1.幂率分布

以f(x)表示某一数量指标x的发生次数，

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就称为幂率分布。

同样，若p(k)为离散型随机变量的概率分布律，p(k)满足

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，则p(k)也称为幂率分布。

 

2.Zipf定律（齐普夫定律）

Zipf是哈佛大学的语言学家，他在1932年研究英文单词的出现频率时，发现如果把单词频率从高到低排列，每个单词的出现频率和它的排名之间存在简单的反比关系：

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在对数变换后成为：

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则在双对数坐标系下，该分布呈现为一条斜率为负幂指数的直线。

这里，r表示一个单词出现频率的排名，P(r)表示排名为r的单词的出现频率。在单词分布中，C约等于0.1，α约等于1。

基本规律总结起来就是：只有少数英文单词才会被经常使用，大部分的单词很少被使用。这个规律在其他领域的数据分布里也得到了验证。

 

另一个类似的定律是意大利经济学家Pareto提出的80/20法则，即20%的人口占据了80%的社会财富。个人收入X不小于某个值x的概率与x的常数次幂存在简单的反比关系：

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，称为Pareto定律。

 

3.Scale free（无标度）

一个网络的度分布如果服从power law，即有P(k)∼k^−γ，（直观的看，就是少部分节点度极大，与许多节点相连，而大部分节点度都比较小），那么，这个网络就叫做无标度网络（scale free network）。

 

许多现实中的网络包括WWW，社交网络，性伴侣网络（囧），PPI网络等都被认为是无标度网络，并且大部分实际网络中power law的指数γ一般都在2和3之间，并且网络直径极小(d~lnN,N为节点数)。

对应的，随机网络的度分布是泊松分布，也就是钟形分布的，节点的度值一般不会比平均值高出很多或低很多。

 

复杂网络的定义：具有自组织，自相似，吸引子，小世界，无标度中部分或全部性质的网络称为复杂网络。（？）

（Albert-Laszlo Barabasi ,Reka Albert，1999）现实网络的无标度特性源于众多网络所共有的两种生成机制：

（i）网络通过增添新节点而连续扩张

（ii）新节点择优连接到具有大量连接的节点上

第二点即新节点连接到已有节点的概率与该节点的度数成正比例如

http://s14/middle/a5527bf3gc39b4072c14d&690law(幂率分布)以及 scale free（无标度）" TITLE="复杂网络的一些相关概念:power law(幂率分布)以及 scale free（无标度）" />这样就可以生成度分布服从power law的网络。

 

另：对无标度网络的定义仍然不是很明确。史定华（上海大学）指出无标度网络应该是泛指网路度分布具有幂率行为，或至少具有幂率衰减尾部特征的一大类网络。

 

关于复杂网络的统计学机制可以参考Reka Albert的博士论文:

Statistic Mechanics of complex networks 或 这里