课  题  学  习

平面图形的镶嵌（密铺）

教师

王  玥

教

学

目

标

知识

目标

1.了解平面图形镶嵌的含义；

2.掌握哪些平面图形可以镶嵌，镶嵌的条件及简单的密铺设计。

能力

目标

1.经历探索多边形镶嵌条件的过程，进一步发展学生的合情推理能力；

2.通过探索平面图形的镶嵌，知道任意一个三角形、四边形或正六边形可以镶嵌，并能运用这几种图形进行简单的镶嵌设计。

德育

目标

平面图形的密铺是体现多边形在现实生活中应用的一个方面；也是开发、培养学生创造性思维的一个重要渠道。

重 点

难 点

教学重点：三角形、四边形和正六边形可以镶嵌。

教学难点：用同一种平面图形或者几种平面图形可以镶嵌的条件。

教 学

方 法

引导→探索：

先观看版画大师埃舍尔的作品，引导出平面图形镶嵌的概念。通过课堂剪纸实践，让学生们分析、讨论平面图形镶嵌的条件。

教 具

准 备

大小相同的三角形、四边形和正六边形纸板若干，

幻灯片，实物投影仪

教

学

过

程

一、巧设情景问题，引入课题

二、讲授新课

三、课时小结

四、课后作业：

五、课后探索

教师活动

教学内容

学生活动

巧设情景

引入新课

展示荷兰现代版画艺术家埃舍尔的作品。其作品多与数学相结合，由此引出镶嵌问题。

欣赏艺术作品，思考这些作品的共同特点，即引导学生对镶嵌概念的感性认知。

讲

授

新

课

由埃舍尔大师的版画作品引入平面图形镶嵌的定义。

这种用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形进行拼接，彼此之间不留空隙，不重叠地铺成一片，这就是平面图形的镶嵌，又称作平面图形的密铺。

提问：日常生活中类似的图案有哪些？

学生举例活动：

（例如铺好的地砖或墙砖）

引导学生动手尝试形状、大小相同的三角形、四边形能否镶嵌。

（强调镶嵌的定义）

做一做：

1、用形状、大小完全相同的三角形尝试镶嵌。2、用同一种四边形尝试镶嵌。它们能否镶嵌，为什么？

（教师强调制作要求：三角形、四边形的形状，可以是任意的，但裁剪出的每种图形一定是全等形）

分组活动：

按照要求，学生用准备好的剪刀和硬纸片分组活动，进行课堂制作、拼接，利用实物投影仪展示成功作品。

学生分组讨论，寻找规律，期间教师巡视指导。

讲

授

新

课

教师活动

教学内容

学生活动

探索多边形镶嵌的条件

3、在用三角形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处有几个角？它们与这种三角形的三个内角有什么关系？

（结论：任意全等的三角形皆能镶嵌 ,在每个拼接点处有六个角，而这六个角的和恰好是这个三角形的内角和的两倍，也就是它们的和为360°且相等的边互相重合。）

学生分小组活动:

学生动手制作相同的多个三角形纸板，并且与同组成员合作拼接图形亲身体验、感知三角形镶嵌的条件。

通过与组员的合作探索，得出自己的结论。

4、在用四边形镶嵌的图案中，观察每个拼接点处的四个角与这种四边形的四个内角有什么关系？

（结论：任意全等的四边形可以镶嵌，在每个拼接点处有四个角，而这四个角的和恰好是这个四边形的四个内角的和，它们的和为360°且相等的边互相重合。）

学生分小组活动:

在前一项工作的基础上，学生动手制作相同的多个四边形纸板，与同组成员合作拼接图形，亲身体验四边形镶嵌的条件。

通过与组员的合作探索，得出自己的结论。

5、正五边形可以镶嵌吗？简述你的理由.

    正五边形每个内角108°若是三个角拼接，有缝隙；若是四个角拼接，有重叠部分。

分组活动：

根据三角形与四边形镶嵌的条件，讨论正五边形镶嵌的可行性。

教师活动

教学内容

学生活动

6、正六边形能否镶嵌？简述你的理由.

    正六边形可以镶嵌，在每个拼接点处有三个120°的角，而这三个角的和恰好是360°且相等的边互相重合。        

分组活动：

   结合正五边形不能镶嵌的结论，分组讨论正六边形镶嵌的可能性。

新

课

讲

授

引导学生先总结镶嵌图形拼接点处的特点，再讨论可单独镶嵌的正多边形有哪些,为学生进一步探索提供依据。

议一议：

1、          能镶嵌的图形在一个拼接点处有什么特点?

（答案：几个图形的内角拼接在一起时，其和等于360º，并使相等的边互相重合。）

2、          有哪些能单独密铺的正多边形？

正三角形：60º×6=360º

正四边形：90º×6=360º

正六边形：120º×6=360º

这三种多边形的一个内角的倍数都是360°，而其他的正多边形的每个内角的倍数都不是360°。

师生共同论证，得出可镶嵌图形在一个拼接点处的特点。继而讨论用一种正多边形镶嵌只有三种情形，强化正三、四、六边形可以镶嵌的结论，而其他的正多边形不可镶嵌结论。

练习

选用地板砖

某装饰市场有如下五种型号的地板砖，它们每个角的度数分别是60，90，120，135度，这些地板砖哪些适用？哪些不适用？说说你的理由。

单独思考，利用平面图形镶嵌的条件回答问题

教师活动

教学内容

学生活动

课

堂

练

习

随堂练习

1.如图，在一个正方形的内部按图 (1)的方式剪去一个正三角形，并平移，形成图(2)所示的新图案，以这个图案为“基本单位”能否进行镶嵌？说说理由。

（1）                                                   （2）

   答案：

教师引导，学生动脑思考，利用镶嵌知识回答问题。

试一试

1、用边长相同的正八边形和正方形能否镶嵌？

学生动手实验，讨论交流，发现结论：任意三角形、任意四边形可以镶嵌。

2、引导学生提出问题：如果不是正多边形，哪几种多边形可以镶嵌成一个平面？

课时小结

本节课我们通过活动，探讨，知道任意一个三角形，四边形或正六边形可以

镶嵌成一个平面，并且探索出正多边形镶嵌的条件，即：

一种正多边形的一个内角的倍数是否为360°

作业

课本P₁₁₅习题4.13  1、2、3

教师活动

教学内容

学生活动

课后探索

探索：

1、正三角形与正方形

2、正三角形与正六边形

3、正三角形和正十二边形

1、正三角形与正方形（让学生先从简单的两种正多边形开始探索）

正方形的每个内角是90°，正三角形的每个内角是60°，对于某个拼接点处，设有x个60°角，有y个90°角，则：

60x+90y=360 即：2x+3y=12

又x、y是正整数，解得：x=3，y=2

即：每个顶点处用三个正三角形，两个正方形进行拼接。

在教师的引导下，应用单独一种多边形镶嵌的条件，分组探索正三角形与正方形镶嵌的条件。

2、正三角形与正六边形

正三角形的每个内角是60°，正六边形的每个内角是120°，对于某个拼接点处，设有x个60°角，有y个120°角，则：

60x+120y=360 即： x+2y=6

又x、y是正整数，

解得： x=2    x=4

       y=2    y=1                

即：每个顶点处用四个正三角形和一个正六边形拼接，或者用二个正三角形和二个正六边形拼接。

观察本题与第1题的共同之处，模仿上题过程，同桌共同分析，得出本题结论。

3、正三角形和正十二边形

（过程同前）

每个顶点处用一个正三角形和两个正十二边形