魅力数学：让课堂追寻应有的味道

原创： 苏明强  苏明强魅力数学  2018-03-12

【提示】这是2017年12月在《小学数学教师》杂志上刊发一组（4篇）有关“魅力数学+魅力课堂的”文章之后的另一组文章（2篇），该组文章刊发在《江苏教育》2018年第1期"名师课堂"栏目，大约11000字。本期先分享这一组文章中的第一篇——魅力数学：让课堂追寻应有的味道，下一期分享第二篇文章——魅力课堂：让精彩成为一种常态。如果您认真阅读这组文章，那么您可能需要一些时间，建议您结合自己的教学实践，边思考边阅读。文章阐述了我在小学数学教学与研究的过程中，对小学数学课堂的一种价值追求与美好夙愿，借此机会与大家分享，为了方便大家阅读，在此分享文章的原稿，发表时由于版面所限，个别地方的表述可能有所删减或改动，需要时请阅读最后杂志刊发的文章，欢迎多提宝贵意见和建议，敬请批评指正！

魅力数学：让课堂追寻应有的味道

泉州师范学院   苏明强

摘要：数学是有魅力的，课堂也是有魅力的，魅力数学呼唤魅力课堂，魅力课堂具有思想的味道、思维的味道和思考的味道，教师应该学会从数学思想、数学推理和数学思考的角度，分析教材、设计教学，让数学焕发应有的魅力，让课堂追寻应有的味道，让生命焕发应有的活力。

关键词：魅力数学；魅力课堂；教学主张；核心素养

数学是什么？数学是研究数量关系和空间形式的科学，它是科学的语言和工具。数学是现实世界中数关系和空间形式的一种抽象，它依赖逻辑推理建构知识体系，在现实世界中有着广泛的应用，因此，数学具有一般性、严谨性和应用的广泛性。

数学知识蕴含着丰富的数学思想，数学学习的历程就是培养思维、促进思考和启迪智慧的过程，数学“冰冷”的外表蕴含着丰富的内涵和独特的“魅力”，当知识遗忘了、技能退化了，数学思想、思维方式和思考方法依然在我们的学习、生活和工作中发挥着不可替代的重要作用，这就是数学的魅力之所在。

魅力数学呼唤魅力课堂，那么，魅力课堂是什么味？笔者主张：魅力课堂应该有思想的味道、思维的味道和思考的味道，魅力课堂焕发生命的活力，成就学生的精彩，让学生在数学学习历程中，在掌握知识技能的基础上，感悟数学思想，积累思维经验，启发数学思考，感受数学魅力，激发学习兴趣，逐步学会用数学的眼光观察事物，学会用数学的思维分析问题，学会用数学的语言表达思考，形成和发展数学核心素养。

一、魅力课堂应该有思想的味道

思想是数学的灵魂，数学思想是数学知识和方法在更高层次上的抽象与概括，数学思想是课堂教学的精髓，它将在学生后续学习、未来发展和社会生活中发挥着不可替代的重要作用。《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称“2011版课标”）在课程总目标中明确提出“数学四基”的目标要求，强调数学教学应该让学生获得基础知识和基本技能的同时，感悟数学的基本思想，积累基本活动经验，因此，魅力课堂要有思想的味道。

然而，如何才能让课堂有思想的味道呢？第一，教师要明确数学思想有哪些？一般认为，数学知识的产生离不开抽象，数学知识的发展离不开推理，数学知识的应用离不开建模，因此，抽象思想、推理思想和建模思想是数学的三类基本思想。抽象思想还包括集合思想、分类思想、对应思想、符号表示思想、变中不变思想、极限思想等，推理思想还包括归纳思想、演绎思想、转化思想、类比思想等，建模思想还包括简化思想、量化思想、方程思想、函数思想、优化思想、随机思想、统计思想等。第二，教师要明确数学思想在哪里？数学思想不是游离于数学知识之外，它师蕴涵在数学知识之中，蕴涵在数学知识的形成、发展和应用过程。第三，教师要学会从数学思想的角度分析教材。数学知识是现实世界数量关系和空间形式抽象的结果，数学知识的发展是推理的结果，数学知识的应用依赖的是建模，因此，数学知识的产生过程通常蕴涵着抽象思想，数学知识的发展过程通常蕴含着推理思想，数学知识的应用过程通常蕴涵着建模思想。

下面，以分数的知识为例进行说明。分数的整体知识大致可以分为分数的概念、分数的运算和分数的应用三个主要阶段，我们可以从数学思想的角度去分析教材，深入挖掘分数知识深沉所蕴涵的数学思想，为设计出富有思想味道的数学课奠定重要思想基础。

第一，分数概念的形成过程主要蕴含抽象思想。分数的概念主要包括分数的定义、名称、符号、大小、意义和性质等，当我们从抽象思想的角度分析教学内容时，我们就能更好把握分数知识的本质，分数是一种数，从“量”的角度看，分数和自然数一样，都是量的一种抽象，都是可以数的，分数单位是比“1”小的计数单位，是比“1”小的量的一种抽象，一种分数单位的累加就产生了新的分数；从“关系”的角度看，分数和自然数不同，分数是一个整体中“部分”与“整体”之间的关系的一种抽象，这就是分数与自然数不同的意义。因此，在分数概念的教学中，我们应该渗透抽象思想，让数学课有思想的味道，我们可以充分利用“数线”“图形”等直观图，把“数”——分数的概念与“形”——直观图形紧密结合起来，帮助学生理解分数的定义、大小、意义和性质等，让学生在理解的基础上，掌握分数的概念，同时感悟抽象思想中数形结合思想，感受数学的魅力，学会用数学的眼光观察世界，形成和发展数学核心素养。

第二，分数的运算主要蕴涵推理思想。分数的运算主要包括同分母分数加减法、异分母分数加减法、分数乘法和分数除法等内容，同分母分数加减法的本质是计算分数单位的个数，可以转化为数分数单位的累加，异分母分数加减法问题可以转化成同分母分数加减法问题，整数乘分数的本质是乘法的意义（即几个几），可以把整数乘分数的问题转化成同分母分数加法问题，分数除法运算问题可以转化为分数乘法运算的问题（除以一个数等于乘这个数的倒数）。因此，在分数四则运算的教学中，教师应该明确分数运算的本质和内在的联系，通过巧妙设计教学活动，融入推理思想，让学生获得运算技能的基础上，感悟推理思想中的转化思想，感受数学的奇妙，学会用数学的思维分析问题，形成和发展数学核心素养。

第三，分数的应用过程中主要蕴含建模思想。分数的应用主要包括分数概念的应用和分数运算的应用，在分数概念的应用过程中，由于分数可以表示“量”，因此，在分数概念的应用过程中常常蕴涵建模思想中的量化思想，在分数运算的应用过程中，常常需要归结为相应的运算模型，加法模型、减法模型、乘法模型和除法模型，蕴含着建模思想中的简化思想和优化思想等。因此，在分数应用的教学中，教师应该通过巧妙设计教学活动，让学生提高数学知识的应用技能和解决问题能力的基础上，感悟建模思想，感受数学的魅力，学会用数学的语言解决问题，形成和发展数学核心素养。

二、魅力课堂应该有思维的味道

思维是人脑对事物本质的反应，是探索和发现客观事物内部本质联系与规律的一种高级认知过程。数学是思维的体操，思维是教学的核心，推理是数学的基本思维方式，2011版课标在实施建议中明确指出：推理应贯穿于数学教学的始终，推理能力的形成和提高需要一个长期的、循序渐进的过程，因此，魅力课堂应该有思维的味道。

数学中的推理主要包括合情推理和演绎推理。合情推理是从已有的基本事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比的方式推断结果的一种思维过程，归纳推理和类比推理都是合情推理的重要方式，通过合情推理推断的结果可能是对的，也可能是错的，但是，借助合情推理得到的结论，常常有新的发现，具有创新性。比如，通过以下三个等式的观察：1+2=2+1，2+3=3+2，3+4=4+3，推断出在加法运算中交换两个加数的位置和不变（加法交换律），这是合情推理的结果，这个思维过程就是归纳推理，结论是正确的，如果在此基础上推断减法、乘法和除法也满足交换律，这也是合情推理的结果，这个思维过程是类比推理，结论有的是正确的，有的是错误的，发现了新的运算定律——乘法交换律。

演绎推理是从已有的基本事实出发，按照逻辑推理的法则推断结果的一种思维过程，演绎推理的价值主要在于保持了思维的严谨性和一贯性，通过演绎推理推断的结论是正确的，它能确保结论的正确性，不是推理的内容，而是推理的形式，但是，通过演绎推理不可能有新的发现，缺乏创新性，这是演绎推理的特点。亚里士多德是主张研究演绎推理的第一人，演绎推理的主要方式是三段论，包括大前提——已知的基本事实，小前提——研究的特殊对象，结论——根据已知的基本事实对特殊对象做出推断，比如，三角形内角和180度，直角三角形是三角形，由此推断：直角三角形内角和也是180度，这个思维过程就是演绎推理，其结论正确无疑。欧几里德将亚里士多德的三段论演绎法用于构建数学知识体系，创立了欧几里德几何（欧氏几何），这是一部演绎推理的经典著作，它从为数不多的5个公理出发，推导出几何学的众多定理，创立了一个完整的几何体系。

正因为合情推理和演绎推理两种不同的思维方式，功能不同，各有特点，因此，在数学知识体系的形成或解决问题过程中，两种推理方式相辅相成，常常运用合情推理获得猜想或探索思路，再运用演绎推理证明结论。数学知识主要包括由定义、性质、公式、法则、定律和定理等，一般地，在小学数学中涉及到的性质、公式、法则、定律等数学基本事实，都可以通过合情推理的思维方式得到相应的结论，而这些数学结论的具体应用就是一个从一般结论到特殊对象的演绎推理过程。

那么，如何才能让课堂有思维的味道呢？教师应该学会从数学推理的角度分析教材、设计教学，比如，在《分数基本性质》一课的教学中，教师可以通过三个相同的圆形卡片，分别平均分成2份、4份和8份，分别涂出1份、2份和4份，然后让学生观察发现，涂色部分一样多，由此得出这三个分数一样大1\2=2\4=4\8，在这里传统教学是引导学生从左到右和从右到左分别进行观察，概括出分数的基本性质，这样的教学设计，推理的味道不够。我们可以在得出1\2=2\4=4\8这一基本事实的基础上，分别写出三个等式1\2=2\4,1\2=4\8,2\4=4\8让学生观察等式，通过归纳推理得到初步的猜想（分数的基本性质），再让学生进行举例验证，这样就让学生经历了一个归纳推理的完整过程，这样的教学设计就有比较浓厚的推理的味道。再如，在《平行四边形面积》一课的教学中，教材倡导运用演绎推理得出面积公式S=ah，在公式推导过程中仅用一个平行四边形为例，用长方形面积公式做为已有的基本事实，然后通过平行四边形的“底”与转化而成的长方形的“长”做比较，再用平行四边形的“高”与转化而成的长方形的“宽”做比较，由此推断平行四边形的面积=底×高，这是一个演绎推理的过程。在这里，我们也可以从归纳推理的思维路径设计教学，首先利用透明的方格纸设计出三个不同的平行四边形，列出一张表格，让学生通过数方格和拼方格的方式数出相应平行四边形的面积，把底、高和面积的数据分别填写在表格相应的位置，再引导学生观察这三组数据，从中发现规律并获得初步猜想：平行四边形的面积与底和高的关系，最后让学生在方格纸中再找出一个平行四边形进行验证，这样，就可以让学生经历一个观察操作，发现规律，获得猜想和举例验证的过程，这样的教学设计就更有思维的味道，有效培养了学生的合情推理能力。

因此，我们应该明确思维对于数学学习的重要价值，铭记推理能力的发展应贯穿数学教学的始终，培养学生的数学思维是数学教学的重要任务。在教学中，学会从推理的角度分析教材，通过巧妙设计教学活动，让课堂更有思维的味道，让学生经历合情推理和演绎推理的过程，不断提高学生的数学思维能力。

三、魅力课堂应该有思考的味道

郑毓信教授在《数学教育视角下的“核心素养”》一文中指出：从“数学核心素养”的角度提出判断一堂数学课的成功与否的基本标准：无论教学中采取了什么样的教学方法或模式，应更加关注自己的教学是否真正促进了学生更为积极地去进行思考，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理。与此相对照，这显然又正是当前应当努力纠正的一个现象，即学生一直在做，一直在算，一直在动手，但就是不想！这样的现象无论如何不应再继续了！

在这里，我们可以看出思考对于数学课的重要性和严峻性，也可以意识到当前数学课堂存在的普遍问题。数学思考是运用数学的方式思考问题，它与问题解决共同构成数学课程的过程目标，2011年版课标强调数学教学应该结果目标和过程目标并重，同时指出：创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程中，独立思考、学会思考是创新的核心，因此，魅力课堂应该有思考的味道。

那么，如何才能更为有效启发学生进行数学思考，让课堂有思考的味道呢？问题是数学的心脏，是驱动数学思考的重要载体，因此，教学时，教师应该学会从问题的角度分析教材，梳理知识脉络，重构教学的逻辑路径，从教学内容中提炼出一个核心问题，设计一些富有逻辑性或关联性的问题串，以核心问题为统领，以问题串为线索，驱动数学思考，引导学生由浅入深进行思考，独立思考，学会思考，逐步推进数学学习的进程，让学生在问题解决过程中，掌握基础知识，获得基本技能，经历一个不断思考的过程，并能逐步学会想得更清晰、更全面、更深刻、更合理，感悟数学基本思想，积累思维活动经验。

下面，以《分数的初步认识》一课为例进行说明，分数的初步认识是一节经典概念课，传统概念课的教学，“听讲”的味道很浓，“思考”的味道很淡，那么，如何让数学概念课的教学有思考的味道？教师应该学会从数学思考和问题解决的角度深入分析教材，提炼出一个核心问题，设计出一串富有启发性和引导性的问题串，通过精心设计教学活动，让概念的学习在问题解决中得以实现，润物细无声，让课堂活起来了，让思考火起来！

从本质上看，分数是一种数，分数的第一层含义是量的抽象结果，它和自然数一样表示事物的量，分数初步认识先认识分数单位，分数单位是比1小的量的一种抽象，因此，我们可以让学生在原有自然数认识的基础上，借组数线，先找到0、1、2、3的“家”（位置），然后让学生观察数线，并提出本节课的核心问题：0和1之间“有没有”其他数？这样的问题显得很神秘，富有启发性，学生未曾想过，普遍感到好奇，这样不仅能够有效驱动学生的思考，而且可以引领分数概念的学习。接着，设计一系列的问题串：如果有，那又是什么？它们都住在哪里？分数的概念学习之后，再次提出问题：你还有其他问题吗？这样，通过设计“有没有”“是什么”“在哪里”“还有吗”一系列富有启发性和引导性的问题，从本质上驱动了学生的数学思考，不仅巧妙地把分数概念的学习置于数学思考和问题解决之中，让学生在数学思考过程中体会到思维的乐趣，而且在这个学习过程中，学生往往还能够有新的发现，引发了新的思考，提出：二分之一和四分之一之间还有分数吗？0和1之间有多少个分数？1到底能撑多久？1的位置上有分数吗？1的右边还有分数吗？0的左边还有分数吗？

这样的课堂，概念的学习完了，数学的思维活了，“听讲”的味道淡了，“思考”的味道浓了，提出的问题多了，课堂的氛围好了，孩子的脸上笑了，少了许多冰冷“听讲”，多了几分火热“思考”，这就是富有思考味道的课堂，绽放了生命的活力，成就了学生的精彩！

 

参考文献：

[1]苏明强，黄志强，小学数学常见的数学思想及其教学启示[J],福建教育,2015（10）:46-48.

[2]苏明强，让课堂焕发数学应有的魅力[J],江西教育,2014（10）:22-29.

[3]苏明强，引领名师工作室成员专业成长的基本策略[J],小学教学研究,2016（11）:4-6.

[4]郑毓信，数学教育视角下的“核心素养”[J],数学教育学报,2016(3):1-5.

[5]苏明强，提炼核心问题启发数学思考[J]，福建教育，2017（1-2）：87-89.

[6]苏明强，核心素养视野下的小学数学教学[J]，教育视界，2016（12）：4-6.

【杂志文稿】

【相关链接】

1.让课堂焕发数学应有的魅力       http://mp.weixin.qq.com/s/mfEWb6k8DQwhqOpKz6KhYg

2.魅力课堂：让数学焕发应有的魅力

 http://mp.weixin.qq.com/s/zoKyqMZS99fc1YN03_pEYA

3.魅力课堂：让学生的思考更精彩

 http://mp.weixin.qq.com/s/h0r2xe_tzwUiy3QBuAuutA

4.魅力课堂：发展学生的核心素养

http://mp.weixin.qq.com/s/Pi5kjz-oYsaCT91zHZvWLg

【温馨提示】如果您对这类文章和教学思考感兴趣，请长按以下二维码进行识别即可进入苏明强梦想数学微信公众号，查看历史消息，有更多的内容。