注：本文已发表于《中国数学教育》

  源于生活  重在探究

                                —“生活中的不等式”课堂教学实录与评析

为了进一步落实树人计划，苏州市教育局在太仓市新区中学举行了苏州市初中数学教学研讨活动，由苏州各县市各选派一名优秀的青年教师现场上课，笔者有幸参加了这次课堂展示，并得到了点评专家的充分肯定和听课老师的一致好评.以下是我开设“生活中的不等式”的课堂教学实录与评析,敬请同行、专家指教.

教学内容:

苏科版《义务教育课程标准实验教科书》八年级下册第七章“一元一次不等式”第一节“生活中的不等式”.

教材分析:

相等与不等是研究数量关系的两个重要方面，用不等式来表示不等关系，是代数基础知识的一个重要组成部分，它在解决各类实际问题中有着广泛的应用，凡是与比较量的大小有关的问题，都要用到不等式的知识，如一元二次方程根的判别式，函数中自变量的取值范围，实际应用问题等．

本节课是继方程之后研究“一元一次不等式”的第一课．人教版“一元一次不等式”的第一节课题是“不等式和它的基本性质”，华师版“一元一次不等式”的第一节课题是“认识不等式”，而苏科版“一元一次不等式”的第一节课题是“生活中的不等式”．很明显，苏科版的第一节课题重在体现“生活”二字．因此，本节课的教学必须让学生充分感受到生活中存在大量的不等关系，学习不等式是源自生活的需要，这不仅能激发学生学习不等式的兴趣，还能使学生认识到学习不等式的重要性和必要性．通过本节课的学习，使学生不仅能理解不等式的概念，掌握一些常见的表示不等关系的数学术语或词语，还能向学生渗透数学建模、类比等思想方法，为进一步学习不等式的性质、解法及简单应用起到铺垫作用．

教学目标:

1.     知识目标

感受生活中存在的大量不等关系，理解不等式的意义，会根据给定条件列出不等式，正

确理解一些常见的表示不等关系的数学术语和词语.

2.     能力目标

经历由生活实例建立不等式模型的过程，进一步发展学生的符号感和数学化能力，进一步向学生渗透数学思想方法．

3.     情感目标

培养学生探究、交流的意识和习惯，激发学生学习数学的热情和自信，让学生体会数学与生活的紧密联系，在问题解决的过程中获得成功的体验．

教学重点:理解不等式的意义以及根据给定条件列出不等式．

教学难点:准确应用不等号以及探究应用问题中的不等关系．

教学方法:引导学生自主探究,促进学生学会在实践中思考、探索、交流、合作，主动地

获取数学知识和能力.

教具准备:多媒体课件

教学过程：

教学片断１．提出问题，引入新知

师：同学们，你们相互间在课余扳过手腕吗？

生：扳过．

师：力气一样大吗？

生：不一样大．

师：相互间比过身高吗？

生：比过．

师：一样高吗？

生：有一样高，也有不一样高．

【评析】从生活入手，营造轻松的学习氛围，体现数学的生活化，拉近师生距离，激

发学生的学习兴趣，同时为引出课题作准备．

师：事实上，在日常生活中，同类量（如刚才说过的力气与力气，身高与身高）之间

常常存在不等关系．老师还带来了几幅反映不等关系的图片，请同学们观察．（投影）

 

　　

体积：大小　　　　长度：长短　　　高度：高矮　　　　　重量：轻重

【评析】让学生从直观上来感受同类量之间存在的不等关系，认识会更深刻．

师：通过观察图片和刚才的问答，（投影）请同学们来说一说，生活中还有哪些具有不

等关系的实例？

生１：同学们之间的体重可能不一样重．

生２：我手中的两支笔不一样长．

生３：他上次的数学测验分数比我高．

生４：讲台比课桌高．

生５：我手中的两本书不一样厚．

…

师：同学们刚才举的例子都是教室内的，能不能把眼光投向室外，看看外面还有哪些不

等关系呢？

【评析】当学生举的例子都是室内时，老师很机智，一句“能不能把眼光投向室外”，让学生茅塞顿开．

生６：室外有些树木的高度不等．

生７：马路上这辆汽车比那辆汽车行驶的的速度快．

生８：汽车的速度比自行车快，飞机的速度比汽车快．

生９：这条路和那条路不一样宽．

生10：这幢房子比那幢房子高．

…

师：同学们的举例丰富多彩，说明生活中具有不等关系的实例真的很多，为了能够更好

地刻画生活中的不等关系，我们需要学习新的知识“生活中的不等式”．（板书课题：生活中的不等式）

【评析】让学生自已举例，亲身体验生活中的不等关系无处不在，意识到新知的学习是必需、必要的，使课题的引入水到渠成．

教学片断２．师生互动，学习新知

师：（投影）在你记忆中,表示不等关系的符号（即不等号）有哪些？（请学生上黑板写．）

生１：“＞”，“＜” ．

生２：“≥”，“≤”．

生３：“≠”．

生４：“≈”．

师：同学们的记性不错，常用的不等号有五种：“＞”、“＜”、 “≥”、 “≤”、“≠”；另外“≈”既不是等号，也不是不等号．（老师板书表格如下）

常用不等号
“＞”
“＜”
“≥”
“≤”
“≠”

师：请分别说出这五种不等号的读法？

（学生回答，老师板书）

常用不等号	读作
“＞”	大于
“＜”	小于
“≥”	大于等于
“≤”	小于等于
“≠”	不等于

【评析】常用的不等号在学生的脑子里已经记忆不全了，通过复习可以让学生清晰、完整地了解哪些常用不等号，为后面正确选用不等号列不等式奠定了基础．

师：下面请同学们做练习．（投影）下列问题中数量之间的关系能用等式表示吗？若不能，应该用怎样的式子来表示？

(1)小颖今年x岁，小丽今年y岁，她们的年龄和不大于２９岁．

(2)根据科学家测定,太阳表面的温度不小于6000℃.设太阳表面的温度为t℃.

(3)一辆48座的客车载有游客m人,到一个站点又上来2个人，车内仍有空位.

(4)小聪和小明玩跷跷板.大家都不用力时,跷跷板左低右高.小聪的身体质量为p(kg),

书包的质量为2kg,小明的身体质量为q(kg).

 

(5)小张和小王在体检时测出的身高数据不同，小张为a cm，小王为b cm.

（由学生独立思考，逐题交流补充,老师板书答案．）

师：通过刚才的列式，我们发现“不大于”和“不小于”分别用的是什么不等号？它们

的意思分别代表什么？

生：“不大于”和“不小于”分别用的是“≤”和“≥”，分别指“小于等于”和“大于等于”．

（老师把学生的回答板书在表格中相应位置．）

常用不等号	读作
“＞”	大于
“＜”	小于
“≥”	大于等于（即不小于）
“≤”	小于等于（即不大于）
“≠”	不等于

【评析】本题设计的五道小题用到了五个常用不等号，目的是让学生亲身体验每一个不

等号的用法，为得出不等式的定义作准备．

师：（投影）刚才列出的5个式子用的都是什么符号？都表示了数量之间的什么关系？

生：用的都是不等号，表示了数量之间的不等关系．

师：（投影）那么这几个式子能叫等式吗？

生：不能．

师：（投影）那你能给这样的式子取个名字吗？

生：不等式．

师：（投影）还记得什么叫等式吗？

生：（学生纷纷动脑回忆）用等号表示相等关系的式子叫等式．

师：你能结合等式的定义和列出的这五个式子的特征，总结一下什么叫不等式吗？

生：（学生情绪高涨，积极举手发言，通过交流补充完整．）用不等号表示不等关系的式

子叫做不等式.

（板书：不等式：用不等号表示不等关系的式子叫做不等式.）

【评析】引导学生回忆等式的定义，通过观察、交流，类比得出不等式的定义，既渗透

了数学的“类比”思想，培养了学生的观察能力、表达能力，又突破了重点和难点，充分体现了新课程的理念．

教学片断３．典例示范，应用新知

师：（投影）例1.说说下列数学式子中哪些是不等式.

（1） 0＜1    （2）a+b=0　　　（3） a²+1＞0    （4）3x－1≤x

（5）x－y≠1  （6）3－x=0　　　（7）4－2x      （8）x²+y²≥0

生：(1)  (3)  (4)  (5)  (8)

【评析】通过识别不等式，检测学生是否掌握不等式的定义．

师：（投影）例2.用不等号填空．

（1）－1        0　　　　　　　　（2）－(－2)        －︱－3︱

（3）︱a︱               0　　　　（4）－b²          0

（由学生独立思考，交流解答；其中第（3）、（4）题有学生回答错误，经过交流得到正

确答案．）

师：︱a︱≥0，b²≥0说明一个数的绝对值，一个数的平方是什么数？

生１：正数和０．

生２：非负数．

师：同学们回答的很好，是正数和０，简称非负数．

师：顺便问一下，非正数是指什么数？

生：负数和０．

【评析】通过两数比大小，达到不等号的简单应用；其中第（3）、（４）小题设计的很

好，因为经常有学生把“一个数的绝对值与零的大小关系”和“一个数的平方与零的大小关系”误解为“一个数的绝对值＞０”和“一个数的平方＞０”；因此，在这个时候再次纠正学生脑子里固有的错误认识是很有必要的，同时还复习了“非负数”和“非正数”的概念，为例３的正确解答埋下了伏笔．

师：（投影）例3.用不等式表示．

（1）a是正数　　　　　　　　　　　　（2）b的相反数是负数

（3）c与1的差是非负数　　　　　　　（4）d的2倍与3的和是非正数

（由学生独立思考，交流解答．）

师：通过这个例题的解答，（投影）请你说说列不等式的基本步骤？

（允许学生左右讨论，１分钟后请学生相互交流．）

生：分两个步骤：（1）确定不等式两边的代数式；（2）根据所给条件中的不等关系，选

择合适的不等号．

师：例３中出现了哪些表示不等关系的数学术语，请对应填入表格．（学生回答，老师板书）

常用不等号	读作	常见的表示不等关系 的数学术语或词语
“＞”	大于	正数
“＜”	小于	负数
“≥”	大于等于（不小于）	非负数
“≤”	小于等于（不大于）	非正数
“≠”	不等于

【评析】有了例２的铺垫，本题解答比较顺利；通过本题的解答，使学生熟练掌握“正

数、负数、非负数、非正数”这四种常见数学术语对应的不等号，突破了难点．

师：（投影）例4.用不等式表示下列问题中数量之间的关系．

(1)班内比小杨高的人数(x)不足5人.

(2)某校男子跳高纪录是1.65m，在今年的校田径运动会上，小敏的跳高成绩是h (m)，

打破了该校男子跳高纪录.

(3)小陈的体重（x）至少100斤.

(4)这支铅笔的价钱（y）至多3元.

(5)一辆轿车在某公路上的行驶速度是 x km/h，已知轿车在该公路上行驶的速度不超过

100 km/h.

(6)一块正方形的苗圃地，边长为y(m),周长不少于 36 m .

(7)某隧道限速为60km/h，一辆车在隧道中行驶的速度为v(km/h)的轿车因超速被交警

处罚.

(8)某城市某天最低气温－2⁰C，最高气温是6⁰C，该市这一天某一时刻的气温是t⁰C .

（由学生独立思考，交流解答；其中第(8)题的处理实录如下．）

师：请第(8)题会列不等式的同学上黑板写．

生：t⁰C≥－2⁰C和t⁰C≤6⁰C．

师：还有不同的写法吗？

生：－2⁰C≤t⁰C≤6⁰C．

师：因为这一天的气温应该在最低和最高气温之间，所以既要满足t⁰C≥－2⁰C，又要满

足t⁰C≤6⁰C，应该表示成－2⁰C≤t⁰C≤6⁰C，这种形式的不等式叫“连立不等式”．（板书：连立不等式．）

师：（投影）在这几道题目中又出现了哪些表示不等关系的词语，请对应填入表格．（学生交流发言，老师板书．）

常用不等号	读作	常见的表示不等关系 的数学术语或词语
“＞”	大于	正数、超速
“＜”	小于	负数、不足
“≥”	大于等于（不小于）	非负数、至少、不少于、最低
“≤”	小于等于（不大于）	非正数、至多、不超过、限速、最高
“≠”	不等于

（其中第(2)题中的“打破”也反映了不等关系，但没有填入，师生问答实录如下．）

生：“打破”是表示不等关系的词语，对应的不等号是“＞”．

师：同学们，在本题中“打破”用的不等号是“＞”，但是能不能归纳为在任何情况下“打破”用的不等号都是“＞”呢？

（学生纷纷一愣，继而开始积极思考，举手发言．）

生：不是，例如“某校男子100米跑的纪录是12秒，小明在今年的运动会上100米跑的成绩是t秒，打破了该校男子100米跑纪录．”在这个题目中，列出的不等式应该是t＜12，用的不等号是“＜”．

…

师：同学们举的例子非常好，说明“打破”这个词语在不同的情况下选用的不等号是不相同的．

【评析】通过以上探索和归纳，使学生进一步巩固了列不等式的基本步骤，较好地理解了不等式的意义，掌握了一些常见的表示不等关系的数学术语或词语对应的不等号，为今后学好列不等式（组）解应用题奠定了基础，同时强化了本节课的重点和难点．

教学片断４．深入探究，拓展新知

师：（投影）例5. 有5个同学A、B、C、D、E，他们的身高情况如下：D同学比C同学

矮，A同学比B同学高、但比E同学矮，E同学比C同学矮，B同学比D同学高，你能将这5个同学按身高从低到高排列吗？（用不等号连接）

（学生兴趣浓厚，纷纷动笔思考，老师请举手的学生上黑板写出答案．）

　　生：D＜B＜A＜E＜C ．

师：这位学生列得很好，请你当一次小老师，向同学们说说你是如何得到这个答案的？

生：由“D同学比C同学矮，A同学比B同学高、但比E同学矮，E同学比C同学矮，B同学比D同学高．”这五句话，我得到了五个不等式：D＜C ， B＜A ，A＜E ， E＜C ，D＜B ，这五个不等式我均采用“＜”，这样就很容易得出D＜B＜A＜E＜C．

师：这个同学用的方法很好，讲解也很清晰，那为什么他会很容易地写出答案呢，原

因就在于他使用了同一种不等号“＜”，这样他就自然地（也是无意之中）运用了不等式具有的一个重要性质“不等式的传递性”．同学们，我们为他鼓掌．

【评析】本题来源于学生身边的实例，有一定的难度，不仅能很好地考查学生根据题中

较为复杂的不等关系列出“连立不等式”的能力，还拓宽了学生的知识面，渗透了数学思想“不等式的传递性”；让学生当小老师讲解推理过程，不仅可以锻炼学生的能力，大大激发学生的学习热情，还很轻松地突破了难点．

师：（投影）例6. 阿凡提给巴依老爷放羊,羊越来越多 ,羊圈装不下了, 阿凡提问巴依

老爷建设扩大羊圈 . 可小气的巴依老爷却不愿多出做羊圈的栅栏 . 他让阿凡提自己想办法 . 阿凡提想出了一个好办法：他将正方形的羊圈改建成圆形的, 这样羊圈就能把羊装下了, 人们都夸阿凡提聪明.同学们想知道阿凡提这样做的根据吗？

问题1:小气的巴依老爷不愿多出做羊圈的栅栏,这表明阿凡提将正方形的羊圈改建成

圆形的过程中什么量没变？

问题2:羊圈又能把羊装下了,表明改建后的羊圈与改建前相比什么量变大了？

问题3:为什么在周长不变的情况下会出现改建后的圆形面积比改建前的正方形面积

大呢？你能说出理由吗？

问题4:通过这个故事和问题的解答,你从中得到了一条什么结论？

（学生兴趣高涨，纷纷举手发言，教室气氛热烈．问题１、２、４采用口答，问题３请

全体学生动笔思考，教师走下去和学生探讨并进行指导，２分钟后请一位已经完成的学生上黑板板书，学生板书后，师生共同点评．）

【评析】本题取材于学生熟悉并且喜欢的阿凡提故事，可读性强，能极大地激发学生的

求知欲；设置的四个小题，不仅环环紧扣、探究性强，而且具有很好的梯度；第３小题具有一定的难度，能较好地培养学生的探究能力，让学生上黑板板书，有利于暴露学生的思维过程，也有利于规范学生的解题格式；第４小题要求学生得出结论，渗透了“从特殊到一般”的数学思想，有效地培养了学生的思维能力．

师：（投影）例7.春光明媚,某班的26名同学到公园参观,公园的票价是:每张5元；一

次购票满30张,每张票4元. 下面有一段对话:

班长说:“我去买票了!”

聪明的小支急忙提醒说:“班长,买30张团体票合算!”

小赵同学吃惊地说:“买30张怎么会合算？不是浪费4张吗？应该买26张!”

问题1:小支和小赵两人的建议,到底谁的的建议花钱少呢？为什么？

问题2:买30张票,我们不仅省钱,而且多买了票,那么剩下的４张票如何处理呢？

问题3:买30张票比买26张票付的款还要少,这是不是说任何情况下都是多买票反而花

钱少呢？如果你们一家三口人去参观,是不是也买30张票呢？

问题4:当参观的人数大于或等于30人时，买哪种票花钱少？当人数小于30人时，至

少要有多少人去参观,买30张票才花钱少？

师：小支和小赵两人的建议,到底谁的的建议花钱少呢？为什么？

生：小支的建议花钱少．因为小支买30张团体票花费120元，小赵买26张票花费150

元，120＜150，所以小支的建议花钱少．

师：买30张票,我们不仅省钱,而且多买了票,那么剩下的４张票如何处理呢？

(刹那间，教室内气氛空前高涨，学生畅所欲言，相互启迪.)

生１：退给公园卖票处．

师：这位同学很节约，不浪费．

生２：便宜一点卖给想进公园的游客．

师：很有经济头脑．

生３：等公园门票都卖掉了，想进去的游客买不到票时，高价卖给他们．

师：这个想法不太好，谋取暴利不可取．

生４：把票送给老师您．

师：你真懂事，谢谢你．

生５：把票送给任课老师．

师：是个尊敬老师的好学生．

生６：把票送给没去的同学．

师：是个团结同学的好学生．

生７：把票送给爸爸妈妈．

师：是个懂事有孝心的孩子．

生８：把票送给敬老院的孤寡老人或者送给福利院的孩子们．

师：这位同学真善良，有社会责任感，富有爱心和同情心．

…

师：同学们，刚才大家交流了各种各样的处理办法，我们为那些有爱心、孝心、尊敬老师、团结同学、懂事的同学们鼓掌，感谢他们．

师：买30张票比买26张票付的款还要少,这是不是说任何情况下都是多买票反而花

钱少呢？

生：不是．

师：如果你们一家三口人去参观,是不是也买30张票呢？

生：一家三口人不买30张团体票．因为买３张票只需花费15元，买30张团体票花费120元，15＜120，所以一家三口人不买30张团体票．

师：当参观的人数大于或等于30人时，买哪种票花钱少？

生：显然买团体票花钱少．

师：当人数小于30人时，至少要有多少人去参观,买30张票才花钱少？

生１：因为﹙30×4﹚÷5=24，所以至少25人参观，买30张团体票才花钱少．

生２：设有 人参观时两种方式花钱相同，则有 ， ，所以至少25人参观，买30张团体票才花钱少．

生３：设有 人参观时买30张票才花钱少，则有，即，因为 为整数，试代数字后发现，当 =25时，满足 ，所以至少25人参观，买30张团体票才花钱少．（学生回答，老师板书三种方法）

师：三位同学用的方法都很好．其中第三位同学是通过列不等式求解的，虽然解不等式还没学，但他很聪明，尝试着用代数字的方法同样找到了正确答案，不过这种“试代数字”的方法毕竟有点麻烦，等我们学习了“解一元一次不等式”以后就方便求解了，有兴趣的同学可以先去自学．

【评析】本题是一道对话式的不等式型应用题，是近几年中考的热点，但难度不大而且

是学生感兴趣的事例，既有利于让学生提前熟悉中考题型，培养学生的数学建模能力，又有利于激发学生的学习热情．其中第２题不仅有利于培养学生的发散性思维，还很好地把数学和德育结合起来，对学生进行了一次成功的思想教育；第４题可以用三种方法求解，有效地培养了学生一题多解、寻求最优化解法的学习习惯；其中第三种方法中用“试代数字”求不等式解的麻烦让学生意识到学习“解一元一次不等式”的必要性，激发了学生学习“解一元一次不等式”的欲望，为后继学习作了很好的铺垫．本题使这节课达到了高潮，学生的知识和能力在探究、交流中进一步得到了深化．

教学片断５．自我评价,感悟新知

师：（投影）在这节课的学习中，你学到了什么？你还有什么感到困惑的吗？你对自已

的表现满意吗？

【评析】通过学生之间自主地讨论、交流、反思，对所学的内容作全面的总结，不仅培

养了学生的数学语言表达能力和对知识进行自我整理、反思的学习习惯，而且体现了“评价目标多元、评价方法多样”的理念，并能“帮助学生认识自我，建立信心”，充分体现了“学生是课堂的主人”的新课程理念．

【总评】“授人以鱼”不如“授人以渔”，数学学科的教学重在引导学生积极参与教学过

程，走自主学习、交流合作、勤于探究之路．综观本节课，采用“提出问题，引入新知—师生互动，学习新知—典例示范，应用新知—深入探究，拓展新知—自我评价,感悟新知”五个环节展开教学，整个过程层层递进，设计合理，气氛活跃，跌宕起伏，处处洋溢着新理程理念的气息．下面就这节课的特点作如下评析．

1．  生活气息的课堂

本节课紧扣“生活”二字，从问题情境、基本例题到拓展应用，都是以学生熟知的、感

兴趣的、生活中的问题为背景，充满了生活气息，让学生亲身经历解决问题的同时，感受到数学就在我们身边，数学在生活中有很大的作用和魅力，人人都离不开数学，因此人人都学有价值的数学．

2．探究交流的课堂

《数学课程标准》指出：“有效的数学学习活动不能单纯依赖模仿和记忆，动手实践、自主探究与合作交流是学生学习数学的重要方式．”本节课始终以“提出问题、自主探究、师生交流”为主线，以“解决问题、掌握知识、提高能力”为目的，给学生营造了一个宽松开放的探究空间，有效地培养了学生自主探究的精神，独立思考的能力，合作交流的意识．

3．有度实效的课堂

数学课堂需要潜心思考，精炼于心、处理有度，正如郑毓信教授所说：我们需要找到新课程改革与传统数学教育之间的平衡点．本堂课在教材的处理上灵活有度，在设问的技巧和例习题的难易上把握有度，在知识点的讲解上详略有度，在对学生的教学方法上扶放有度，在学习和练习的时间上安排有度．由于处理有度，本节课的讲解清晰、自然，教学目标明确，重点难点突破，学生的知识得以拓展，能力得以提高，课堂教学极具实效性．

4．渗透思想的课堂

《数学课程标准》指出：数学学习的总体目标之一是“获得适应未来社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”，“学生通过数学学习，形成一定的数学思想方法，应该是数学课程的一个重要目的”．因此，在数学课堂的教学中，数学思想方法应与整个课堂学习的知识融为一体、相互渗透，才能更好地提高学生的数学能力，形成良好的数学素养．本节课着重于学生的终身发展，有效、自然地渗透了数学中的“类比”、“从特殊到一般”、“不等式的传递性”、“数学建模”、“一题多解”等数学思想，还不失时机地对学生进行了思想道德教育．

5．师生和谐的课堂

古人云：“亲其师则信其道”．教师在课堂上只有充分尊重学生，学生才会积极思维，踊跃发言，质疑问难，才会真正有效地参与学习，课堂的效益才会提高．本节课充满了民主和谐的对话氛围，教师教态自然、语言亲切，给学生以鼓励、自信、亲近，尊重学生在解决问题过程中所表现出的不同水平，虽然有很多老师听课，但学生没有紧张或恐惧的心理，而是轻松、快乐地学习，学生的潜能得到了发挥，能力得到了锻炼，个性得到了张扬．