【课程分析】

本节选自新课标人教版数学必修五第一章解三角形。

解三角形的主要内容是介绍三角形的正、余弦定理及其简单应用，旨在通过对任意三角形边、角关系的探索，推导出正、余弦定理，并能用它们解决一些简单的三角形度量问题，以及一些与测量和几何计算有关的实际问题。具体地，本章以一系列的实际问题引入要学习的数学知识；然后从学生熟悉的直角三角形出发引入正弦定理，并采用特殊到一般以及分类讨论的思想给出定理的证明，再用向量的方法证明余弦定理。在获得定理证明后，通过实例归纳出用余弦定理与正弦定理可以解决“已知两边和它们的夹角解三角形”、“已知三边解三角形”的问题。最后，再用“应用举例”一节介绍正、余弦定理在测量距离、高度、角度等问题中的一些具体应用。在这些应用问题中，不但体现了新课标的应用意识，还体现了数学对学生实践能力的培养价值，特别在解决一些实际问题中，让学生探索不同的解决方案，对学生创新能力的培养也有重要意义。

解三角形的知识本身是人类在长期的生产劳动和生活实践中产生和发展起来的，本章的教学内容具有显著的实践性，极其重视培养学生的数学应用意识和实践能力。本章一开始的引言就从一个测量问题引入：“在我国古代就有嫦娥奔月的神话故事。明月高悬，我们仰望夜空，会有无限遐想，不禁会问，遥不可及的月亮离我们地球究竟有多远？”接着指出：“在数学发展历史上，受到天文测量、航海测量和地理测量等方面实践活动的推动，解三角形的理论得到不断发展，并被用于解决许多测量问题。”这就点出了本章数学知识的某些重要实际背景及其实际需要，使学生初步认识到学习解三角形知识的必要性。

 

【学情分析】

在初中，学生对三角形的知识已经有了初步的了解，比如三角形的内角和为180^o；大边对大角，小边对小角；利用边和角的相等来判断两个三角形的全等；直角三角形的三边满足勾股定理等。与此同时，学生已经能够借助于锐角三角函数解决有关直角三角形的一些测量问题。这些知识是进一步研究有关三角形问题的基础，但是这些知识都较为简单，往往在解一些非特殊三角形的问题中显得无能为力。为了使解三角形的问题更为一般化，满足具体测量问题的需要，探索一般三角形中边和角的其它关系，显得更有实际意义。例如：

⑴ 怎样在航行途中测出海上两个岛屿之间的距离？

⑵ 怎样测量底部不可到达的建筑物的高度？

⑶ 怎样在水平飞行的飞机上测量飞机下方山顶的海拔高度？

这些问题的解决需要我们进一步学习任意三角形中边角关系的有关知识。正、余弦定理的出现，推广了三角形的边角关系，在解三角形以及解决某些生产实践中的测量问题中有着广泛的应用。

在前几课，学生已经学习了正、余弦定理的具体内容以及正、余弦定理在解三角形中的有关应用，但这些应用都是单纯的解决数学问题，没有上升到实际问题。  本节课，安排了正、余弦定理在解决有关测量距离问题中的应用，体现了数学知识的实际意义—学以致用。

 

【设计思路】

在国际竞争日益激烈的当今世界，人们越来越清楚认识到，国家的富强乃至民族的兴旺，无不取决于对科技知识的学习、掌握及其创造性的开拓和应用。但创造能力并非与生俱来，必须通过有意识的学习和培养才能形成。数学教育必须重视培养学生应用所学知识进行创造性工作的能力。要培养学生的创造能力，就要让学生具有积极探索的态度，猜想、发现的欲望。数学教学要设法鼓励学生去探索、猜想和发现，培养学生的问题意识，经常地启发学生去思考，提出问题。

课程标准要求在本章的教学中，学生应该在已有的知识基础上，通过对任意三角形边角关系的探究，发现并掌握三角形中的边长与角度之间的数量关系。所以，在本章的教学中，应该根据教学实际，启发学生不断提出问题，研究问题。在应用两个定理解决有关的解三角形和测量问题的过程中，一个问题也常常有多种不同的解决方案，应该鼓励学生提出自己的解决办法，并对不同的方法进行必要的分析和比较。对于一些常见的测量问题甚至可以鼓励学生设计应用的程序，得到在实际中直接应用的算法。

结合“诱思探究学科教学” 理论，本节课安排了三个认知层次：第一个层次：抛砖引玉，进入新课；第二个层次：亲身体验，学以致用；第三个层次：实践探究，培养能力。首先通过复习已学的正、余弦定理的内容，为定理的应用奠定基础。接下来教学从学生感兴趣的内容入手，课件投影告诉大家在1671年，两位法国天文学家已经测出了地月之间的距离，现在我们学习一下他们当时是怎样测量地月距离的？然后介绍清楚有关地月距离的知识和方案后，让学生动手实践，交流探究，激发了学生的学习积极性和主动性。最后让学生思考解决实际问题的设计方案，进一步巩固定理的内容，完成知识的应用以及能力的提升。

【学习目标】

1、进一步理解正、余弦定理，并能较为准确地记忆定理内容；

2、体会正、余弦定理在处理有关测量距离问题中的应用价值；

3、利用正、余弦定理解决有关测量距离的实际问题，设计出符合实际问题的解题方案.

 

【教学流程】

一  抛砖引玉、进入新课

㈠ 温故而知新

请同学们独立回忆正、余弦定理的具体内容，并用公式表达出来，写到练习本上，如果回忆不起来，可以参考课本相关内容.

设计意图：从学生学过的知识引入，使学生加深定理的理解，体会文字语言与数学符号语言的相互结合，为开展定理的应用做好准备.

简要实录：教师给出投影让学生核对定理内容，并利用课件投影给出定理的公式表述.

二  亲身体验、学以致用

㈠ 地月距离的测量

请独立阅读以下文字，认真思考所给资料，如有疑问可以与同桌小声交流或咨询老师。

1、{课件投影}

在1671年，两位法国天文学家测量出了地月之间的距离，现在我们学习一下他们当时是怎样测量地月距离的？（如图所示）

 

                     

（1）       地月之间的距离是指地球中心与月球中心连线上间于地球和月球表面之间的距离，如图中线段CD的长.

（2）       考虑到实际问题，当时不可能找到地心和月心的连线，所以我们采用位于地球和月球相对表面上的两点间距离作为地月距离的近似值.（如图中AC,BC之间的距离可作为地月距离的近似值）

设计意图：让学生明确地月间距离的含义，知道要测量什么，进一步思考怎么样测量？

简要实录：通过阅读，为计算地月距离奠定基础，做好准备工作.

2、{课件投影}

请同学们仔细阅读如下测量方案，并按要求完成所给问题，小组之间交流结果，并展示成果.

（1）我们在地球的同一经线上选择两点A 、B，假设月球上存在一点C；

（2）测量出AB间的距离，记为 , 测量出 ；

（3）请在 中计算出 或 的长度，独立完成并写出计算过程.

设计意图：为学生利用正、余弦定理创造环境，把应用背景安排妥当，学生实际操作完成定理的应用过程和问题的解决.

简要实录：在教学过程中，学生往往只给出其中一种方案，需要教师适当提示，考虑出另外一种方案，利用投影展示学生成果如下：

方案1（学生）：利用正弦定理：

               

方案2（学生）：利用余弦定理：

教师评价：这两种方法测量出来的只是地月距离的近似值，随着科学技术的发展，人类还有更加先进与准确的测量方法，有兴趣的同学可以下去查资料.

三  实践探究、提高能力

㈠ {课件投影}

请同学们独立阅读课本例1和例2，进一步体会正、余弦定理在测量距离中的应用，阅读完成后，有问题的地方与同桌讨论.

设计意图：引导学生阅读课本，因为例1与例2相辅相成，例2是例1的升华，是学生提高能力的关键环节，为探究其他设计方案做好准备.

简要实录：教师要求学生遇到问题，与同学合作探讨，并给学生留下看书时间，并下去

查看，与学生讨论有关问题.

㈡ {课件投影}

在例2中，测量方式是沿河岸选取两点进行测量的，我们能否采取其他取点方式进行测量？四人小组讨论还有没有其它测量方法？并画图说明解决方案.

设计意图：根据实际问题，让学生思考其它测量方案，提高学生解决实际应用问题的能力，培养合作学习以及创新意识.

简要实录：教师引导学生探究别的测量方案，在适当时候提示，是否能沿垂直于河岸的方向选取两点等。在学生画图完成方案后，利用实物投影，展示学生的劳动成果。由于问题具有实际意义学生参与度较高，都能投入到思考，合作探究中，部分方案如下：

方案一：                         方案二：

        

将学生的成果公布于众，教师高度表扬，提高自信心和学习积极性.

㈢ 课 堂 小 结

   请同学们结合课本例题交流讨论，利用正、余弦定理解决测量距离问题的一般步骤，举手发言.

设计意图：归纳步骤，总结规律.

课堂实录：教师结合例题分析测量距离问题的各个步骤并给出投影：

         

 

【课后反思】

本节课作为正、余弦定理应用的第一节课，应用内容较多，计算量较大，所以一般都要求学生完成解决问题的设计方案即可。在教学过程中，学生对于得出例2的其它解题方法较为困难，需要教师的耐心的诱导。本节课的尝试我也看到了学生对于主动探究，诱导学习方式的欢迎，他们的参与程度，以及学习积极性空前高涨，为本节课的顺利开展奠定基础。虽然本节课的内容基本完成，但由于本人自身的阅历限制，对教学规律的把握还不够清楚，所以在教学过程中落实诱思探究思想的程度不够充分，对诱思探究教学论的内涵认识不够到位，需要进一步的学习。学习“诱思探究学科教学论”给我以下启发：

（一）、在教学过程中，我始终注意发挥学生的主体作用，让学生通过自主探究、合作交流来主动发现结论，实现师生互动，通过这样的教学实践活动取得了良好的效果。我认识到教师不仅要教给学生知识，更重要的是培养学生良好的数学素养和学习习惯，才能使自

己成为一名受学生欢迎的好老师。

（二）、我现在考虑的是，要把教学的重点放在教会学生获取知识的方法和能力上。这样，学生就能够运用所学的知识和方法，不断补充新知识，解决新问题，从而适应社会发展、变化的需要，这就要求不断地改革教学方法和手段，调动学生学习积极性。要鼓励学生提出

问题，允许学生标新立异，创造生动活泼的学习气氛。要激发学生的学习兴趣，促进学生积极思维，诱思探究教学理念做到了这一点，必将引导我继续前行。

（三）、诱思探究教学对教师的要求较高，教师工作量较大，需要教师有强烈的责任心，求实、创新的工作作风。面对学生“参差不齐”的实际水平，在教学中正确地运用“诱思探究教学”，可使学生的学习目的性更明确，自觉性更强，学习兴趣更浓厚，达到缩小两极分化，提高数学教学质量的目的。

总之，诱思探究教学不是一种单纯的教学模式，它是一种成熟的教育理念，突出了学生的教学中心主体性，强调了教师是教学的组织者和引导者。它不拘泥于形式，目的直指教学的有效性，此时无形胜有形。对它的研究和实践也不能一时兴起，需要持之以恒，坚持不解，方可找到它的真谛之所在，才能切实体现出它强大的威力，真真实现大面积提高教学质量的目的。