平均数是统计中应用最广泛、最重要的一个指标体系。它表示平均水平或集中趋势，是集中趋势的特征值。平均数有多种，如均数、中位数、几何均数、众数、调和均数等，常用的有均数、几何均数、中位数。

(一)算术均数

算术均数简称均数。反映一组观察值在数量上的平均水平或集中位置，总体均数用 表示，样本均数用 表示。

1．均数的计算方法

(1)直接法：即将所有观察值X₁，X₂，X₃，…，X_n直接相加再除以观察值的个数n。公式为：

公式中∑是求和符号                                       

例：3.2  5名17岁女中学生的肺活量(L)分别是2.45，2.87，1.98，2.56，2.33。求平均肺活量。

(L)

(2)加权法  当样本量较大时，为避免出错，可用加权法处理，所得结果是直接法的近似值。公式为：

                                                   (3.2)

式中X为组中值，f为每组频数。

试求上例资料的均数

30～49岁健康男子血清总胆固醇平均值为4.735 mmol·L^-1

表3.2   某地101例30～49岁健康男子血清总胆固醇均数的计算

2.均数有两个重要特性

(1)离均差之和为零：即

∑(X－ )=0

(2)离均差平方和最小：就是说离均差平方和小于各观察值与其它任何数a (a≠ ) 之差的平方和，即

∑(X－ )²<∑(X－a)²  (a≠ )

3.均数的应用  均数能反映全部观察值的平均水平或集中位置因而应用最广泛。它适用于对称分布资料，尤其是正态分布资料。偏态分布资料用几何均数或中位数。

(二)几何均数  用G表示，适用于呈对数正态分布的资料，或呈等比关系的资料。如医学中常用的抗体滴度、血清效价等。但所计算观察值不能为零或同时出现正负值；同组资料算出的几何均数(G)均小于均数( )。

几何均数的计算方法如下：

1.直接法：其计算公式是：

                                            (3.3)

例：3人血清抗体效价分别为1∶10，1∶100，1∶1000，求其平均效价。

3人血清抗体效价的平均效价为1∶100。

2.加权法：计算公式如下：

                                           (3.4)

例3.4测得46名正常人的血清乙型肝炎表面抗原(HbsAg)滴度如下，求其平均滴度。

滴度    1∶8    1∶16    1∶32    1∶64    1∶128

人数     17      15       11        3        0

=lg^-1 1.2041

=16.0

其平均滴度为1∶16

(三)中位数和百分位数  一群变量值由小到大排列依次居中的观察值就是中位数，中位数用M表示。百分位数是一种位置指标，用Px表示。一个百分位数Px将一群变量值分为两部分，理论上有X%的观察值比它小，有(100-X%)的观察值比它大。P₅₀就是中位数，故中位数是一个特定的百分位数。

1.计算方法

(1)直接法：一般在样本含量不大时使用，先将各观察值由小到大排列，然后按偶数或奇数分别计算。

n为奇数                                            

n为偶数                                     

式中，下标( )、( )、( +1) 为有序数列的位次，  、  、  为相应位次的观察值。上两式的实际含意为：当样本含量n为奇数时，位置居中的那个数值就是M；当n为偶数时，位置居中的两个数值的平均数就是M。

例3.5，某病患者7人潜伏期分别为1，2，3，5，10，15，20天，求其中位数。

M= ＝5 (天)

例3.6  例3.6中又多1例其潜伏期为22天，求中位数

M=  (天)

(2)用频数表法计算中位数和百分位数

步骤是①按所分组段，由小到大计算累计频数和累计频率，如表3.3第(3)(4)栏；②确定Px所在组段，按下式计算M或Px。

                                     (3.7)

式中L、i、f_X分别为Px所在组的下限、组距和频数，n为总例数，∑f_L为小于L的各组段的累计例数，求中位数M时，X=50，M=P₅₀。

例：50例咽峡炎患者的潜伏期如下，求M，P₂₅，P₇₅，P_2.5，P_97.5。

本例n=50，求Px关键在于找出Px所在组，Px在累计频数∑f略大于n·X%组内，本例知50%在38%与60%之间，故P₅₀(M)在“48～”组段内，将有关数据代入式。

M=  = 54.5 (h)

同理

 (h)

 (h)

 (h)

  (h)

 表     50例咽峡炎患者潜伏期的M和Px的计算

2.中位数和百分位数的应用  中位数常用描述偏态分布资料、开口资料和分布未明的资料。开口资料即数据的一端或两端无确切界限，不能求出均数和几何均数。而百分位数常用于确定医学参考值范围，当数据不呈正态分布时，样本含量要足够大，常取95%医学参考值范围。单侧过高为异常时取P₉₅，过低为异常取P₅，双侧取P_2.5～P_{97. 5}

动动脑筋吧：（1）请问M在什么时候等于`x？；（2）请问M是不就是P<sub>50</sub>。（3）请问集中趋势指标为什么要有`x、M、G三个呢，一个不就可以了吗？（答案在第六讲）

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