双曲线及其标准方程(1)的教学设计

 西安市第六十四中学    王婉妮

 教材分析

   圆锥曲线是解析几何中的一个重要内容，本章圆锥曲线分为椭圆、双曲线和抛物线三个部分，三部分在圆锥曲线中的地位相同。本节对双曲线的教学，是在学生对于椭圆基本知识和研究方法已经熟悉基础上进行的，所以讲解时应采用类比的方法让学生自主研究、合作交流等方式得出双曲线的定义、标准方程，最后反思应用。

教学目标：

   1、知识目标：理解和掌握双曲线的定义、标准方程及其求法。

   2、能力目标：掌握双曲线的定义、标准方程及其推导方法，培养学生动手能力，分类讨论、类比的数学思想方法

   3、情感目标：通过对双曲线定义与椭圆定义的比较，是学生认识到比较法是认识事物掌握其实质的一种有效方法。

教学重点：

    双曲线的定义，求双曲线标准方程

教学难点：

    推导双曲线的标准方程

教法：自主探究法

 课前准备：

  教具准备：①全班按6人一组分成7干组，每组准备8K纸一张，拉链一根

②教师准备小木板一块，长拉链一根，图钉两枚

教法准备：在教师的指导下探究学习，通过作图——原理分析——定义——方程推导的探究，深化对双曲线的认识，并注意与椭圆的类比．

教学过程：

 （一） 回顾椭圆， 寻求引领方法

问题1：椭圆的第一定义是什么？椭圆的标准方程是怎么样的？怎么推导而来？

问题2：如何作椭圆？

 （二）动手演示，感受双曲线形成

在椭圆定义中，到两定点的距离之“和”改为到两定点的距离之“差”为定值，则曲线的轨迹又会如何？能否利用手头的工具来演示得到满足这样条件的曲线呢？

（师生共同研究探索作图方案，主要解决如何来实现距离之差为定值）

总结方法：取拉链，拉开一部分，在拉开的一边上取其端点，在另一边的中部位置取一点分别固定在纸上的两

个定点F1和F2处，（注意F1F2的距离要比拉链两点的差要大），把笔尖搭在拉链头M处，随着拉链的拉开或闭

合，笔尖就画出一条曲线．

（学生动手，老师指导，然后在讲台上演示）

（三）剖析特征，提炼双曲线定义

 分析演示结果

拉链在拉开闭拢的过程中，拉开的两边长始终相等，即|MF1|=|MF2|+|F1F2|．动点M变化时，|MF1|与|MF2|在不断变化，但总有|MF1|-|MF2|=|F1F2|，而|F1F2|为定长，所以 点M到两定点F1和F2的距离之差为常数，记为2a，即|MF1|-|MF2|=2a画出来的曲线开口向左边拉链头拉不到F2点，图画不出来

双曲线定义：

（引导学生概括出双曲线的定义）

平面内与两个定点F1、F2的距离的差的绝对值等于常数（小于<</span>|F1F2|）的点轨迹叫做双曲线，这两个定点叫做双曲线的焦点，两焦点的距离叫做双曲线的焦距．

数学简记：

（四）类比椭圆，推导标准方程 推导

回忆椭圆的标准方程的推导步骤，来推导双曲线的标准方程．

 （教师提示步骤，叫一学生上台板演，其余学生自己推导，教师个别指导）

整理修改板演学生的结果：

（讨论：推导的过程是一个等价变形的过程吗？）

 标准方程

①双曲线的标准方程

当焦点在x轴上，中心在原点时，方程形式：

当焦点在y轴上，中心在原点时，方程形式：

②参数a,b,c的关系

  （）     （实轴长）        （焦距）

③与椭圆的对比

(从定义阐述，方程结构特征，a,b,c之间的关系，焦点坐标的判断着手分析相同点和不同点，并用课件表格的形式呈现)

（五）应用解题，巩固知识要点

例1  写出一个双曲线的标准方程，并让同桌写出相应的焦点坐标及a,b,c的值．

（学生自己出题，自己解答，巩固标准方程及其中相应的数量关系，并找出具有代表性的例子用实物投影共同分析解答的结果）

 

例2 已知双曲线的两个焦点坐标分别为F1(-5,0),F2(5,0)，双曲线上一点P到F1，F2的距离的差的绝对值等于6，求双曲线的标准方程.

 

（六）课堂训练

1.“平面内一动点到两定点距离之差为常数”是

“这一动点的轨迹为双曲线”的(   )

A.必要不充分条件   B.充分不必要条件

C.充要条件         D.既不充分又不必要条件

提示：由“这一动点的轨迹为双曲线”能推出“平面内一动点到两定点距离之差为常数”反之不成立.

2.若方程     表示双曲线，则实数k的取值范围是（  ）

A.k<1　　　B.13　　　D.k<1或k>3

（七）对比总结，整合新学知识

1．应用双曲线和椭圆的对比图表，总结整理双曲线定义的要点，标准方程的形式

（八）  板书设计:

                                                                                              

                               双曲线的定义及标准方程

                              

1、 双曲线的定义                            3.例1 解题过程

2、 标准方程的推导                                    4.例2解题过程

  焦点在x轴上

标准方程

焦点在y轴上

标准方程

 

 

 

问题研讨：

本节课设计在教学思想上，以“问题引导，探究交流”为主，兼容讲解、演示、合作等多种方式，力求灵活运用．在教学目标上，以突出解析思想为主，容知识与技能、过程与方法、情感与体验为一体，力求多元价值取向．在多媒体应用上，力求灵活实用，不跟着课件走，使得多媒体真正做到为课堂有效服务．整堂课下来充实流畅，课堂气氛姣好．但也存在几个值得反思和讨论的问题：

1． 让学生动手演示比较费时间，因此在动手之前教师应该把要点准确的分析到位．

2． 在标准方程的推导过程中，讨论推导的过程是否为一个等价变形的过程，比较复杂，学生理解起来不是很清楚，这里存在如何能恰到好处的处理这一问题，有待进一步的思考和探讨.