题目：输入一个点列，顺次连接成一个封闭多边形，计算多边形的面积

分析：方法一，计算面积可以考虑定积分的形式，定积分有正有负，顺次求和，重复部分相互抵消，最后剩下的总面积的绝对值就是多边形的面积。

从线性积分后的结果可以容易的看出，直线段的积分实际上就是求该直线段与x轴所围成的区域的梯形的面积Int(P1, P2) = Int(k*x + b, P1.x, P2.x) = 0.5 * (P2.x - P1.x) * (P2.y + P1.y), 斜率k = (P1.y - P2.y) / (P1.x - P2.x)，截距b = P1.y - k*P1.x；

算法的复杂度为：O(N)，N为顶点的个数。

[cpp code]
struct Point {
float x, y;
};
float LinearIntegration(const Point &p1, const Point &p2) {
return 0.5 * (p2.x - p1.x) * (p2.y + p1.y);
}
float ComputePolygonArea(const Point points[], int N) {
if (points == NULL || N <= 0) return 0.0;
float area = 0.0;
for (int i = 0; i < N - 1; ++ i) {
area += LinearIntegration(points[i], points[i + 1]);
}
area += LinearIntegration(points[N - 1], points[0]);
return area >= 0.0 ? area : -area;
}

方法二，考虑到平面上知道三角形三个顶点的坐标可以运用行列式det直接求解三角形的面积。如P1(x1,y1)，P2(x2,y2)，P3(x3,y3)，则

S(P1, P2, P3) = det[ x1 y1 1; x2 y2 1; x3 y3 1] * 0.5 = [(x2 - x1) * (y3 - y1) - (x3 - x1) * (y2 - y1)] * 0.5;

可以在多边形的平面中任意的找到一个点，与多边形的每条边形成有向三角形，并顺次求取有向三角形的面积，再加和，因为是有向面积同上述定积分类似，面积有正有负可抵消重复部分，剩下的面积的绝对值即为多边形的面积。

[cpp code]
struct Point {
float x, y;
Point() {x = 0.0; y = 0.0;}
Point(float _x, float _y) {x = _x; y = _y;}
};
float ComputeTriangleArea(const Point &p1, const Point &p2, const Point &p3) {
return 0.5 * ((p2.x - p1.x) * (p3.y - p1.y) - (p3.x - p1.x) * (p2.y - p1.y));
}
float ComputePolygonAreaTri(const Point points[], int N) {
if (points == NULL || N <= 0) return 0.0;
Point p0(0.0, 0.0);
float area = 0.0;
for (int i = 0; i < N - 1; ++ i) {
area += ComputeTriangleArea(p0, points[i], points[i + 1]);
}
area += ComputeTriangleArea(p0, points[N - 1], points[0]);
return area >= 0.0 ? area : -area;
}

实例：

[cpp test code]

#include

using namespace std;

struct Point

{  

    float x, y;  

};  

float LinearIntegration(const Point &p1, const Point &p2)

{  

    return 0.5 * (p2.x - p1.x) * (p2.y + p1.y);  

}  

float ComputePolygonArea(const Point points[], int length)

{  

    if (points == NULL || length <= 0) return 0.0;  

    float area = 0.0;  

    for (int i = 0; i < length - 1; ++ i)

    {  

        area += LinearIntegration(points[i], points[i + 1]);  

    }  

    area += LinearIntegration(points[length - 1], points[0]);  

    return area >= 0.0 ? area : -area;  

}  

int main()

{

    int n;

    while(cin>>n && n!=0)

    {

       Point a[n];

       for(int i=0; i

           cin>>a[i].x>>a[i].y;

       float ans = ComputePolygonArea(a,n);

       cout<<ans<<endl;

    }

    return 0;

}

题目：http://acm.whu.edu.cn/learn/problem/detail?problem_id=1402