加载中…数与形，本是相倚依，焉能分作两边飞
(2019-07-07 17:01:17)
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工作室简报（八十一） |
分类： 名师工作室 |
数与形，
本是相倚依，
焉能分作两边飞。
数无形时少直觉，
形少数时难入微。
数形结合百般好，
隔离分家万事非；
切莫忘，
几何代数统一体，
永远联系，
切莫分离！
数形结合思想，就是根据数与形之间的对应关系，通过数与形的相互转化来解决问题的一种重要思想方法。它通过“以形助数、以数解形”两种方式，使复杂的问题简单化、抽象的问题具体化，并把抽象思维转化为形象思维，帮助学生把握数学的本质。
张静名师工作室的孙兰老师分享了自己的一次教学经历：
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在教学
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=？时，单从算式角度看，该问题对于五年级的学生来说解决起来是有一定难度的。我的思考：能不能运用数形结合思想进行题目解析，直观找到解题途径，从而简化解题过程。
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png首先我让学生用画图的方式表示出1/2。有的学生画了一个正方形，平均分成了2份，涂了其中的一份；有的学生是把一个长方形平均分成了2份，取其中的1份；还有的学生是用圆表示出其中的1/2。“既然能表示出1/2,那么1/2+1/4能不能在图中表示出来呢？”话音落下不到1分钟，有学生的手已经高高举起。我从中出示了几幅有代表性的作品和大家交流：
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKtWeBL2Wzm3yaRtEJZrwQiaRbaKfJvR8EmYe1ibvYUlKq6eicbV2icNkPA/640?wx_fmt=png
这些图都表示的是：1/2+1/4=3/4。
这时候我并没有继续让学生表示1/2+1/4+1/8，而是出示了一幅图形，让学生用算式表示图形的意思。
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzSnP4O7fEjY05y0fGmud9FgrMAAyoYnKgFboFQcZjsbXXLliaU5kKqFw/640?wx_fmt=png
学生很快说出算式：
1/2+1/4+1/8=7/8。
我的思考：学生在三年级下册的时候已经对分数有了初步的认识，而异分母分数加减法的计算是前两天才学习的内容。这时在图形中涂出1/2，可以促进学生深入理解分数意义；1/2+1/4，1/2+1/4+1/8通过画图方式得出结果，目的是借助几何直观向学生渗透数形结合的思想，加深学生对异分母分数加减法算理的理解，丰富学生的数学体验和思维经验。
师：1/2+1/4=3/4，
1/2+1/4+1/8=7/8，
那么1/2+1/4+1/8+1/16=?
它们的结果又会是多少呢？请大家利用手中的图形继续涂一涂，然后写出结果。我的思考：由于有了前面2道题目的铺垫，这两道题目有的学生是可以通过猜测得出结论，而有的学生是通过计算得出结论。无论是猜测还是计算得出的结论到底对不对呢？通过涂一涂借助面积模型的直观运算验证结论，促使学生对算理的回忆和理解。
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png根据学生的回答相机板书：
1/2+1/4=3/4
1/2+1/4+1/8=7/8
1/2+1/4+1/8+1/16=15/16
师：仔细观察，这些算式有什么共同点？
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png小组讨论交流后，思维活跃的孩子率先举手迫不及待地想要表达自己的观点。
玥玥：这些算式中相加的分数，它们的分子都是1。
睿睿：每个算式中后一个加数是前一个加数的一半。
彤彤：第一个算式的和是1/2的2倍减去1/4；第二个算式的和是1/2的2倍减去1/8；第三个算式的和是1/2的2倍减去1/16；第四个算式的和是1/2的2倍减去1/32。
智多星瑶瑶：分子是1的分数相加，如果后一个加数是前一个加数的一半，那么它们的和就是用第一个加数的2倍减去最后一个加数。话音刚落，全班学生不由自主地鼓起了热烈的掌声。
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png师：大家能不能根据我们的发现大胆地推测1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64等于多少呢？
大家异口同声地说出了1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64=63/64。
师：谁能根据我们的发现也说出一个这样的算式呢？
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png大家七嘴八舌地开始交流起来，集体反馈时欣喜地发现了这样的算式：
生1：
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128=127/128。
生2：
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64+1/128+1/256=255/256。
生3:1/7+1/14+1/28+1/56=15/56。
生4:1/3+1/6+1/12+1/24=15/24
https://mpt.135editor.com/mmbiz_png/dQicFfiayo6uErbgB3TiaaibYnGL3oYwWYlzKOvHnFYjunia9IAgngNtxnR1WXobXxEG9qJGY7RRHwnBVs2iaERYPibZg/640?wx_fmt=png我的思考：
1/2+1/4+1/8+1/16+1/32+1/64这道题目完全可以通过通分计算的方式在5分钟之内解决，我却花了20分钟的时间让学生运用数形结合的思想感悟、猜测验证、总结归纳出计算方法，我认为是值得的，因为20分钟的时间孩子们不仅仅解决了一道题目，而是掌握了一类题目的解决思想。这节课上数形结合的思想在孩子们的脑海里烙下了深深的一笔。
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我深深地感受到数形结合思想可以使抽象的数学问题直观化、使繁难的数学问题简洁化、使原本需要通过抽象思维解决的问题有时借助形象思维就能够解决，有利于抽象思维和形象思维的协调发展和优化解决问题的方法。作为小学数学教师，应该在平时的课堂教学中传授知识的同时将数学思想方法润物细无声地植入学生的心田，使学生通过学习经验和思想方法的日积月累，能够实现数学素养的真正提高。
关注儿童视角，提升数学素养。
我们一直在努力中……
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