《两角差的余弦函数》教学设计

数学组  党少华

一、教材分析

本节内容是教材必修4第三章《三角恒等变换》第一节，该节推导得到两角差的余弦公式是本章所涉及的所有公式的源头。

过去教材曾用余弦定理证明两角和的余弦函数，虽能对学生进行思维训练，但过程繁琐，不易被学生接受。由于向量工具的引入，使得公式的得出成为简单的代数运算，大大地降低了思考的难度，也更易于学生接受。从知识产生的角度来看，在学习了《三角函数》及《平面向量》后再学习由这些知识推导出的新知识也更符合知识产生的规律，符合人们认知的规律。

二、学情分析

    本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。在学习本节课之前，学生已经学习了任意角三角函数的概念、平面向量的坐标表示以及向量数量积的坐标表示，这为他们探究两角差的余弦公式建立了良好的知识基础。

三、三维教学目标

1、知识与技能

通过两角差的余弦函数的探究，让学生在初步理解公式的结构及其功能的基础上记忆公式，并用之解决简单的数学问题，为后面推导其他和（差）角函数打好基础。

2、过程与方法

通过利用同角三角函数变换及向量推导两角差的余弦函数，让学生体会利用联系的观点来分析问题，解决问题，提高学生逻辑推理能力和合作学习能力。

3、情感、态度与价值观

    使学生经历数学知识的发现、创造的过程，体验成功探索新知的乐趣，获得对数学应用价值的认识，激发学生提出问题的意识以及努力分析问题、解决问题的激情。

四、教学重点、难点

重点：两角差的余弦函数的理解和运用。

难点：两角差的余弦函数的推导。

五、教学过程

(一)    问题引入

 问：我们在第一章学习了角的推广以及一些特殊角的三角函数值，同学记得哪

     些特殊值呢？

答：例如 等。

问：而大家指导 ，那么猜想一下， 会成立吗？

答：错误的！（等待学生用特殊角的三角函数值验证后回答）

总结：根据同学们的验证可知我们的猜想是错误的！也就是 一般不等于 ，下面我们就一起探究两角差的余弦公式。

（设计意图：这节课要研究的 的公式，用 等特殊值来引入，一来可以节省时间，二来引出课题更加直接，更加自然。）

(二)   新课探究

第一步、明确探究途径和目的

问： 上一章我们刚刚学习了《平面向量》 ，那些知识中是否涉及到了角度的余 

     弦，它们有什么关系呢？

答：在向量的数量积中涉及到了，关系是

问：同学们回答的很准确，但这个式子似乎还有点复杂，在这两个向量是什么特

    殊情况下，这个式子就可以简化？

答：当向量都是单位向量时，两向量的模长就可以化为1，将式子简化为 

   

问：那么结合上一章所学，向量的数量积又可以怎么表示呢？

答：向量的数量积还可以通过它们的坐标进行表示。

总结：从上面分析可以看出，向量的数量积可以作为角度的余弦值和坐标运算相等的桥梁，这就是突破本节课难点的关键。

   （设计意图：提示学生联系与角的余弦相关的知识点，明确以向量运算中的数量积的定义和坐标表示两种方法作为研究途径。）

 

第二步、初步完成知识探究

在平面直角坐标系 内作单位圆，以 为始边作角 ，其中 ，它们的终边与单位圆 的交点分别为 （限定在第一象限），设 的夹角为 。（多媒体展示该图形）

问： 对应坐标分别是多少？

答：   

问：现在如何通过夹角的余弦和向量的坐标运算两种方式表示向量的数量积？

答：一方面 ；

另一方面 .

问：请同学们针对上述式子仔细观察，能得到什么结论呢？

答：可以看出 。

问：这里我们将点 都限定在第一象限，则 的夹角 和 有什么关

系呢？

答：可以看出 。

总结：有了这些关系可以得到 ，这就是本节课要学习的两角差的余弦公式。

   （设计意图：在探究公式的过程中，不要求学生做到一步到位。首先对角选择较为特殊的范围来进行探究，能让学生从整体上感知本节课所要探究的途径与目的，让大部分学生都参与到探究中来。）

 

第三步、深入理解新知

问：由于角 是任意角度，而向量夹角的范围却是 ，因此（1）式还不具备一般性。那接下来我们必须考虑的是：是否在任何条件下都有 成立？

答： 只会有两种关系，一种是 ，另一种是

（必须通过作图加以分析才能得到这个结论，要加强学生的合作交流，并结合多媒体展示讨论情况）

问：既然只有两种情况，那是否都能使 成立呢？

答：第一种情况下 ；

第二种情况下 ，都成立。

总结：在同学们的共同努力下，我们可以说对任意的 ，两角差的余弦函数为 。

    （设计意图：公式的推导遵循由浅入深，由特殊到一般，逐层深入的规律，便于理解。而向量方法推导该公式显得更加直观和简洁，也能让学生体验向量工具的优点。）

 

第四步、强化公式记忆

问： 有什么特点？ 

答：（1）式子中α、β是任意的；

   （2）公式中两边的符号正好相反（一正一负）；

  （3） 式子右边同名三角函数相乘再加减，且余弦在前正弦在后；

总结：两角差的余弦函数记忆口诀“余余正正符号反”。

（三）例题讲解

例1  求三角函数的值 。

解：

       

例2  利用差角余弦公式求 。

解：

         

 

         

（设计意图：例1是对公式的直接应用，例2体现了角的拼凑思想，拼凑的多样性，体现了变换的多样性，让学生体会数学思想的灵活性，求解的过程可以完全由学生独立完成。）

（四）课堂小结

问：本节课我们做了什么探究活动呢？

答：用向量数量积推导两角差的余弦函数。

问：那两角差的余弦函数是什么呢？

答：

问：公式运用中需要注意哪些问题呢？

答：要注意诱导公式的灵活运用，公式的逆用，特殊角的拼凑等。