在正方形ABCD中，E和F分别是AB和BC的中点，连接CE和DF，相交于P，连接AP。求证：AP=AD

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根据我课上讲的辅助线的画法：辅助线不是盲目去试，而是从题目出发展开联想，根据已知条件，想到多个该条件的经典辅助线的画法，逐个排除，找到和题目条件最接近的那一条，然后深入思考。反复进行，最后就可以找到思路了。

 下面，我们开始一步一步的进行思考：

（1）、从题目联想：“要想求证两条线段相等有那些办法？”

可以找AP和AD共处的三角形是等腰三角形，可以利用全等三角形求证，可以求线段的长度等等。

经过思考，求等腰三角形和全等三角形都不行。求线段的长度，题目当中没有直接给出数字，所以不能直接算，只能间接的求线段之间的比例关系。

（2）、从“线段之间的比例关系”进一步联想，题目当中说“E和F分别是AB和BC的中点”，可知AE=1/2AD，这个时候只要证明AE=1/2AP，题目就可以得到证明了。

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怎么证明呢？同样，联想到解决方法有全等、等边、比例线段等等，都不好求。由于条件中说ABCD是正方形，四个角都是直角，自然想到可不可以利用勾股定理？

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（3）总之，要想利用勾股定理，就要求线段DF垂直于CE。求两条线段垂直，也就是求它们的夹角等于90度。利用相似三角形可以求出它们的夹角等于90度。

（4）然后，做一个直角三角形，让这个直角三角形的三条边中包含AP，这样就可以求出AP的长度来了。

做辅助线，过点P做MN垂直于AB，也就垂直于CD。

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由于E、F分别是中点，利用一些直角三角形的相似关系（请大家自己去找，很容易的），不难得出PN=2NC=1/2DN=2/5DC    

NC=1/4DN=1/5DC=1/5AB=MB

所以，就知道了AM=AB-MB=4/5AB

PM=MN-PN=AB-PN=3/5AB

最后，利用勾股定理，正好是勾三股四弦五，证明了AP=AB=AD

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