一．墨家逻辑研究述要

在中国逻辑视域下，墨家逻辑即辩学。詹剑锋指出：“墨子是中国逻辑之父，亚里士多德的工具论和墨子的辩学都是思维的规范，……辩学就是研究思维过程的法则和认识客观现实的思维方法的科学。”（[1]，第247页）他认为，《墨子•小取》篇可视为逻辑纲要：
   

“夫辩者，将以明是非之分，审治乱之纪，明异同之处，察名实之理，处利害，决嫌疑。焉（训乃——原注）摹略万物之然，论求群言之比。以名举实，以辞舒意，以说出故。以类取，以类予。有诸己不非诸人，无诸己不求诸人。”

 “开头六项，说明为什么‘辩’，中间七项，说明怎样立辩，最后两项，说明辩者应守的准则。”其中，“为什么‘辩’”，亦即“逻辑的首要任务即在明同异之处”； “怎样立辩”，亦即推理的法式，则在“以类取，以类予。”（[1]，第110-112页）
   

“以类取”即从类中抽取，“以类予”即以类来推断，詹剑锋概括为“以类相推”——“即就事物之类以求其关系而推断之。”（[1]，第116-117页）

董志铁梳理并论证了墨家的辩学体系，他认为：“中国古代名辩学中的‘说’相当于传统逻辑中的推理。……对于‘说’的本质给出明确定义性的说明的是后期墨家和荀子。”（[2]，第181-182页）董先生征引了中国古代名辩学对于“说”的种种表述：

“以往知来、以见知隐”。（《墨子•非攻中》）

“以近知远，以一知万，以微知明”。（《荀子•非相》）

以上两例都是通过分析解剖个别事物，进行归纳概括，而得出普遍性的知识，是典型的归纳推理方法。

“以人度人，以情度情，以类度类，以说度功，以道观尽，古今一也。类不悖，虽久同理。故向乎邪曲而不迷，观乎杂物而不惑，以此度之。”（《荀子•非相》）

上述引文中，“以人度人，以情度情，以类度类”是从一般到个别的推理，具有演绎的性质。所谓“以类度类”，指“凡同类的事物，必定有某些相同的性质，有某些相同的状况。人们一旦认识了、掌握了同类事物共同具有的性质、状况或道理，就能以此作为根据去推论、测度同类的个别事物。”（[2]，第189页）

“未尝灼而不敢握火者，见其有所烧也。未尝伤而不敢握刃者，见其有所害也。由此观之，见者可以论未发也。”（《淮南子•汜论训》）

此例中，《淮南子》对“说”即推理理论的表述最为明确无误：“见者可以论未发”是对《墨子•经说上》的“方不彰，说也”的诠释——“把蕴涵在前提中不显露的东西揭示、显现出来的过程既是说。”（[2]，第190页）而“说”的基础是“类”。

董志铁认为，类概念是墨家逻辑的核心。墨家逻辑揭示了类的本质——“有以同，类同也”（《墨子•经说上》）；提出了“推类”的程序——“明故”“察类”“知类”进而才能“推类”；规定了“推类”的原则——“以类取，以类予”、“异类不比”。
   

崔清田用历史分析和文化诠释的方法，系统地比较论证了墨家逻辑与亚里士多德逻辑形成的文化背景，他首先证成了中国古代逻辑的主导类型是“推类” 。他指出，“推类有普通逻辑类比推理的性质。……推类是以两个或两种事物共同具有某些类同属性为依据，推出它们共有其他属性的推理；推类是由个别或特殊进到个别和特殊的推理；推类没有也无法确证前提中类同属性和结论中推出属性之间有必然性联系，前提与结论的联系只具有或然性，属或然性推理。” （[3]，第109-110页）崔先生不但明确界定了“推类”在人文科学领域的逻辑性质是类比推理，而且对这种“推类”推理的程序进行了描述：

事物A与事物B有属性P1，P2……，Pn；

A有属性Q；

所以，B也有属性Q。（[3]，第109页）

孙中原倡导“用现代语言和逻辑工具，全面分析墨辩的特殊性和普遍性”，这样“有助于认识中国逻辑的民族特色及其逻辑的普遍性和中西逻辑的差异性与同一性。”（[4]，第10页）对于中国逻辑的性质，孙中原先生以墨家逻辑为例指出，墨辩以辩、名、辞、说为主要范畴，构成体系，有相当于西方逻辑概念论、命题论、推理论、论证学说、思维规律论和谬误论的内容。墨家逻辑和西方传统逻辑一样，是求真的工具。他认为，《墨经•小取》篇中“夫辩者，将以明是非之分”，肯定了墨家辩学是区分真理和谬误的工具，这一观点贯穿墨家逻辑的全部。

综上所述，墨家逻辑有以下基本特征：

1.墨家逻辑的核心概念是：“类”。

2.墨家逻辑的核心范畴是：“名”——概念；“辞”——判断；“说”——推理。
   

3.墨家逻辑的推理机制是：“推类”。
 

4.墨家逻辑的推理程序是：通过“明类”、“察类”、“知类”，而厘清事物间的“同异之处”，进而在前提“类同”的基础上，进行“推类”得出结论。

5.墨家逻辑的推理原则是：“以类取，以类予”、“异类不比”。

二．刘徽《九章算术注》对墨家逻辑的继承与发展

刘徽的逻辑思想和墨家逻辑的联系，是多方面的，笔者试举两例，以兹证明。

（一）墨家的时空观与刘徽的“无限”思想

墨家逻辑十分重视“名”——概念，而概念的准确与否，首在定义逻辑方法的科学性、严谨性。《墨子•经上》篇中，就汇集了各类数学概念的定义，如：圆、方、平、直、厚、始、端、间、次、仳、盈、损、体、穷、倍等，“从而使中国古代的数学发展第一次上升到了理论的高度。”[5] 刘徽继承并发展了墨家逻辑的科学定义方法，重视“审辨名分”（《九章算术注》卷二）。据周翰光统计，刘徽在《九章算术注》中，“至少对二十多个数学概念直接给出了明确的定义, 其中包括：幂、齐、同、率（以上见卷一）；列衰（卷三）；立方、立圆、开平方、开立方（以上见卷四）；壤、坚、墟、阳马、堑堵、鳖繻（以上见卷五）；方程,、正负（以上见卷八）；勾、股、弦（以上见卷九）等等。”[5] 其中，从概念“端”的定义到刘徽的“无限”思想，是最能反映两者继承与发展关系的概念定义。

李继闵认为，时间元的“始”和空间元的“端”，构成了墨家无限而连续的的宇宙观。（[6]，第38页）《墨经》中的“始”、“端”概念定义，详尽而明确，下面分述之。

1、“始”概念剖析
 

“始，当时也。”（《墨子•经上》）
 

“始：时，或有久，或无久；始，当无久。”（《墨子•经说上》）
“

始”是墨家的时间元概念， “‘有久’的时是时间，‘ 无久’的时是瞬间。‘始’是‘无久’的瞬间。”（[7]，第19页）钱宝琮的诂解十分符合墨经的语境，“始” 即时间开始的瞬间。“有久”、“无久”准确体现了墨家的有限与无限对立统一时间观。

2、“端”概念剖析

端，体之无厚而最前者也。（《墨子•经上》）

端，是无间也。（《墨子•经说上》）

间，不及旁也。（《墨子•经上》）

间，谓夹者也。尺前于区而后于端，不夹于端与区内。及：非齐及之及也。（《墨子•经说上》）

《墨经》定义了一系列与空间相关的概念，如：“端”——点；“尺”——线；“区”——面；“体”——部分；“兼”——整体。其中，“端”是最原始的空间元素。邹大海引证多位学者的诂解，说：“《墨经》这里的‘无厚’是没有大小、广狭、厚薄的意思。此条经文的意思是‘端’是（一物各部分中）在边缘（最前）且没有量度（或曰量度为零）的那个部分 。至于经说，若按梁启超的校勘，意思是‘端’是没有中间间隙，不能分割的。”[8]

非半弗斱，则不动；说在端。（《墨子•经下》）

非：斱半，进前取也。前，则中无为半，犹端也。前后取，则端中也。斱必半；毋与非半，不可斱也。（《墨子•经说下》）

承前解，“端”既然“无厚”、“无间”，没有度量可言，当然不可能有“半”，所以也就不可能再截其一半。“非半弗斱”强调“端”无“半”；“ 斱必半”强调可再次“斱半”的必非“端”。两者意思殊途同归，都是说：“端”是不可再分割的。
 

综上所述，“始”是时间中不可再分割的最小单位；“端”是空间中不可再分割的最小单位。时间元概念“始”和空间元概念“端”，一起构建了墨家逻辑的时空观念：时空是“有限”和“无限”的辨证统一——在无限中包含着有限，在连续中包含着不连续；局部的有限构成了整体的无限。

刘徽证明圆面积公式的“割圆术”，最能体现他的“无限”思想。李继闵对此给予了高度评价：“刘徽‘圆田术注’，无论在圆面积公式的论证，还是在圆周率的计算方面，都是划时代的成就。”（[6]，第249页）我们从刘徽的《九章算术》“圆田术注”文字中，可以清晰梳理出他的“无限”思想及其与墨家时空观的内在联系。

《九章算术》“圆田术”及刘徽注有关文字：

圆田术曰：半周半径相乘得积部。

徽注云：按半周为从，半径为广，故广从相乘为积部也。假令圆径二尺，圆中容六觚之一面，与圆径之半，其数均等。合径率一而外周率三也。

又按为图，以六觚之一面乘半径，因而三之，得十二觚之幂。若又割之，次以十二觚之一面乘半径，因而六之，则得二十四觚之幂。割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。觚面之外，犹有余径。以面乘余径，则幂出觚表。若夫觚之细者，与圆合体，则表无余径。表无余径，则幂不外出矣。以一面乘半径,觚而裁之,每辄自倍。故以半周乘半径为圆幂。此以周径,谓至然之数,非周三径一之率也。周三者从其六觚之环耳。以推圆规多少之较,乃弓之与弦也。然世传此法，莫肯精核。学者蹱古，习其缪失。不有明据，辨之斯难。凡物类形象，不圆则方。方圆之率，诚著于近，则虽远可知也。由此言之，其用博矣。谨按图验，更造密率。恐空设法，数昧而难譬。故置诸检括，谨祥其记注焉。

“圆田术注”详细记录了刘徽对圆面积计算公式：“半周半径相乘得积部”的证明。其基本原理是“割圆术”—— “割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体，而无所失矣。”即通过增加圆内接正多边形的边数，使圆内接正多边形无限接近于和圆重合，从而把圆面积计算，转化为正多边形面积计算。这种从“有限”量入手，趋向“无限”量计算的思想，正是墨家辩证统一时空观的具体实践。

刘徽的“割圆术”使中国古代数学从思想高度上，实现了从“有限”到“无限”的一大跨越。邹大海指出：“墨家‘非半弗斱’的命题，认为分割的不断进行最后得到一个“端”，而“端”是没有大小、量度为零、但又不是什么都没有的东西。由于刘徽要考虑的是分割到最后所得到的东西的体积，所以，从他受墨家思想的影响看，刘徽把那个最后得到的东西弃而不取(实际上只是不取其体积)，不存在什么观念上的困难。”[9] 换言之，刘徽的“割之又割，以至于不可割，”和墨家的“非半弗斱”，在语用上是完全等值的。

李继闵用现代数学逻辑分析方法，论证了刘徽“割圆术”的理论严谨性。他把“割圆术”归纳为八个要点，摘录如下：（1）割圆为“觚幂”与“所失”两部分；……（5）当分割无限细密时，余径退缩为一个点，d=0，同时，觚面与圆周相合；（6）当分割无限细密时，……差幂变为零，……所失为零，……（7）当分割无限细密时，……觚幂展开为一个长为半圆周C/2、宽为半径R的长方形；（8）由于（1）、（6）及（7），推知：“圆的面积与一个长为半周、宽为半径的长方形面积相等。”随后，李继闵又通过应用现代数学解析式、求极限的方法，论证了刘徽“割圆术”原始依据——其一，“以至于不可割”时“表无余径”；其二，“（觚面）与圆合体。” ——的正确性。（[6]，第249-258页）

通过对墨家的时空观念和对刘徽“割圆术”原理的比较研究，我们可以清晰地看出两者之间的渊源——从有限到无限的思想飞跃和从有限到无限的实践成果。

（二）“推类”推理的原则——从“类同”到“不失本率”

墨家逻辑是基于事物间“类同”关系的“推类”推理，从其推理的思维进程方向上分析，“推类”推理在不同的论域中，分别体现出演绎推理、归纳推理、类比推理的性质，而不完全同于现代意义上的“类比”推理。这从“以类取、以类予”的推类原则就可以说明：以“类”概念作为核心的“推类”推理，在形式上是类比推理；在方法上，既包含了从具体事物中提取一般原理“以类取”的归纳推理，也包含了把一般原理推广到该类其他事物“以类予”的演绎推理。

“推类”推理的前提是“明类”：“夫辞以类行者也，立辞而不明于其类, 则必困矣。”（《墨经•大取》）。“推类”推理的目的是：“在诸其所然未者然，说在于是推之”；“推也者，以其所不取者同于其所取者抒之也”（《墨经•小取》）， 即“推类”就是从已知事物到未知事物的推理过程。而事物间之所以可“推”——“以说出故”，在于“一法者之相与出尽类”（《墨经•经下》），郑杰文归纳为“同法者必定同类”：“法是‘所若而然’，‘故’是‘物之所以然’，将两者结合起来，可见故与法的关系，一类的法即是一类所以然的故。”（[10]，第390页）总之，“推类”推理是在“法”的原则下寻“类同”，进而以“类同”为前提“推类”出结论。

从刘徽《九章算术注》文本来看，很显然，刘徽是熟知并推崇墨家的。他在为《九章算术》卷三“衰分”第一问作注时，直接引用了《墨经•号令篇》“以爵级为赐”，作为“衰分”的最初含义。所谓“以爵次分之”，就是按照秦汉时期所规定的爵位等级数，递减比例分配。刘徽在《九章算术注》序中写到：

昔在包牺氏始画八卦，以通神明之德，以类万物之情，作九九之术以合六爻之变。……记称隶首作数，其详未之闻也。按周公制礼而有九数，九数之流，则九章是矣。……徽幼习九章，长再详览。观阴阳之割裂，总算术之根源，探赜之暇，遂悟其意。是以敢竭顽鲁，采其所见，为之作注。事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。又所析理以辞，解体用图，庶亦约而能周，通而不黩，览之者思过半矣。且算在六艺，古者以宾兴贤能，教习国子。虽曰九数，其能穷纤入微，探测无方。至于以法相传，亦犹规矩度量可得而共，非特难为也。……徽寻九数有重差之名，原其指趣乃所以施于此也。凡望极高、测绝深而兼知其远者必用重差，句股则必以重差为率，故曰重差也。……度高者重表，测深者累矩，孤离者三望，离而又旁求者四望。触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入。博物君子，详而览焉。

剖析序文，我们可以得到以下信息：

其一，所谓“九章”，即“九数”，也就是“九类”问题。

其二，“事类相推，各有攸归，故枝条虽分而同本干者，知发其一端而已。”刘徽注释和论证的逻辑方法是“推类”——同类相推。

其三，“析理以辞”。“辞”即墨家逻辑“名”“辞”“说”之“辞”； “理”即墨家逻辑“故”“理”“类”之“理”。“析理以辞”就是通过“明类”、“ 立辞”，进行“推类”推理。

其四，“触类而长之，则虽幽遐诡伏，靡所不入”，即按照“推类”的逻辑方法，即使如“勾股章”所述的需要“三望”、“四望”的难题，亦“靡所不入”。
   

“刘注”序言为我们展示了刘徽解题的逻辑思路。在实际应用中，他把数之间的“类同”关系，升华为“率”概念，并在坚持“不失本率”原则之下，熟练运用“齐同”原理，通过“推类”推理求解。程序如下：

1. “广施诸率”：即“明类”。刘徽给出了“率”概念的严格的定义：“凡数相与者谓之率。率者，自相与通。有分可散，分重叠则约。等除法实，相与率也。”（“经分术”刘注）显然，“率”是一组保持恒定比值分数。“等除法实”即分子分母除以相同的数。所以，“凡九数以为篇名，可以广施诸率。”就是要求解题时，首先要确定所求问题归属于“九数”的哪一类别。“明类”是“推类”之前提。

2.“不失本率”原则：“其相与之势不失本率也。”（“勾中容方术”刘注）即具有“率”关系的数，可在“不失本率”原则下，进行恒等变换。

3.“齐同”原理：“凡母互乘谓之齐，群母相乘谓之同。同者，相与通共一母也。齐者，子与母齐，势不失本数也。”（“齐同术”刘注）即变“异类”为“同类”的恒等变换方法。“乘以散之，约以聚之，齐同以通之，此其算之纲纪乎!” （“合分术”刘注），把基于“率”概念的“齐同”原理，视为“算之纲纪”。

自此，“凡九数以为篇名，”在“明类”之后，就可以在“不失本率”原则之下，通过“齐同”原理，求出答案。

笔者已经通过实证分析，严格证明了《九章算术》“勾股篇”中的“测量术”，都是符合“在同时、同地、同一个人进行的同种测量条件下，物影比例为定值”的 “率”关系。无论是简单的测量，还是需要用“重差”的复杂测量，都可以通过选择特定的“率”关系，在“不失本率”原则之下，通过“齐同”原理——恒等变换，求得答案。（[11]，第150-158页）

三．结论

《九章算术》刘徽注继承并发展了墨家逻辑“推类”推理理论，将之广泛应用于“九类”应用数学题的注释和论证中，丰富了中国古代逻辑的理论体系，扩大了中国古代逻辑的应用领域，使得之前主要应用于人文科学领域的“推类”推理，在科学技术领域大放异彩。“刘注”建构的这种具有“必然地得出”性质的“科技推类”（[11]，第146页）推理范式，既是对墨家逻辑“人文推类”（[11]，第146页）推理的继承，更是对墨家逻辑推理有效性的质的发展。

注释：

1.自引《墨经》原文均出自：孙诒让，墨子间诂[M]，上海：上海书店，1992年。

2．《九章算术》及“刘注”原文引自：刘徽，九章算术注[A]，中国历代算学集成(靖玉树编勘) [M]，济南：山东人民出版社，1994年。

参考文献：

[1] 詹剑锋，墨子及墨家研究[M]，武汉：华中师范大学出版社，2007年。

[2] 董志铁，名辨艺术与思维逻辑（修订版）[M]，北京：中国广播电视出版社，2007年。

[3] 崔清田，墨家逻辑与亚里士多德逻辑比较研究[M]，北京：人民出版社，2004年。

[4] 孙中原，中国逻辑研究[M]，北京：商务印书馆，2006年。

[5] 周瀚光，刘徽的思想与墨学的兴衰[J]，自然辩证法通讯，1984（10）：36-40。

[6] 李继闵，《九章算术》及其刘徽注研究[M]，西安：陕西人民教育出版社，1990年。

[7] 钱宝琮主编，中国数学史[M]，北京：科学出版社，1981年。

[8] 邹大海，墨家和名家的不可分量思想与运动观[J]，汉学硏究，2001（6）：47-75。

[9] 邹大海，刘徽的无限思想及其解释[J]，自然科学史研究，1995（1）：12-21。

[10] 郑杰文，中国墨学通史[M]，北京：人民出版社，2006年。

[11] 杨岗营，逻辑观念演变研究[D]，天津：南开大学，2009年。