三角函数是数学中属于初等函数中的超越函数的一类函数。它们的本质是任意角的集合与一个比值的集合的变量之间的映射。通常的三角函数是在平面直角坐标系中定义的，其定义域为整个实数域。另一种定义是在直角三角形中，但并不完全。现代数学把它们描述成无穷数列的极限和微分方程的解，将其定义扩展到复数系。

由于三角函数的周期性，它并不具有单值函数意义上的反函数。

三角函数在复数中有较为重要的应用。在物理学中，三角函数也是常用的工具。

基本初等内容

它有六种基本函数(初等基本表示)：

函数名 正弦 余弦 正切 余切 正割 余割

正弦函数 sinθ=y/r

余弦函数 cosθ=x/r

正切函数 tanθ=y/x

余切函数 cotθ=x/y

正割函数 secθ=r/x

余割函数 cscθ=r/y

以及两个不常用，已趋于被淘汰的函数：

正矢函数 versinθ =1-cosθ

余矢函数 vercosθ =1-sinθ

同角三角函数间的基本关系式：

·平方关系：

   sin^2(α) cos^2(α)=1

   tan^2(α) 1=sec^2(α)

   cot^2(α) 1=csc^2(α)

·积的关系：

   sinα=tanα*cosα cosα=cotα*sinα

   tanα=sinα*secα cotα=cosα*cscα

   secα=tanα*cscα cscα=secα*cotα

·倒数关系：

   tanα·cotα=1

   sinα·cscα=1

   cosα·secα=1  

三角函数恒等变形公式

·两角和与差的三角函数：

cos(α β)=cosα·cosβ-sinα·sinβ

cos(α-β)=cosα·cosβ sinα·sinβ

sin(α±β)=sinα·cosβ±cosα·sinβ

tan(α β)=(tanα tanβ)/(1-tanα·tanβ)

tan(α-β)=(tanα-tanβ)/(1 tanα·tanβ)

·辅助角公式：

Asinα Bcosα=(A^2 B^2)^(1/2)sin(α t)，其中

sint=B/(A^2 B^2)^(1/2)

cost=A/(A^2 B^2)^(1/2)

·倍角公式：

sin(2α)=2sinα·cosα=2/(tanα cotα)

cos(2α)=cos^2(α)-sin^2(α)=2cos^2(α)-1=1-2sin^2(α)

tan(2α)=2tanα/[1-tan^2(α)]

·三倍角公式：

sin(3α)=3sinα-4sin^3(α)

cos(3α)=4cos^3(α)-3cosα

·半角公式：

sin(α/2)=正负√((1-cosα)/2)

cos(α/2)=正负√((1 cosα)/2)

tan(α/2)=正负√((1-cosα)/(1 cosα))=sinα/(1 cosα)=(1-cosα)/sinα

·降幂公式

sin^2(α)=(1-cos(2α))/2

cos^2(α)=(1 cos(2α))/2

tan^2(α)=(1-cos(2α))/(1 cos(2α))

·万能公式：

sinα=2tan(α/2)/[1 tan^2(α/2)]

cosα=[1-tan^2(α/2)]/[1 tan^2(α/2)]

tanα=2tan(α/2)/[1-tan^2(α/2)]

·积化和差公式：

sinα·cosβ=(1/2)[sin(α β) sin(α-β)]

cosα·sinβ=(1/2)[sin(α β)-sin(α-β)]

cosα·cosβ=(1/2)[cos(α β) cos(α-β)]

sinα·sinβ=-(1/2)[cos(α β)-cos(α-β)]

·和差化积公式：

sinα sinβ=2sin[(α β)/2]cos[(α-β)/2]

sinα-sinβ=2cos[(α β)/2]sin[(α-β)/2]

cosα cosβ=2cos[(α β)/2]cos[(α-β)/2]

cosα-cosβ=-2sin[(α β)/2]sin[(α-β)/2]

·其他：

sinα sin(α 2π/n) sin(α 2π*2/n) sin(α 2π*3/n) …… sin[α 2π*(n-1)/n]=0

cosα cos(α 2π/n) cos(α 2π*2/n) cos(α 2π*3/n) …… cos[α 2π*(n-1)/n]=0  以及

sin^2(α) sin^2(α-2π/3) sin^2(α 2π/3)=3/2

tanAtanBtan(A B) tanA tanB-tan(A B)=0

【部分高等内容】

·高等代数中三角函数的指数表示(由泰勒级数易得)：

sinx=[e^(ix)-e^(-ix)]/(2i)

cosx=[e^(ix) e^(-ix)]/2

tanx=[e^(ix)-e^(-ix)]/[ie^(ix) ie^(-ix)]

泰勒展开有无穷级数，e^z=exp(z)＝1＋z/1！＋z^2/2！＋z^3/3！＋z^4/4！＋…＋z^n/n！＋…

此时三角函数定义域已推广至整个复数集。

·三角函数作为微分方程的解：

对于微分方程组 y=-y'';y=y''''，有通解Q,可证明

Q=Asinx Bcosx，因此也可以从此出发定义三角函数。

补充：由相应的指数表示我们可以定义一种类似的函数——双曲函数，其拥有很多与三角函数的类似的性质，二者相映成趣。

特殊三角函数值

a              0`               30`               45`                     60`                      90`

sina          0               1/2              √2/2                 √3/2                       1

cosa         1              √3/2            √2/2                   1/2                        0

tana          0              √3/3                1                     √3                     None

cota         None          √3                  1                    √3/3                      0

【三角函数的计算】

幂级数

c0 c1x c2x2 ... cnxn ...=∑cnxn (n=0..∞)

c0 c1(x-a) c2(x-a)2 ... cn(x-a)n ...=∑cn(x-a)n (n=0..∞)

它们的各项都是正整数幂的幂函数, 其中c0,c1,c2,...cn...及a都是常数, 这种级数称为幂级数.

泰勒展开式(幂级数展开法):

   f(x)=f(a) f'(a)/1!*(x-a) f''(a)/2!*(x-a)2 ...f(n)(a)/n!*(x-a)n ...

实用幂级数：

ex = 1 x x2/2! x3/3! ... xn/n! ...

ln(1 x)= x-x2/3 x3/3-...(-1)k-1*xk/k ...              (|x|<1)

sin x = x-x3/3! x5/5!-...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)! ...      (-∞<x<∞)

cos x = 1-x2/2! x4/4!-...(-1)k*x2k/(2k)! ...           (-∞<x<∞)

arcsin x = x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 ...       (|x|<1)

arccos x = π - ( x 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 ... )      (|x|<1)

arctan x = x - x^3/3 x^5/5 - ...                   (x≤1)

sinh x = x x3/3! x5/5! ...(-1)k-1*x2k-1/(2k-1)! ...      (-∞<x<∞)

cosh x = 1 x2/2! x4/4! ...(-1)k*x2k/(2k)! ...            (-∞<x<∞)

arcsinh x = x - 1/2*x3/3 1*3/(2*4)*x5/5 - ...       (|x|<1)

arctanh x = x x^3/3 x^5/5 ...        (|x|<1)

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傅立叶级数(三角级数)

f(x)=a0/2 ∑(n=0..∞) (ancosnx bnsinnx)

a0=1/π∫(π..-π) (f(x))dx

an=1/π∫(π..-π) (f(x)cosnx)dx

bn=1/π∫(π..-π) (f(x)sinnx)dx

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