两角和与差的正弦、余弦函数教学设计

 

教学目标：

1.通过对两角差的余弦公式的探究过程，培养学生通过交流，探索，发现和获得新知识的能力．

2.通过两角差的余弦公式的推导，体会知识的发生、发展的过程和初步的应用过程，培养学生科学的思维方法和勇于探索的科学精神．

3.能正确运用两角和与差的余弦、正弦公式进行简单的三角函数式的化简、求值．

教学重点：两角差的余弦公式的推导及应用.

教学难点：两角差的余弦公式中的α，β角推广到任意角.

教学过程：

一、相关知识回顾

1.向量数量积的定义： 的夹角为 ，

2.向量数量积的坐标表示： ， ，则 .

二、问题提出

问题:如何计算cos15°及cos75°的值？

分析： 吗？

猜想：cos（α－β）＝cosα－cosβ．

引导学生通过特例否定这一猜想：

例如，α＝60°，β＝30°，可以发现，左边＝cos（60°－30°）＝cos30°＝ ，

右边＝cos60°－cos30°＝－．

显然，对任意角α，β，cos（α－β）＝cosα－cosβ不成立．

再分析：我们已经学过诱导公式，如

 

 

 

可以这样来认识以上公式：把角α转动 ，则所得角α＋ 的正弦、余弦分别等于cosα和－sinα．把角α转动π，则所得角α＋π的正弦、余弦分别等于－sinα和－cosα．

由此，使我们想到一个一般性的问题：如果把角α的终边转动β（度或弧度），那么所得角α＋β的正弦、余弦如何用α或β的正弦、余弦来表示呢？即：如何用α和β的三角函数来表示sin（α＋β）？

事实上，我们在研究三角函数的变形或计算时，经常提出这样的问题：能否用α，β的三角函数去表示α±β的三角函数？为了解决这类问题，本节首先来探索α－β的余弦与α，β的函数关系式．

三、探究解决

1.如何把α，β，α－β角的三角函数值之间建立起关系？要获得相应的表达式需要哪些已学过的知识？

由三角函数的定义可知，这些角的三角函数值都与单位圆中的某些有向线段有关系，那么，这些有向线段之间是否有关系呢？

通过学生的讨论，教师引导学生作出以下推理：

在直角坐标系中，如图，以原点为中心，单位长度为半径作单位圆，又以原点为顶点， 轴非负半轴为始边分别作角 ，且 .我们首先研究 均为锐角的情况.设它们的终边分别交单位圆于点 ，这样，我们就得到两个单位向量 .由于这两个向量的夹角为 ，所以可以得到：

                 ①            

另一方面，向量数量积可以用坐标表示：

      ②

由①②两式得：

     ③

2. 提出问题，组织学生讨论

(1)当α，β，α－β为任意角时，上述推导过程还能成立吗？

若要说明此结果是否对任意角α，β都成立，还要做不少推广工作，可引导学生独立思考．

事实上，根据诱导公式，总可以把α，β的三角函数化为（0， ）内的三角函数，

当 是任意角时，由诱导公式总可以找到一个角 使

若 ，则 ；若 ，则 ，且 .因此，

                                        

对任意角 都成立.

(2)由任意角三角函数定义，可知角α，β的终边与单位圆交点的坐标均可用α，β的三角函数表示，即α－β角与 ， 两向量的夹角有关，那么能否用向量的有关知识来推导公式 呢？

教师引导学生分析：在平面直角坐标系xOy内作单位圆O，以Ox为始边作角α，β，它们的终边与单位圆的交点为A，B，则 ＝（cosα，sinα）， ＝（cosβ，sinβ）．

由向量数量积的概念，有: · ＝｜｜｜｜cos（α－β）＝cos（α－β）．

由向量的数量积的坐标表示，有: · ＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

于是，有cos（α－β）＝cosαcosβ＋sinαsinβ．

依据向量数量积的概念，角α－β必须符合０≤α－β≤π，即在此条件下，以上推导才是正确的．由于α，β都是任意角，α－β也是任意角，因此，须研究α－β为任意角时，以上推导是否正确．当α－β为任意角时，由诱导公式总可以找到一个角θ，θ∈［0，2π），使cosθ＝cos（α－β）．

若θ∈［0，π］，则 · ＝cosθ＝cos（α－β）；

若θ∈［π，2π］，则2π－θ∈［0，π］，且

· ＝cos（2π－θ）＝cosθ＝cos（α－β）．

于是，对于任意角α，β都有

      (3)公式 中， 可以是任意角，由此你能推出两角和的余弦公式吗?

解析：

即：                                        

应用公式解决前面的问题：

说明：① 是任意角，故 可以在任意象限或坐标轴上.

②记忆公式，要注意角与函数名称的排列及连接符号的变化情况：同名异号.

③此公式易错以下两点：A. ，( ),不能按分配律展开.

B.  ( ).

    (4)如何推导两角和与差的正弦公式？

 

 

 

 

                                                                       

四、例题解析：

例1. 求sin15°及cos105°的值．

分析：本题关键是将15°角分成45°与30°的差或者分解成60°与45°的差，再利用两角差的正弦公式即可求解．对于cos105°，可进行类似地处理，cos105°＝cos（60°＋45°）．

解：

或

例2. 已知sinα＝ ，α∈（ ，π），cosβ＝－ ，且β是第三象限的角，求cos（α＋β）和 的值．

分析：观察公式C_α＋β与本题已知条件应先计算出cosα，sinβ，再代入公式求值．求cosα，cosβ的值可借助于同角三角函数的平方关系，并注意α，β的取值范围来求解．

解： α∈（ ，π），

又 β是第三象限的角，

，

 

例3.求下列各式的值：

(1)

(2)

(3)

解析：(1)

(2)

(3)

练习：化简求值：

(1)

(2)

(3)cos（36°＋α）cos（α－54°）＋sin（36°＋α）sin（α－54°）．

思考题：已知 都是锐角， ， ，求 的值。

五.课堂小结：两角和与差的余弦、正弦

强调：

(1)熟练掌握 的推导过程，它是本节和下一节所有公式的根源.

(2)熟练掌握公式的正用、逆用和变形应用.

(3)三角函数中一定要注意观察角度之间的关系.

六.作业：习题3

七.课后反思：公式 在α，β，α－β为任意角的证明是难点，从教学效果来看，学生对此掌握的不是很到位；这节课的重点是公式的应用，教学效果比较理想。