等值单摆长的计算

　　有些力学题目，所研究的对象到底怎样运动，初看起来比较模糊，但认真对研究对象受力分析，往往可以发现其受力情况和我们熟悉的某一研究对象相同，因而可以用这个研究对象来等效代替它，使问题拨开迷雾。下面几例均为用等效的方法计算等值单摆长。摆动圆弧的圆心到小球重心的距离。

　　例1．如图所示，一半径为R，内表面光滑的半球，球心为O，最低点为A，现有两个半径可以忽略的小球，一置于球心O，一置于距A很近的B点，两小球同时释放，哪一个先到达A点？

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　　解析：
　　有的同学一看题目，认为B靠A很近，草率地就凭直觉得出置于B的小球先到达A点。这些同学对置于B的小球怎样抵达A点，没能找到一个能正确反映它运动过程的模型来代替它。故只能凭直觉瞎猜测，这是不科学的，是极不可靠的。其实我们只要认真对小球B进行受力分析，就会发现它和摆长为R的单摆受力情况完全相同，而且由于B点很靠A，相当于摆角很小，因而可以用一个摆长为R的单摆的简谐振动在四分之一周期内的运动来等效替代这小球从B到A的运动。这里的等值单摆长即为R，故到A的时间为t=http://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/beishida/xia/g1/g1wl/bsdg1wl16.files/image034.gif，显然t>t'，也就是说置于O的小球先到达A。

　　例2．如图所示为一双线摆，它是在一天花板上用两根等长的细线悬挂一小球而构成的，图中α和L均已知，当小球在垂直于纸面的平面内作简谐振动时，其周期为多少？

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　　解析：
　　这个双线摆的摆球受到两条细绳的拉力，其合力在两细绳夹角的平分线上，这个合力可以用一条位于角平分线的摆线受的拉力来等效替代，这条绳子的长L'=Lsinα即为双线摆的等值单摆长。故可知双线摆的振动周期为T'=2πhttp://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/beishida/xia/g1/g1wl/bsdg1wl16.files/image036.gif。

　　例3．如图所示为一平面摆。ABC为一固定直角支架，在B、C处铰链上用两根等长的直杆与其铰接，直杆另一端固定一质量m的摆球，直杆BD=CD=http://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/beishida/xia/g1/g1wl/bsdg1wl16.files/image037.gif，求摆球振动的周期T。

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　　解：
　　图示位置为双线摆平衡位置，D球摆动时BC为转轴，D球的轨迹半径为DE的圆弧，故其等值单摆长http://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/beishida/xia/g1/g1wl/bsdg1wl16.files/image037.gifsinβ。

　　在摆动过程中等效重力加速度，可以将mg分解在ED方向和垂直ED方向，显然F₂垂直于摆动平面不提供回复力，而只有F₁=mgcosα在摆动平面内，与单摆的mg等效。所以g'=gcosα，由此平面摆的周期T=2πhttp://stu.bdchina.com/xinbanziyuan/beishida/xia/g1/g1wl/bsdg1wl16.files/image039.gif。

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