燕尾定理

燕尾定理：在三角形ABC中，AD，BE，CF相交于同一点O，有

S△AOB∶S△AOC=BD∶CD

S△AOB∶S△COB=AE∶CE

S△BOC∶S△AOC=BF∶AF

因此图类似燕尾而得名。是五大模型之一，

是一个关于平面三角形的定理，俗称燕尾定理。

典型例题

1、如图三角形ABC的面积是10平方厘米，

AE=ED，  BD=2DC，

则阴影部分的面积是_____平方厘米．

解析:过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等，所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积，即三角形AFB的面积，由DM‖BF知道△DMC相似△CBF  所以CM：CF=CD：CB=1：3，即FM=2 3 CF，因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，所以AF=2 5 AC，由此即可求出三角形AFB的面积，即阴影部分的面积

解：过D作DM‖BF交AC于M（如图）因为BD=2DC，

因为AE=DE，所以△ABE的面积与△DBE的面积相等

所以阴影部分的面积为△DBE的面积+△AEF的面积

DM‖BF所以△DMC相似△CBF  所以CM：CF=CD：CB=1：3

即FM=2 3 CF 

因为EF是△ADM的中位线，AF=MF，

所以AF=2 5 AC 

所以△ABF的面积10×2 5 =4（平方厘米）

即阴影部分的面积（即△DBE的面积加△AEF的面积）等于4平方厘米

答：阴影部分的面积是4平方厘米，

练习

1.  如图三角形ABC的面积是10平方厘米，AE=ED，BD=2DC，则阴影部分的面积是_____平方厘米．

2.  如图所示，在△ABC中，CP=1 2 CB，CQ=1 3 CA，BQ与AP相交于点X，若△ABC的面积为6，

则△ABX的面积等于_____．

3、对角线把梯形ABCD分成四个三角形，已知两个三角形的面积分别是5和20，求梯形ABCD的面积是多少？

几何之蝴蝶定理

                        

一、 基本知识点

定理1：同一三角形中，两个三角形的高相等，则面积之比 等于对应底边之比。S1 : S2 = a : b

定理2：等分点结论( 鸟头定理) 5420=´如图，三角形△AED的面积占三角形△ABC的面积的 313

定理3：任意四边形中的比例关系( 蝴蝶定理)

1） S1∶S2 =S4∶S3 或 S1×S3 = S2×S4

上、下部分的面积之积等于左、右部分的面积之积

2）AO∶OC = （S1＋S2）∶（S4＋S3）

梯形中的比例关系( 梯形蝴蝶定理)

1）S1∶S3 =a²∶b²上、下部分的面积比等于上、下边的平方比

2）左、右部分的面积相等

3）S1∶S3∶S2∶S4 = a²∶b² ∶ab∶ab

4）S的对应份数为（a+b）2

定理4：相似三角形性质

1） abch   ABCH

2） S1 ∶S2 = a2 ∶A2

定理5：燕尾定理

S△ABG ∶ S△AGC = S△BGE ∶ S△GEC = BE∶EC

S△BGA ∶ S△BGC = S△AGF ∶ S△GFC = AF∶FC

S△AGC ∶ S△BCG = S△ADG ∶ S△DGB = AD∶DB

 

 

 

 

二、 例题

例1、如图，ADDB,AEEFFC，已知阴影部分面积为5平方厘米，ABC的面积是多少平方厘米？

例2、有一个三角形ABC的面积为1，如图，且ADCA，求234=BC，CF=A111AB，BED

例3、如图，在三角形ABC中，，D为BC的中点，上的一点，且BE=BEFCE为AB三角1AB,已知四边形EDCA的面积是35，求3形ABC的面积.

例4、例1 如图，ABCD是直角梯形，求阴影部分的面积和。（单位：厘米）

例5、两条对角线把梯形ABCD分割成四个三角形。已知两个三角形的面积（如图所示），求另两个三角形的面积各是多少？（单位：平方厘米）

例6、如下图，图中BO=2DO，阴影部分的面积是4平方厘米，求梯形ABCD的面积是多少平方厘米？

例7、（小数报竞赛活动试题）

如图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，△AOB

面积为1平方千米，△BOC面积为2平方千米，△COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？

例8、如图：在梯形ABCD中，三角形AOD的面积为9平方厘米，三角形BOC的面积为25平方厘米，求梯形ABCD的面积。

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A

9O25

B

D

C

例9、（2003北京市第十九届小学生“迎春杯”数学竞赛）

四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O（如图）所示。 如果三角形ABD的面积等于三角形BCD的面积的

1

，且 3

3，那么CO的长度是DO的长度的_________倍。=2，DO=AO

例10、左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知

2

两块阴影部分的面积和比△EFG的面积大10cm，求CF的长。

例11、长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，

H

为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？

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例12、如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部

分的面积。

例13、如图，大正方形ABCD的边长为6，依以下条件求三角形BDF的面积。

例14、（右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？

ADG的面积比D例15、如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且

ABC的面积是多少平方厘米DEFG的面积大6平方厘米。D?

A

FG

B

D

E

C

三、 练习题

1、如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积

=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？

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2、如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，△DEF的面积是4 cm，△CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？

2

2

3、如右图BE=

11

BC，CD=AC，那么三角形AED的面积是三角形ABC面积的______. 34

A

D

B

C

E

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5、如图所示，已知ABCD是长方形，AE : ED = CF : FD = 1 : 2，三角形DEF的面积是16平方厘米，求三角形ABE的面积是多少平方厘米？

6、 如右图，ABCD是梯形，ABED是平行四边形，己知三角面积如下图所示(单位：平方

厘米)，阴影部分的面积是多少平方厘米。

7、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？

ABC的面积是D12cm，=AC=ABC中，ABD8、 已知

=y+AB,AC的距离是x,y，那么x

cm2，P是BC上任意一点，P到

B

9、如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。