《直角三角形》教学设计

一  概述

《直角三角形》是北师大版九年级上册证明(二)，本节是第一课时内容。本节课主要通过复习勾股定理，学习掌握勾股定理逆定理。了解互逆命题和互逆定理。进一步应用它们解决实际问题。

二  教学目标分析

知识与技能

知识与技能

1、要求学生掌握直角三角形的性质定理(勾股定理)和判定定理，并能应用定理解决与直角三角形有关的问题。

2、了解互逆命题和互逆定理的含义，能结合自己的生活及学习体验举出逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理的例子。

3、进一步掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力，培养思维能力。

过程与方法

1、通过勾股定理及逆定理的证明，进一步体验几何证明的基本要求和范式，感受探究几何事实的过程对证明思路的启发与影响。

2、通过“蚂蚁爬行问题”和“盒子里放木棒问题”的解决，感受我们身边的数学。

3、结合具体实例认识逆命题、互逆命题及逆定理、互逆定理。明确“原命题成立其逆命题不一定成立。”

4、通过课后练习，进一步发展学生的思维能力，培养学生解决问题的能力。

情感态度与价值观

1、培养学生发现问题、主动探究的能力和交流合作意识。

2、培养学生细致、认真的学习习惯。

3、通过学习让学生对前期学习中用实验、度量获得的结论进一步肯定，而且也能更好的让学生了解知识的连贯性，进一步感受公理化体系。

4、通过实际问题的解决，让学生感受数学知识在生活中的应用价值。

三．教学设想

重点：勾股定理及逆定理的应用， 互逆命题和互逆定理。

难点：勾股定理逆定理的证明，空间观念的形成。

四．学习者特征分析

1、学习者是长安三中九年级14班学生。经过两年学习，班上学生思维活跃，对数学学习兴趣浓厚，接受知识能力较快。

2、学生已具备勾股定理的基本知识。

3、学生已具备初步的探索能力、合作交流意识。

4、学生积极上进，具有一定的自学能力。 

五．教学策略选择与设计

学习过程中，通过课件创设的情境充分调动学生各知觉器官，做到＂细观察、多动手、勤思考＂。通过观察、猜想、探究、推理、模仿、体验等方法完成本节知识的学习。本节课采用“问题导学，自主探索” 的教学模式，采用情境探究法、谈话法、 练习法等，让学生经历发现、探索、证明的全过程。使学生在自主探究的过程中完成学习的任务。

六．教学资源与工具设计

人力资源：教师、学生、多媒体教室管理员

非人力资源：教学材料： 1. 教师自制多媒体课件2. 多媒体教室  3. 学生自备学习工具。

        教学模式： 基于“学”的教学模式

七．教学过程

（一）谈话导入

1 你知道直角三角形有怎样的特征？还记得勾股定理吗？它是怎么证明的？

2 如果要判别一个直角三角形，你有什么办法？

（二）新授

1、勾股定理的逆命题：如果一个三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

想一想  如何证明这个命题？其步骤有哪些？（先画草图，写已知、求证 ，再证明）

l 已知:如图,在△ABC中,AC2+BC2=AB2.

l 求证:△ABC是直角三角形.

 

 

　　　

l 分析：目前，我们判别直角三角形的方法只有用定义，从已知条件来看离定义的要求太远，因此，我们不妨构造一个直角三角形，进而再证明已知的三角形与所构造的三角形全等。

l 证明:作Rt △A′B′C′使∠C′ =900,A′C′=AC, B′C′=BC(如图),则

A′C′2+B′C′2=A′B′2(勾股定理).

∵AC2+BC2=AB2(已知), A′C′=AC,  B′C′=BC(作图),

∴ AB2=A′B′2(等式性质).

∵AB﹥0   A′B﹥0′

∴ AB=A′B′(等式性质).

∴ △ABC≌ △A′B′C′(SSS).

∴ ∠A=∠A′＝ 900(全等三角形的对应边).

∴ △ABC是直角三角形(直角三角形的定义).

（引导学生分析，获得证题思路，使学生领会构造思想，得出结论。）

定理：如果三角形两边的平方和等于第三边的平方，那么这个三角形是直角三角形。

（三种语言的互译）（课件展示）

 

2、议一议：

观察下列三组命题，它们的条件和结论之间有怎样的关系？

如果两个角是对顶角，那么它们相等。

如果两个角相等，那么它们是对顶角。

如果小明患了肺炎，那么他一定会发烧。

如果小明发烧，那么他一定患了肺炎。

三角形中相等的边所对的角相等。

三角形中相等的角所对的边相等。

（引导学生观察这些成对命题的条件和结论之间的关系，归纳出它们的共性，从结构上认识互逆命题，进一步得出“互逆定理”的概念。）

 

3、关于互逆命题和互逆定理。

  （1）在两个命题中，如果一个命题的条件和结论分别是另一个命题的结论和条件，那么这两个命题称为互逆命题，其中一个命题称为另一个命题的逆命题。

  （2）一个命题是真命题，它的逆命题却不一定是真命题。如果一个定理的逆命题经过证明是真命题，那么它也是一个定理，这两个定理称为互逆定理，其中一个定理称为另一个定理的逆定理。

（引导学生理解掌握互逆命题的定义。）

明确：一个定理一定有逆命题，但不一定有逆定理。

  4、练习：

（1） 写出命题“如果两个有理数相等，那么它们的平方相等”的逆命题，并判断是否是真命题。

（2） 你还能举出一些其它的例子吗？

5、勾股定理及逆定理的应用

例1  回顾蚂蚁在圆柱体表面爬行问题

有一个圆柱，它的高等于12㎝，底面半径等于3㎝。在圆柱下底面A点有一只蚂蚁，它想到圆柱上底面与A相对的B点觅食，沿圆柱侧面爬行的最短路程是多少？

 

数学思想方法：“化曲面为平面”

 

                          蚂蚁在正四棱柱表面爬行问题

例2 

如图,正四棱柱的底面边长为5cm,侧棱长为8cm,一只蚂蚁欲从正四棱柱的底面上的点A沿棱柱侧面到点C1处吃食物,那么它需要爬行的最短路径是多少？

数学思想方法：展开与折叠，转化到同一平面上，用两点之间线段最短寻找最短路径。

拓展：(1)  蚂蚁在长方体表面爬行最短路径问题探究

如果把上题中的正四棱柱换成一个长、宽、高分别为４㎝、　３㎝、　８㎝的长方体盒子，其余条件不变，你知道蚂蚁爬行的最短路径是多少吗?

 

(2) 长方体盒子里放最长木棒问题探究

如果欲把一根长为10㎝的木棒放入这个长、宽、高分别为４㎝、３㎝、８㎝的长方体盒子，能放下吗？

数学思想方法：空间里找平面

议一议

你能说出蚂蚁从长方体一个顶点沿表面爬行到相对顶点的最短路径问题与长方体盒子放木棒问题的联系吗？

（三） 随堂练习：Ｐ２１知识与技能　第１题

（四） 课堂小结  谈一谈你的收获：

１、知识方面  ２、数学方法及数学思想方面 

３、交流探究中你的同伴表现怎样？你要学习他们的哪些优点？

（五） 作业：Ｐ２１――Ｐ２２　第２．３．４题

教学流程图

 

八．教学评价设计

1.课堂表现评价表

学生课堂表现评价量表

 

 

项目	A级	B级	C级	个人评价	同学评价	教师评价
认真	上课认真听讲，参与讨论态度  认真	上课能认真听讲，能参与讨论	上课无心听讲，极少参与讨论
积极	举手发言积极，积极参与讨论与交流	能举手发言，有参与讨论与交流	很少举手，极少参与讨论与交流
自信	大胆提出和别人不同的问题，大胆尝试并表达自己的想法	有提出自己的不同看法，并作出尝试	不敢提出和别人不同的问题，不敢尝试和表达自己的想法
善于与人合作	善于与人合作，虚心听取别人的意见	能与人合作，接受别人的意见	缺乏与人合作的精神，难以听进别人的意见
思维的条理性	能有条理表达自己的观点，逻辑严密，解决问题的能力强。	能表达自己的意见，有解决问题的能力，但条理性欠佳	不能准确的表达自己的意思，思维的条理性差，不能独立解决问题
思维的创造性	创造性思维能力强，能独立思考用不同的方法解决问题，。	能用老师提供的方法解决问题，有一定的思考能力和创造性	思考能力差，缺乏创造性，不能独立解决问题
实践能力	强	较强	差
我这样评价自己：
伙伴眼里的我：
老师的话：

注：1.本评价表针对学生课堂表现情况作评价，用于课堂中评价

2.本评价分为定性评价部分和定量评价部分

3.定量评价部分总分为100分，最后取值为教师评、同学评和自评分数按比例取均值

4.定性评价部分分为“我这样评价自己”、“伙伴眼里的我”和“老师的话”，都是针对被评者作概括性描述和建议，以帮助被评学生的改进与提高。

 

2.自我评价表：

 

我是这样评价自己	A（优秀）	B（良好）	C（合格）	选答
自我操作能力	很强	较强	困难
描点画图	主动独立完成	依照同学才完成	不能完成
猜想能力	很准确	基本准确	猜想不出
获取知识的途径	广泛：上网，读书，老师教与同学交流	老师教，与同学交流	老师教
在小组中工作表现	最出色	较出色	应付式
数形结合的意识	自觉	较自觉	不能
自学能力	很强	有一定的自学能力	欠差

 

 

3.我对小组成员的评价：

 

对小组成员的评价	A（优秀）	B（良好）	C（合格）	选答
小组成员工作态度情况	积极	较积极	应付式
小组成员完成工作过程	迅速	按时完成	不能按时完成
小组成员交流讨论过程	有交流讨论	有交流	没有交流
小组成员的学习态度	主动性强	较主动	一般

 

 

4.教师评价：

 

评价我的学生	A（优秀）	B（良好）	C（合格）	选答
学生对图像上的信息描述	表达清晰	能基本描述	不能描述
学生对描点画图完成情况	全部能完成	大部分能完成	少部分完成
学生对本节多媒体教学态度	非常投入	较积极	应付式
学生们分工合作交流情况	分工明确， 合作有效	有合作，但分工不尽合理	分工合作不合理

 

九．帮助和总结

老师应帮助学生及时小结知识方面：

1、 关于直角三角形的有关性质及判别方法

2 、及时总结规律：若长方体的长.宽.高为a.b.c且a﹤b﹤C则蚂蚁沿侧面爬行到相对顶点的最短路径为√(a+b)2+c2此长方体内可放的木棒最长为√a2+b2+c2

3、数学的转化，化归思想：化曲面为平面，化立体为平面，化运动为静止，化未知为已知，化复杂为简单……