发表于《中小学数学》2012年第7、8期合刊

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最近听了一位老师执教苏教版数学二年级上册《认识多边形》的研究课，其中的一个片段引起了我的深思。

现在我把这个片段整理如下：

【案例回放】：

一开始探索新知，认识四边形、五边形、六边形。生在师的引导下，小结出: 长方形和正方形都有四条直边，在数学大家庭里它们有一个共同的名字——四边形。有五条边的叫五边形，有六条边的叫六边形。由几条边（每条边都是直的）围成的平面图形就是几边形。

板书课题：认识多边形。

师：刚才我们一起认识了多边形中的四边形、五边形和六边形，其实多边形就在我们的身边，我们一起来找一找吧！

学生分组讨论,全班交流。

生1：桌面是四边形。

生2：红领巾是三边形。

生3：数学书是四边形。

生4：黑板是四边形。国旗上的红五角星是十边形。

师：你真棒，你观察的真仔细，并且数的也很正确。

师：老师这里也有一些多边形，请你们看一下。

师用多媒体出示足球的表面、引路牌、停车牌。

师:在足球的表面也有五边形和六边形，黑色的部分是五边形，白色的部分是六边形；还有我们的停车场的指示牌、公园里的引路牌上都有我们多边形的影子哦。

师分别在图上用手指比划。

这一个片段之所以引起我的思考，我当时在想足球的表面那黑色的皮是五边形吗？足球上有五边形、六边形吗？足球是一个球体，球体的表面是曲面，曲面不是平面图形，曲面上是没有直线的。因此，我认为，足球上没有五边形和六变形。我个人认为如此设计教学材料，不利于建立多边形是平面图形的概念。小学生对空间与图形的学习是一种直观认识，是基于已有生活基础的感知并形成初步表象的过程。我们都知道学生认识事物的过程是：感知→表象→概念→概念系统。对低年级学生，教师不应该只是依靠讲解把内容说明清楚，而应该通过“呈现”使学生理解清楚。在这个过程中，作为教师必须充分运用直观、借助教具实验及动手操作形成完整的感知，积累丰富的表象，作为抽象思维的依托和支柱，帮助学生更好地学习。小学数学学习中的直观，包括实物直观、模具直观和语言直观。在此案例中，教师把建立多边形的表象建立在足球的表面（曲面），不利于建立多边形是平面图形的概念。

可是也有一些同事持反对意见，认为足球上有五边形和六边形。

  无独有偶，在六年级上册第76页也出现了这样的一道题目：

对这个观点，同事们有的肯定，有的否定，有的认为有争议，无法做出判断。我把整个的争论过程整理如下：

平面和曲面的关系是什么？

师1提出：足球的皮在没有缝合以前可能就是一个平面，所以可以说足球上有五边形和六边形的说法。

师2：足球是一个球体，球体的表面是曲面，曲面不是平面图形，曲面上是没有直线的。因此，我认为，足球上没有五边形和六变形。

师3：我同意师2的观点，但是我认为六年级这道题也没问题，足球是由五边形、六边形形状的皮围成的，并不代表那就是五边形、六边形，因为这些皮平铺时的确是五边形、六边形的，当它们用在足球上时，就由平面变成了曲面。严格来讲，不再是五边形、六边形，所以说足球上有五边形、六边形这句话是错的，而由“五边形和六边形皮围成的”应该是正确的！

师4：曲面能变成平面？？那需要拉伸吧。

师3：严格讲，这是错的，但在生活中做足球时，真的需要将皮进行拉伸吗？在数学教学中我们教学圆面积计算时，是不是利用了转化的思想将圆转化为平行四边形、长方形、三角形来推导的？化圆为方，用了转化与极限推导圆的面积公式？数学意义上来说，足球上的平面变成曲面、或者曲面变成平面的确不成立（或者说需要拉伸），可是生活中却是存在的，这里应该考虑足球表面积与每块皮面积之间的倍数关系。就好象地球是个椭球体，但我们平时踏着的地却是平的！我们经常会遇到一些数学理论与生活实际相矛盾的问题，在生活中是存在的、可行的，而用数学的理论来解释却行不通。

经过了激烈的讨论以后，我也翻阅了大量的数学书籍，在齐民友著的《数学与文化》有这样的论述：柱面的侧面虽然是曲面，但是平面和柱面是等价的，例如一张纸，卷一下就成为了柱面，因为他的几何本性并没有变。另一方面，平面和球面本质上不同，因为不经拉伸，是不可能把一张纸变成球面的。那么离开了“包围的空间”，怎样刻画这些本质不同的空间呢？答案是利用曲率。曲率这个思想不妨这样来概括：曲面自己就是一个空间，它有自己的几何学，为了研究这个几何，可以把曲面局部化------这就是微分几何的意思，这种局部的几何完全由两个“十分接近”的点之间的“距离”之性质来决定。这个空间是弯曲的，但是这种弯曲并不是我们肉眼直观的那种弯曲，而可以用一个函数来决定，这就是曲率。

     经过热烈的讨论和研读，感觉这已经不再是一个简单的小学数学问题了，而是已经涉及到了高等数学了，自己感觉到缺乏数学的专业素养，万万没有想到教二年级的数学要考虑这么多