六年级下册第一单元圆柱和圆锥的错例及剖析

                        小课题成员：宋永清

圆柱和圆锥的认识

判断：

1.圆柱和圆锥都有无数条高

错误答案：正确       

错误原因：没有很好的理解题意，对概念有些混淆。前半部分正确，后半部分错误。

分析：圆柱有无数条高，圆锥只有一条高，圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，圆锥只有一个顶点和一个圆心，所以只有一条高。

正确答案是：错误

2.因为电线杆的上、下两个底面都是圆形的，所以电线杆是圆柱。

错误答案：正确

错误原因：不注意观察生活中的物体，有视觉差。

分析：电线杆的上、下两个底面都是圆形的，但下面粗，上面细，是圆台。不是圆柱。

正确答案是：错误

3.圆锥的高就是圆锥展开后扇形的半径。

错误答案：正确

错误原因：对概念理解不清楚。

分析：圆锥的高是顶点到底面圆心的距离，半径是顶点到圆上一点的距离。学生在做圆锥的时候容易形成这样的错误，所以在讲圆锥高的时候要注意讲清楚，也可以让学生观察圆锥的高于扇形半径的关系，学生通过观察就会发现高是垂直的半径是斜边，半径比高长。

正确答案：错误

圆柱的表面积：

积特殊的圆柱表面计算，学生容易出错的可分为：只算侧面（如烟囱、水管）；只算一个侧面和地面（如水桶、圆柱形游泳池）；由长方形旋转得到的圆柱表面积计算；水泥管内外表面积的计算等。

有的圆柱体在计算表面积时不计算上下底面积：如烟囱

1.一种圆柱形烟囱，它的地面直径是10cm,每节长5dm,做100节这种烟囱至少需要多少平方米铁皮？（接缝处忽略不计）    （出自陕西师范大学出版社六年级下册数学练习册）

错例一：不换算单位（已知条件的单位与问题的单位）

3.14×10×5                     

=3145

=1570（m²）          1570×100=157000（m²）

   答：做100节这种烟囱至少需要157000 m²铁皮

错例二：计算底面积

10厘米=1分米

3.14×（1÷2）²×2        3.14×1×5

=3.14×0.5²×2           =3.14×5

=3.14×0.25×2           =15.7（dm²）

=0.785×2                     15.7×100=1570（dm²）

=1.57（dm²）                  1570+1.57=1571.57（dm²）

1571.57（dm²）=15.7157（m²）

  答：做100节这种烟囱至少需要1571.57 m²铁皮

分析：学生不注意看题目的已知条件，对题目中的数量没有注意看单位，认为单位是统一的。烟囱没有上下两个底面，多算了两个底面积，有画蛇添足之嫌。

正确的计算方法：烟囱没有上下两个底面，不计算底面积，只需要算出侧面积就可以了。应用公式S侧=3.14×d     在计算时先要看单是否位统一，如果单位不统一要先换算单位。计算完以后要看问题的单位与计算的单位是否一样，如果不一样先要换算单位。

先换算单位：10厘米=1分米

计算：3.14×1×5

=3.14×5

=15.7（dm²）       15.7 ×100=1570（dm²）=15.7（m²）

答：做100节这种烟囱至少需要15.7 m²铁皮

 

2.一个圆柱形的游泳池，底面半径是20 m，池深2 m

  ①求游泳池的占地面积

错例：底面积+侧面积

3.14 ×20²     3.14×20×2×2

=3.14×400     =62.8×2×2

=1256 （m²）   =125.6×2

          =251.2（m²）

251.2+1256=1507.2（m²）

答：游泳池的占地面积1507.2 m²

分析：学生没有理解占地面积地意义，占地面积就是底面积。

正确的计算方法：

3.14 ×20²    

=3.14×400     

=1256 （m²）   

答：游泳池的占地面积1256 m²

②如果要给这个游泳池的周围和地面都贴上瓷片，那么需贴瓷片的面积是多少平方米?

错例一：上下底面积+侧面积

3.14 ×20²×2     3.14×20×2×2

=3.14×400×2      =62.8×2×2

=1256 ×2          =125.6×2

=2512 （m²）       =251.2（m²）

       2512+251.2=2763.2（m²）

答：需贴瓷片的面积是2763.2 m²

分析：要给这个游泳池的周围和地面都贴上瓷片，就是计算游泳池的侧面积和一个底面积。

出错原因是算了两个底面积，只需算一个底面积就可以。

正确答案：下底面积+侧面积

3.14 ×20²     3.14×20×2×2

=3.14×400      =62.8×2×2

=1256 ×2       =125.6×2

=1256 （m²）    =251.2（m²）

1256+251.2=1507.2（m²）

答：需贴瓷片的面积是1507.2 m²

3.以一长6厘米，宽2.5厘米的长方形的长边为轴，旋转一周，得到一个圆柱体，求这个圆柱的侧面积和表面积。（出自陕西师范大学出版社六年级下册数学练习册）

分析：长方形以长边为轴旋转一周，得到一个圆柱体，长方形的宽就是圆柱的底面半径，长方形的长就是圆柱的高。

错例：把长方形的长做底面直径计算

根据公式：S侧=3.14×d  ×h             S底=3.14×（d÷2）²×2

           S侧=3.14×6 ×2.5             S底=3.14×（6÷2）²×2

               =18.84 ×2.5                  =3.14×3²×2

               =47.1 （平方厘米）            =3.14×9×2

                                             =28.26×2

           S表= S底+S侧                      =56.52（平方厘米）

           S表=47.1+18.84

               =103.62（平方厘米）

答：圆柱的侧面积47.1平方厘米，表面积103.62平方厘米

错误原因: 长方形以长边为轴旋转一周，得到一个圆柱体，把长方形的长做圆柱的底面直径，长方形的宽做圆柱的高来计算。没有弄清楚是以谁为轴来旋转。

正确的计算方法：长方形的宽就是圆柱的底面半径，长是高。

          S侧=3.14×r ×2 ×h               S底=3.14×r²×2

              S侧=3.14×2.5×2×6           S底=3.14×2.5²×2

                  =7.85×2 ×6               =3.14×6.25×2

                  =15.7×6                   =19.625×2

                  =94.2（平方厘米）          =39.25（平方厘米）

S表= S底+S侧

S表=94.2+39.25

=133.45 （平方厘米）    

答：圆柱的侧面积94.2平方厘米，表面积133.45平方厘米    

 

4.一根水泥管道长120厘米，外径为40厘米，管壁厚5厘米。求这跟水泥管道的表面积（包括内表面）。  （出自陕西师范大学出版社六年级下册数学练习册）

分析：求水泥管道的表面积=外表面面积+内表面面积+两个圆环面积

错例：S外侧=3.14×d外×h                    S内侧=3.14×d内×h

         S外侧=3.14×40×120                 S内侧=3.14×（40-5）×120

               =125.6×120                         =3.14×35×120

               =15072（平方厘米）                  =109.9 ×120

                                                   = 13188（平方厘米）

                13188+15072=28260 （平方厘米）

                     答：这跟水泥管道的表面积28260平方厘米

错误原因：学生解题思路不清晰，缺乏解决繁琐问题地信心和毅力。水泥管道的表面积=外表面面积+内表面面积+两个圆环面积，没有计算正确水泥管道内管的直径和半径，内管的直径应减去2个管壁的厚度，也没有计算两端圆环的面积。

正确计算方法：

         S外侧=3.14×d外×h                    S内侧=3.14×d内×h

         S外侧=3.14×40×120              S内侧=3.14×（40-5×2）×120

               =125.6×120                      =3.14×30×120

               =15072（平方厘米）               =94.2 ×120

                                                = 11304（平方厘米）

内管半径：40÷2=20（厘米）          20-5=15（厘米）

S环=3.14×（R²-r²）

   =3.14×（20²-15²）×2

=3.14×（400-225）×2             S表= S外侧+ S内侧+ S环      

=3.14×175×2                             S表=15072+11304+1099

=549.5×2                                     =26376+1099

=1099（平方厘米）                             =27475（平方厘米）

       答：这跟水泥管道的表面积27475平方厘米

       

 

 

圆锥的体积计算：

1.计算圆锥的体积时忘记乘1/3

计算圆锥的体积:（结果保留一位小数）底面直径是12cm,高是4cm    （出自陕西师范大学出版社六年级下册数学练习册）

错例：忘记乘1/3

3.14×（12÷2）²×4

=3.14×6²×4

=3.14×36×4

=113.04×4

=452.16

≒452.2（cm²）

答：圆锥的体积452.2 cm²

圆锥体积计算公式是：圆锥体积=底面积×高×1/3，计算时一定要乘以1/3。

正确的计算方法：

3.14×（12÷2）²×4×1/3

=3.14×6²×4×1/3

=3.14×36×4×1/3

=113.04×4×1/3

=452.16×1/3

=150.72

≒150.7（cm²）

答：圆锥的体积150.7 cm²

 

2.将一个圆柱或长方体熔铸成一个圆锥求高时忘记乘3.

  将一个底面半径是4 cm，高6 cm的圆柱体零件熔铸成一个底面直径为4 dm的圆锥形零件。则圆锥形零件的高是多少分米？         （出自陕西师范大学出版社六年级下册数学练习册）

错例：

V柱=3.14×4²×6      S锥=3.14×（4÷2）²

   =3.14×16×6          =3.14×2²

   =50.24×6             =3.14×4

   =301.44 （立方厘米）  =12.56（平方厘米）

301.44÷12.56=24（分米）

答：圆锥形零件的高是24分米

分析：圆柱的体积和长方体的体积与圆锥的体积相同。错误原因有两个，一是没有换算单位，二是计算圆锥的体积时乘以1/3，也就是除以3，那么知道圆锥的体积和地面积求高时，要给它乘以3才正确。

正确的计算方法：

V柱=3.14×4²×6      S锥=3.14×（4÷2）²

   =3.14×16×6          =3.14×2²

   =50.24×6             =3.14×4

   =301.44 （立方厘米）  =12.56（平方分米）

换算单位：301.44立方厘米=0.30144立方分米

0.30144÷12.56=0.024（分米）

乘以3：   0.024×3=0.072（分米）

答：圆锥形零件的高是24分米

 

3.当圆柱和圆锥组合求体积时：不认真分析已知条件中的数量关系，只求出了一个的体积，应该是：圆柱体积+圆锥体积。

一个装满稻谷的粮囤，高0.9米，上面是圆锥形，下面是圆柱形。量的底面周长是12.56米，圆柱的高是0.5米。

⑴这个粮囤能装稻谷多少立方米？

错例一：半径：  12.56÷3.14÷2           体积：3.14×2²×0.9

               =4÷2                          =3.14×4×0.9

               =2(米)                         =12.56×0.9

                                              =11.304（立方米）

答：这个粮囤能装稻谷11.304立方米。

分析：学生把它当作一个圆柱来算，没有理解它是一个组合体。不认真分析已知条件中的数量关系。 0.9米是圆柱和圆锥高的和。

错例二：半径：  12.56÷3.14÷2           体积：3.14×2²×0.5

               =4÷2                          =3.14×4×0.5

               =2(米)                         =12.56×0.5

                                              =6.28（立方米）

  答：这个粮囤能装稻谷11.304立方米。

分析：没有分析清楚已知的数量关系，0.9米是圆柱和圆锥高之和，它们两个的底面积也是一样的。3.14×2²×0.5计算的是圆柱的体积，还应计算圆锥的体积，粮囤的体积=圆柱体积+圆锥体积。

正确的计算方法：半径：  12.56÷3.14÷2 圆柱体积：3.14×2²×0.5

                       =4÷2                  =3.14×4×0.5

                       =2(米)                 =12.56×0.5

                                              =6.28（立方米）

圆锥的体积：3.14×2²×（0.9-0.5）×1/3

           =3.14×4×（0.9-0.5）×1/3

           =12.56×0.4×1/3

           =5.024×1/3

           ≒1.67（立方米）         1.67+6.28=7.95（立方米）

      答：这个粮囤能装稻谷7.95立方米。