|PF₁|²＝|F₁F₂|²＋|PF₂|²，

|PF₁|²－|PF₂|²＝20.

即

解得|PF₁|＝，|PF₂|＝.

所以＝.

(2)若∠F₁PF₂为直角，则|F₁F₂|²＝|PF₁|²＋|PF₂|².

即20＝|PF₁|²＋(6－|PF₁|)²，

解得|PF₁|＝4，|PF₂|＝2或|PF₁|＝2，|PF₂|＝4(舍去)．

所以＝2.

 

知识点二　圆锥曲线的最值问题

 

例二．　已知A(4,0)，B(2,2)是椭圆＋＝1内的两定点，点M是椭圆上的动点，求|MA|＋|MB|的最值．

解　因为A(4,0)是椭圆的右焦点，设A′为椭圆的左焦点，则A′( 4,0)，由椭圆定义知|MA|+|MA′|=10.

如图所示，则|MA|+|MB|=|MA|+|MA′|+|MB| |MA′|=10+|MB| |MA′|≤10+|A′B|.

当点M在BA′的延长线上时取等号．

所以当M为射线BA′与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)max=10+|A′B|=10+2 .

 

又如图所示，

|MA|+|MB|=|MA|+|MA′| |MA′|+|MB|=10  (|MA′| |MB|)≥10 |A′B|，当M在A′B的延长线上时取等号．

所以当M为射线A′B与椭圆的交点时，(|MA|+|MB|)min=10 |A′B|=10  2 .

 

 

知识点三　轨迹问题

 

例三．抛物线x²＝4y的焦点为F，过点(0，－1)作直线交抛物线于不同两点A、B，以AF，BF为邻边作平行四边形FARB，求顶点R的轨迹方程．

解　设直线AB：y＝kx－1，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，R(x，y)，由题意F(0,1)，由，可得x²－4kx＋4＝0，

∴x₁＋x₂＝4k.

又AB和RF是平行四边形的对角线，

∴x₁＋x₂＝x，y₁＋y₂＝y＋1.

而y₁＋y₂＝k(x₁＋x₂)－2＝4k²－2，

∴，消去k得x²＝4(y＋3)．

由于直线和抛物线交于不同两点，∴Δ＝16k²－16>0，

∴k>1或k<</SPAN>－1，∴x>4或x<</SPAN>－4.

∴顶点R的轨迹方程为x²＝4(y＋3)，且|x|>4.

 

 

知识点四　直线与圆锥曲线的位置关系

 

例四．　已知直线l：y＝kx＋b与椭圆＋y²＝1相交于A、B两点，O为坐标原点．

(1)当k＝0,0<<I style="mso-bidi-font-style: normal">b<1时，求△AOB的面积S的最大值；

(2) ⊥，求证直线l与以原点为圆心的定圆相切，并求该圆的方程．

解　(1)把y＝b代入＋y²＝1，得x＝±.

 

∴|AB|=2

∴S△AOB= ×2 ·b

=b = b ≤ ·  ，

当且仅当b² = ，即b =  时取等号．

∴△AOB的面积S的最大值为 .

(2)设A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，

由得(1+2k²)x²+4kbx+2b² 2=0，

∴x₁+x₂= ，x₁·x₂= .

又∵OA⊥OB，

∴(x₁，y₁)·(x₂，y₂)=0，

即x₁x₂+y₁y₂=0.

又x₁x₂+ y₁y₂= x₁x₂ +( k x₁+b)(k x₂+b)

=(k²+1)·x₁x₂+kb(x₁ + x₂) +b²

=(k²+1) kb +b²

= ，

∴3b² = 2k²+2.

又设原点O到直线l的距离为d，

则d = .

∴l与以原点为圆心，以 为半径的定圆相切，

该圆的方程为x² + y² = .