一 般 化 与 特 殊 化

——读《数学的领悟》有感

       淮南二十六中 夏 昕   

一般化与特殊化是人类认识事物的两个重要侧面，也是解题的两种基本策略，它们相辅相成，是辩证的统一。在多数场合，特殊问题简单、直观，容易认识，容易把握。 但是，也有一些场合，特殊问题的个别特性可能会掩盖事物的本质属性，给解题带来困难，而直接求解相应的一般性问题，反而来得简便、明快、奇巧。

读了罗增儒的《数学的领悟》一书后，对这两者之间的关系以及如何用特殊化解决数学问题的认识更加清晰。

罗增儒老师在《数学的领悟》的第六章中做了详细的阐述：

德国数学家希尔伯特说过：在讨论数学间题时，我相信特殊化比一般化起着更为重要的作用。可能在大多数场合，我们寻找一个间题的答案而未能成功的原因，就在于这样的事实.，即有一些比手头问题更简单、更容易的间题没有解决.，或者没有完全解决.这一切都有赖于找出这些比较容易的问题，并用尽可能完善的方法和能够推广的概念来解决它们.这种方法是克服数学困难的最重要的杠杆之一。

我国数学家华罗庚也强调：解题时先足够地退，退到我们最易看清楚间题的地方，认透

了，钻深了，然后再上去.。在波利亚的“怎样解题”表里，也说“如果你不能解决所提出的问题”，那么可先去解决“一个更特殊的问题”或“解决这个问题的一部分”。

所有这些世界闻名的数学大师都非常重视特殊化方法，都告诫我们先退后进，以退求进.理解这些宝贵的经验之谈并通过自己的实践可以看到，特殊化有三个基本的功能：

(1)解题的突破口

遇到一个较难的问题，有人往往感到没法下手，怎一个好主意是“退”，即从一般退到特殊，从复杂退到简单，从抽象退到具体，从整体退到部分，退到最原始而又不失去重要性的地方，退到你会做、能下手的问题上。

(2)寻找解题思路的策略

“退”不是目的，在特殊的地方看清楚了，弄明白了，还要进。就像跳远时，先退步留出一段助跑的距离，然后再迅跑、挟风起跳，冲向新的纪录。问题是，“退’能有“进”的功能吗?我们说有的，因为简单情况总含有复杂情况的信息，具体情况常体现抽象情况的特征，所以，特殊情况下的清楚、明白，就为“进”准备了经验与素材，对它们作归纳、类比，便可获得关于一般情况的启示。这是寻找解题思路的一项明智策略。

例，有个繁华的商场，一天之中接待的客人数以千计。如果商场有一个重要广告，想使所有的顾客都能听到，又已知在任意3个顾客中，至少有2个在商场里当天相遇。问商场至少广播几次，就能使这一天到过商场的所有顾客都能听到?

讲解先特殊化。考虑这一天只有3个顾客。这是最简单而又不失去重要性的地方，只考虑1个或2个顾客不能提供“进”的启示，因为题目中最重要的条件是“在任意3个顾客中，至少有2个在商场里当天相遇”。

当看见第1个顾客来时，先不用急着开广播，还可以等来的人再多一些.但是，如果其他顾客都没来，先到的顾客就匆匆离去的话，那么，为了使他也能听到广告，就不得不开播了，这告诉我们，第一次开播的时间应该定在第1个离开商场的人走出商场之前。第一次开播时，可能第2个顾客已经来了，这时再有一次广播就够了。若第2个顾客到来时，第1个顾客已经离去，那么这个顾客会不会不等第3个顾客到来就离开呢?题目的已知条件表明不会这样，在每3个顾客中，至少有2人在商场相遇的条件下，这个顾客一定会呆到第3个顾客到来。一侯第3个顾客来到，即开第二次广播，便可使今天的全部顾客都听到重要广告。

由此，我们找到了解决的办法:第一次广播选择在第1个离开商场的人走出商场之前，第二次广播选择在最后1个进入商场的人进入商场之后。可用反证法证明如下：

假设第一个离开商场的人为A，最后一个进入商场的人为C.，若按上述办法广播后仍有B未听到广播，则B必在A离开之后才进来，又在C进来之前就出去了，于是就存在A,B,C三个顾客在当天的商场里互不见面的情况，与已知条件矛盾。3个人的简单情况不仅比较容易下手，也比较容易看透问题的本质，事实上，3个人的解决办法与任意n个人的解决办法是完全一样的。

(3)完成解题过程的方法

当题目的条件具有一般性，而结论较具体、较特殊时，特殊化可直接完成题目的求解。对于客观性试题，这已经是一个普遍使用和十分有效的解题方法。

(4)特例否定

事实上，数学不是只有“证实”，还有“证伪”，数学的发现也是朝着两个目标—提出证明与构造反例—前进的。为了证实一个命题正确，必须经过严格的逻辑推理；而要说明一个命题错误，举出一个反例就够了。容易体会到，一个数学间题用一个反例来解决，就像一出惊险的戏剧，刺激而艺术。

那究竟什么是特殊化思想和一般化思想？

1．什么是特殊化思想

对于某个一般性的数学问题，如果一时难以解决，那么可以先解决它的特殊情况，即从研究对象的全体转变为研究属于这个全体中的一个对象或部分对象，然后再把解决特殊情况的方法或结论应用或者推广到一般问题上，从而获得一般性问题的解答，这种用来指导解决问题的思想称之为特殊化思想.

2．什么是一般化思想

当我们遇到某些特殊问题很难解决时，不妨适当放宽条件，把待处理的特殊问题放在一个更为广泛、更为一般的问题中加以研究，先解决一般情形，再把解决一般情形的方法或结果应用到特殊问题上，最后获得特殊问题的解决，这种用来指导解决问题的思想称之为一般化思想。

通常情况下，特殊不能代替一般；但有时，特殊命题确实能与一般命题等价。 利用特殊与一般等价解决问题，有两种基本形式：其一是特殊借助于一般使问题获得解决；其二是一般借助于特殊使问题获得解决。

当我们面临的是一个计算比较复杂或内在联系不甚明显的特殊问题时，要设法把特殊问题一般化，找出一个能够揭示事物本质属性的一般性问题，以便利用解决一般情形的方法、技巧或结果，顺利解出原题，这就是一般化策略。

这种策略是通过找出特殊问题的一般原型，把特殊问题从原有范围扩展到较大范围来进行考察，从而使得我们能在更一般，更广阔的领域中使用更灵活的方法去寻求化归的途径。一般化策略能否奏效，关键在于一般化命题是否比需解的特殊命题易于求解。

实际教学中应注意以下几点：

1．  明确特殊化思想的特点

特殊情形相对一般情形而言是比较简单、直观和具体的，因而常常易于找出特殊情形的解答，而且普遍性存在于特殊性之中，一些特殊情形的解答过程常常蕴含着一般问题的解法途径或思路，因此，特殊化思想是探索一般性问题的解题途径的重要思想之一.。

2．明确一般化思想的特点

从一般性问题入手，可以使我们的视野更为广阔，避免在枝节问题上纠缠，容易触及问题的本质.同时，由于限制条件减少，涉及范围增大，更容易引起联想，发现各种条件与结论之间的内在联系.因此，从一般到特殊，是人们认识事物的另一个重要侧面，它与从特殊到一般是相辅相成、和谐统一的两个方面.。

3．注意与其他数学思想方法的联合运用

在同一道题中，有时需要运用多种数学思想方法，因此复习时要全面复习高中阶段的重要数学思想方法，不能重此轻彼，复习时要注意这一点。

4．能适时正确的选用

要清楚特殊与一般的数学思想方法的适用条件，如特殊化处理的可行性，有时虽然能用特殊化思想解答，但是比起其他方法未必是最佳解法.另外在解答题中，由于需要写出解答过程，因此对于一般性的结论，要防止用特殊代替一般的解答等。