稠密性是我一直难以理解的一个概念，可能是我暂时没有接触到他的应用。新竹交大的某老师说的好，数学定理如果没有example来理解，是很困难。下面是别人的说法。

  拓扑上之所以使用稠密这个词,是因为它确实部分表达了一般意义上的稠密的意思.尤其是在度量拓扑中,稠密的意思和我们平时所说的稠密是基本一致的,就是"处处伸手可及".
  比如我们说"有理点在平面中稠密",是说平面上任意("处处")点,以这点为圆心画一个小圆,这小圆内必有有理点.或者说,里这点任意近("伸手可及")的地方,都有有理点.
  同样你可以把"有理点"换成"蚂蚁",把"平面"换成"桌子".说蚂蚁密布在桌子上,就是说,桌子上所有地方,其附近都有蚂蚁!

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  百科的数学描述：

  在拓扑学及数学的其它相关领域，给定拓扑空间 X 及其子集 A ，如果对于 X 中任一点 x，x 的任一邻域同 A 的交集不为空，则 A 称为在 X 中稠密。直观上，如果 X 中的任一点 x 可以被A中的点很好的逼近，则称 A 在 X 中稠密。（较小的空间在较大的空间中稠密？）

   等价地说，A 在 X 中稠密当且仅当 X 中唯一包含 A 的闭集是 X 自己。或者说，A 的闭包是 X ，又或者 A 的补集的内部是空集。（这个更难理解了，A就是X的本身？A的闭包是X，说明X是闭集？）

  度量空间的稠密集

  在度量空间(E,d)中，也可以定义稠密集为： A 在 E 的一个子集 X 中稠密当且仅当对于 X 中的任一元素 x ，都存在 A 中的一个元素列，其极限是 x 。（A的元素支撑成为X？）

   如果 E 是一个完备的度量空间，那么一列在 E 中稠密的开集 http://upload.wikimedia.org/math/0/9/f/09f736c21f71ce5eb244af4b7f8f2166.png 的交集：http://upload.wikimedia.org/math/c/d/e/cdebd6868f1dce923ab474dcd48560f9.png 仍然在 E 中稠密。这个结论可以由贝尔纲定理直接推出。

  例子

• 每一拓扑空间是其自身的稠密集。
• 有理数域和无理数域是实数域中的稠密集（在通常拓扑意义下）。
• 度量空间M是其完备集γM中的稠密集。