矩形背景下的折叠问题

水头二中  谢芬芬

【教学目标】

1、 认知折叠的本质是轴对称变换，折痕即对称轴；

2、 利用两个图形成轴对称的性质解决某些线段的长度；

3、 发现并会应用折叠变化中“不变的量”，如图形中线段的长短不变，图形中角的大小不变，结合矩形的内角为直角的性质，利用勾股定理求某些线段的长.

【教学重点】

分析折叠过程中图形的位置关系、线段之间的数量关系、应用直角三角形的勾股定理来解决线段长度.

【教学难点】

应用轴对称的性质挖掘折叠问题中线段不变的数量关系.

【教学过程】

问题1：如图，在矩形ABCD中，AB=10，BC=6，P为AD边上一点，将ABP沿BP折叠，使点A落在点E处，若点E在边CD上，求AP的长.

思考：在折叠过程中你能得到什么结论？

总结1：折叠的本质就是轴对称变换，可推出全等三角形，折痕就是对称轴，折叠前后的对应点关于折痕对称.

总结２：关于线段长度的计算经常会放在直角三角形中利用勾股定理加以考虑，并且运用方程思想来解决．

变式：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD边上一点，将ABP沿BP折叠，使点A落在点E处，若点E在对角线BD上，求AP的长.

方法一：在RtDPE中，由勾股定理列方程可求出AP.

【设计意图】此题通过折叠中，折叠后点落在边上让学生体验折叠前后的两个图形是全等的，理解折叠的本质就是轴对称变换.同时在凸显图形之间的内在联系的过程中，感悟勾股定理、方程思想、整体思想、在解决几何问题中的应用。

问题2：如图，在矩形纸片ABCD中,AB=8,BC=6将ABD沿对角线BD折叠,使点A落在点E处,BE与CD交于点O，求OE的长

变式：如图，在矩形ABCD中，AB=8，BC=6，P为AD边上一点，将ABP沿BP折叠，使点A落在点E处，若点E在边CD的上方，PE与CD相交于点O，OE=OD,求AP的长.

思考1：与问题2相比，图形发生了什么变化？

思考2：根据OE=OD，你能推出什么结论？

思考3：求如果设AP=x,你能得到哪些线段的长？

思考4：根据图形特点，你会考虑找到哪个直角三角形根据勾股定理求解。

【设计意图】从问题1到问题2，让学生经历以过一顶点所在的直线为折叠线到对角线为折叠线，并且通过变式，从折叠后的落点在边上到在对角线上，再到矩形外，观察数量及数量间的关系，图形及图形间的关系，以及数量和图形间的关系，通过一题多变的形式寻找矩形折叠中的本质和共性。在问题解决过程中以寻找线段的等量关系、渗透方程思想为主线，利用勾股定理、三角形面积法列方程求解，让学生养成多角度分析问题和解决问题的能力。