加载中…从学会—会学数学 整体把握数学课程、基本脉络
(2012-05-06 13:38:38)
标签：
教育 |
分类： 新课程改革资料 |
从学会——会学数学
—整体把握数学课程、基本脉络
首都师范大学
王尚志、胡凤娟、李悦萍
问题?
•
不增加学习时间和强度，有什么办法提高学习、教学效率？
•
如何让学生喜欢您——喜欢数学？
•
如何调动、激发学生学习激情、主动精神？
•
如何帮助学生学会学习？
目录
•
一、课标修改几个问题
•
二、从学会——会学
•
三、整体把握初中数学课程
•
四、数与代数——基本脉络
•
五、图形与几何——基本脉络
•
六、统计与概率——基本脉络
•
七、综合与实践
一、课标修改几个问题
•
1、学生是主体贯穿始终
•
2、从双基——四基
•
3、发现、提出与分析、解决问题
•
4、整体把握、抓住核心
二、从学会——会学
•
（一）华罗庚先生的名言
•
（二）学会学习数学
•
（三）一个成功案例：R.Moore
二、从学会——会学
华罗庚先生名言：
能把书从薄读厚；
又能把书从厚读薄。
二、从学会——会学
“ 从薄到厚”——整体把握
“ 从厚到薄”——抓住本质—重点
二、从学会——会学
接受式学习
自主（独立）学习
合作学习
探究式学习
二、从学会——会学
主要表现在：
•
阅读理解
•
发现和提出问题
•
梳理总结一个阶段学习结果
•
展示或报告学习“结果”与“体会”
二、从学会——会学
• 合作学习
合作学习：主题
合作学习：形式（组织、程序、结果）
合作学习：文化
合作学习：引导
二、从学会——会学
一个成功的案例——R. L.
Moore教学法
自主学习数学与进行数学研究本质上是一样的；
如何帮助学生会学数学？
成功的案例——R. L. Moore教学法
R. L.
Moore是二十世纪的大数学家，以发现拓扑群被世界所认知，更可贵他培养了一批在该领域的有名的数学家。R.
L.
Moore指导的50名博士，现在已有1678名弟子。他们中的许多人都还坚持按照他们导师的授课方式讲课，这种方式被称作“Moore教学法”，这是R.
L.
Moore开创的。它本质上是苏格拉底的教学方法，鼓励学生运用自己的分析、创造力来解决问题。Moore把综合起来，形成一种“问题课程”和教学模式，“学的最好的学生，是教的最少的。”
成功的案例——R. L. Moore教学法
成功的案例——R. L. Moore教学法
•
上个世纪七十年代数学和数学教育又一次很有价值的讨论。
•
What is the
key in mathematics and mathematics education?
•
(在数学和数学教育中什么最主要？概念？定理？习题？等等。）
•
P.Harmous:
问题是最主要的。
（The problem is the key.）
成功的案例——R. L. Moore教学法
•
1996年时至今，“国家科学基金”为Moore教学法设立专项基金“Shaping the
Future”，在官方网站(http://www.nsf.gov/index.jsp)中输入“Shaping
the Future”可以找到有关项目的介绍和说明。申报书的具体描述在http://www.nsf.gov/pubs/1998/nsf98128/nsf98128.htm中有详细的介绍。
三、整体把握初中数学课程
三、整体把握初中数学课程
•
数学是研究现实中数量关系和空间形式的科学。——恩格斯
•
数学是研究数量关系和空间形式的科学
——前苏联“数学的内容、方法、意义”
•
数学是研究模式与秩序的科学。
——“2061”计划
•
提出把数学科学与自然科学的并列。
——“2061”计划
三、整体把握初中数学课程
•
在最广泛的意义上说，数学是一种精神，一种理性的精神。正是这种精神，激发、促进、鼓舞和驱使人类的思维得以运用到最完善的程度，亦正是这种精神，试图决定性地影响人类的物质、道德和社会生活；试图回答有关人类自身存在提出的问题；努力去理解和控制自然；尽力去探求和确立已经获得知识的最深刻的和最完美的内涵。
•
数学不仅是一种方法、一门艺术或一种语言，数学还是一门有着丰富内容的知识体系，其内容对自然科学家、社会科学家、哲学家、逻辑学家和艺术家十分有用。
——M.克莱因
三、整体把握初中数学课程
•
数学与其它科学之间的新伙伴关系
—— Phillip A. Griffiths在数学译林 2004年第四期
•
数学有一种两重性，除了其智力和美学标准，数学在现实世界是及其有用的。数学是以精确性和内在美为评价标准的一门独立学科，并且对于“现实”世界应用的工具而言，它是一个丰富的源泉。这种双重性的两个部分是密切相关的。
•
数学与其它学科以及商业、金融、安全、管理、决策和复杂系统的建模之间有了更多的相互作用。数学与其它学科正在变得更相互关联和相互依赖。这些相互作用导致科学中的深刻理解以及数学中的基本进步。
三、整体把握初中数学课程
•
把数学理解为“模式的科学 ”
—— Lynn
Arthur Steen数学译林 1993年第二期
•
计算和应用的迅速发展促进了数学学科的相互繁荣，产生了大量前所未有的新方法、新理论和模型。统计科学、核心数学和应用数学中的例子充分说明了这些变化，这些变化不仅拓宽而且丰富了数学和科学之间的联系。数学科学不再仅仅是数和空间的研究，它成为一门模式的科学，其理论建筑在模式之间的关系以及模式和实际观察之间相吻合而产生的应用之上。
三、整体把握初中数学课程
•
数学是科学，
•
数学是理论，
•
数学是语言，
•
数学是工具，
•
数学是技术，
•
数学是文化，
•
数学是伙伴，
……
三、整体把握初中数学课程
三、整体把握初中数学课程
三、整体把握初中数学课程
•
受学校教育的影响，一般人认为数学仅仅是对科学家、工程师，或许还有金融家才有用的一系列技巧。这样的教育导致了对这门学科的厌恶和对它的忽视。
•
由于学校数学教学的影响，这些权威性的诊断和流行的看法，竟被认为是正确的！数学学科并不是一系列的技巧，这些技巧只不过是它微不足道的方面：它们远不能代表数学，就如同调配颜色远不能当作绘画一样。技巧是将数学的激情、推理、美和深刻的内涵剥落后的产物。如果我们对数学的本质有一定的了解，就会认识到数学在形成现代生活和思想中起重要作用这一断言并不是天方夜谭。
——M.克莱因
三、整体把握初中数学课程
•
分析类数学课程：
研究函数以及与函数有关的问题的课程。
数学分析，
•
复变函数，
•
实变函数，
•
常微分方程，
•
偏微分方程，
•
数值计算，
•
泛函分析，
•
与这些课程有联系的拓展类课程：三角级数，调和分析，函数逼近论等等。
三、整体把握初中数学课程
•
代数类数学课程：研究运算以及与运算有关的课程。
•
•
抽象代数，
•
群伦，
•
有限群及其应用，
•
环论，
•
域论，
•
与这些课程有联系的拓展类课程：交换代数，非交换代数，半论，等等。
三、整体把握初中数学课程
•
几何类数学课程：研究图形以及与图形有关的课程。
•
•
射影几何（高等几何），
•
微分几何，
•
点集拓扑，
•
代数拓扑，
•
微分拓扑，
•
微分流形，
•
许多相关课程：代数几何，旋论，形论，等
三、整体把握初中数学课程
•
统计、概率类数学课程：
•
统计，
•
概率，
许多相关课程：随机微分方程，等等
三、整体把握初中数学课程
•
运筹学——线性规划、整数规划、非线性规划
优化课程
离散数学课程——图论、
学科应用课程——生物数学、
经济、金融类数学类课程
计算类课程
理论物理类数学课程
图像识别类数学课程
等等
•
三、整体把握初中数学课程
•
从整体到局部——高中数学内容主要脉络
运
函
几
算
应
统计概率
整体认识学科课程
高中——初中——小学
学年——学期
学期——章——节
三、整体把握初中数学课程
• 四基：
• 基本知识
• 基本技能能
• 基本思想
• 基本活动经验
三、整体把握初中数学课程
• 内容结构：
• 数与代数
• 空间与图形
• 统计与概率
• 综合与实践
三、整体把握初中数学课程
•
数与代数
数、字母与运算
——运算对象认识
——运算背景认识
——运算法则
——运算应用
量、符号与模型
——从算术到代数：模型
——常量模型：方程与不等式
——变量模型：函数模型
——模型分类、识别、确定
三、整体把握初中数学课程
空间与图形
图形分类
——空间图形、平面图形
——直线图形、曲线图形
研究图形的基本方法
——综合推理
——运动与变换
——坐标系与代数方法
——度量与积分
三、整体把握初中数学课程
• 统计与概率
统计
——数据分析全过程
——从数据中提取信息
——统计实际应用
概率
——随机现象基本特征与识别
——古典概型初步
三、整体把握初中数学课程
综合与实践
•
数学实践活动全过程
•
积累数学活动经验
三、整体把握初中数学课程
• 核心词
•
数感、符号意识、空间观念、几何直观、数据分析观念、运算能力、推理能力和模型思想。为了适应时代发展对人才培养的需要，数学课程还要特别注重发展学生的应用意识和创新意识。
三、整体把握初中数学课程
•
数感主要是指关于数与数量、数量关系、运算结果估计等方面的感悟。建立数感有助于学生理解现实生活中数的意义，理解或表述具体情境中的数量关系。
•
符号意识主要是指能够理解并且运用符号表示数、数量关系和变化规律；知道使用符号可以进行运算和推理，得到的结论具有一般性。建立符号意识有助于学生理解符号的使用是数学表达和进行数学思考的重要形式。
•
空间观念主要是指根据物体特征抽象出几何图形，根据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等。
三、整体把握初中数学课程
•
几何直观主要是指利用图形描述和分析问题。借助几何直观可以把复杂的数学问题变得简明、形象，有助于探索解决问题的思路，预测结果。几何直观可以帮助学生直观地理解数学，在整个数学学习过程中都发挥着重要作用。
•
数据分析观念包括：了解在现实生活中有许多问题应当先做调查研究，收集数据，通过分析做出判断，体会数据中蕴涵着信息；了解对于同样的数据可以有多种分析的方法，需要根据问题的背景选择合适的方法；通过数据分析体验随机性，一方面对于同样的事情每次收集到的数据可能不同，另一方面只要有足够的数据就可能从中发现规律，数据分析是统计的核心。
•
运算能力主要是指能够根据法则和运算律正确地进行运算的能力。培养运算能力有助于学生理解运算的算理，寻求合理简洁的运算途径解决问题。
三、整体把握初中数学课程
•
推理能力的发展应贯穿在整个数学学习过程中。推理是数学的基本思维方式，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理，合情推理是从已有的事实出发，凭借经验和直觉，通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包括定义、公理、定理等）和确定的规则（包括运算的定义、法则、顺序等）出发，按照逻辑推理的法则证明和计算。在解决问题的过程中，两种推理功能不同，相辅相成：合情推理用于探索思路，发现结论；演绎推理用于证明结论。
•
模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。建立和求解模型的过程包括：从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立方程、不等式、函数等表示数学问题中的数量关系和变化规律，求出结果、并讨论结果的意义。这些内容的学习有助于学生初步形成模型思想，提高学习数学的兴趣和应用意识。
三、整体把握初中数学课程
•
应用意识有两个方面的含义，一方面有意识利用数学的概念、原理和方法解释现实世界中的现象，解决现实世界中的问题；另一方面，认识到现实生活中蕴涵着大量与数量和图形有关的问题，这些问题可以抽象成数学问题，用数学的方法予以解决。在整个数学教育的过程中都应该培养学生的应用意识，综合实践活动是培养应用意识很好的载体。
•
创新意识的培养是现代数学教育的基本任务，应体现在数学教与学的过程之中。学生自己发现和提出问题是创新的基础；独立思考、学会思考是创新的核心；归纳概括得到猜想和规律，并加以验证，是创新的重要方法。创新意识的培养应该从义务教育阶段做起，贯穿数学教育的始终。
四、数与代数——基本脉络
结构
数与代数
•
数、字母与运算
——运算对象认识
实数——有理数
无理数
字母——单项式、整式、分式
——运算背景认识
数的加、减、乘、除的运算背景
字母的加、减、乘、除的运算背景
结构
数与代数
•
数、字母与运算
——运算规则
运算规律：结合律、零与负数、交换律、分配率
运算的顺序
等式、不等式运算法则
——运算应用
字母运算、代数式与公式、应用
求解方程
求解不等式
函数性质研究
结构
数与代数
•
符号、字母与模型
从算术到代数
算术基本特征：通过用“术”算“数”解决问题
一个一个解决问题
解决问题过程——逻辑推理过程
代数基本特征：通过用“术”算“数和字母”解决问题
一类一类解决问题——模型
解决问题过程——逻辑推理过程
模型的参数及对模型作用
结构
数与代数
•
量、符号与模型
常量模型：方程：
实际情景进行量分析
发现已知量与未知量（常量）的等量关系、
选择具体方程模型（待定系数）
——一元一次方程
——二元一次方程组
——一元二次方程
数学求解、
实际讨论
结构
数与代数
•
量、符号与模型
常量模型：不等式：
实际情景进行量分析
发现已知量与未知量（常量）的不等量关系、
选择具体方程模型（待定系数）
——一元一次不等式
——一元一次不等式组
数学求解、
实际讨论
结构
数与代数
•
符号、字母与模型
——变量模型：函数模型
实际情景进行量分析（常量、变量）
发现变量间的依赖关系
选择具体函数模型
——一次函数：正比例与线性函数
——反比例函数
——一元二次函数
——分段函数
用代数和图像方法分析函数性质
实际讨论
结构
数与代数
•
符号、字母与模型
模型分类、识别、确定
模型分类：常量模型——方程与不等式
变量模型——函数
模型识别：换元法
模型确定：参数的意义
待定系数
五、图形与几何——基本脉络
结构
空间与图形
图形分类
——空间图形描述与基本性质
柱：直棱柱（直线型）、圆柱（曲线形）
锥：直棱锥、圆锥
台：棱台、圆台
球：
简单复合体
结构
空间与图形
图形分类
——平面图形描述及基本性质
直线型：
点
线：直线，平行线，相交直线（角）
射线，角，角平分线
线段，垂直平分线
三角形：等边、等腰、直角、一般三角形；三角形中基本线段和点；
它们的概念和基本性质
四边形：正方形、长方形、菱形、平行四边形、梯形、一般四边形；
它们的概念和基本性质
多边形：内角和与外角和
结构
空间与图形
图形分类
——平面图形描述及基本性质
曲线形：
圆：圆心、半径、直径、弦、圆心角、圆周角、切线
它们的基本关系：垂径定理，圆周角定理
抛物线：一元二次函数图象
双曲线：反比例函数图象
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——综合推理
•
图形推理与论证
•
——推理的基本方式
合情推理：作用、基本方式（归纳、类比）
演绎推理：必要性、作用、基本方式
（三段论、反例、反证法等）
•
——几何直观
•
——使用基本逻辑用语
•
——图形基本关系与论证方式
•
综合推理论证方式：综合法——从条件到结论
•
分析法——从结论归结为条件
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——综合推理
重要结果与推理基础：线
相互平行的线及性质
相互垂直的线及性质
线段与垂直平分线
角与角平分线
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——综合推理
重要结果与推理基础：三角形
三角形内角和180°与平行线公理：
平行线公理等价定理、外角大于内对角
三角形性质：
等量性质——等腰、等边三角形
不等量性质——边、角不等关系
三角形特殊点、边：中线、角平分线、高线及性质——推广
直角三角形：特殊的直角三角形——30°、45°
基本性质——勾股定理
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——综合推理
重要结果与推理基础：四边形
四边形及性质：
正方形
长方形
菱形
平行四边形
等腰梯形、梯形
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——综合推理
重要结果与推理基础：多边形与圆
多边形及性质：
正多边形
多边形内角和与外角和
圆及性质
圆内图形：半径、直径、圆心角、圆周角
圆内三角形
圆与直线：切线、割线
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——运动与变换
•
图形变换
•
——轴对称变换与轴对称图形：
•
直线、线段、角、平行线，
•
等边、等腰三角形——直角三角形，
•
正方、长方、菱形、等腰梯形，
•
正多边形与圆
•
——中心对称变换与中心对称图形：
•
直线、线段与平行线
•
等边三角形
•
正方、长方、菱形、平行四边形
•
正多边形与圆
•
——旋转变换
•
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——运动与变换
•
图形变换
•
——平移变换
•
——相似变换
•
相似三角形基本性质，位似与放大、缩小
•
——投影变换与三视图
•
变换论证
•
——变换、运动、几何直观
•
——变换与变换不变性
•
——变换与论证
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——直角坐标系与代数方法
•
直角坐标系
•
——数轴、点、坐标
•
——直角坐标系基本要素及意义
•
——直角坐标系、点、坐标
•
——坐标系思想与实际应用
•
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——直角坐标系与代数方法
•
直角坐标系与函数
•
——变量、坐标表示
•
——函数与直角坐标系上表示：函数图像
•
——函数图像与变化
•
——几何模型与函数模型
•
——函数与方程
•
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——直角坐标系与代数方法
•
在直角坐标系中，用代数方法研究图形
•
——一次函数与直线
•
——二次函数与抛物线
•
——反比例函数与双曲线
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——度量与积分
•
长度与距离
•
——三角形两边之和大于第三边：距离
•
——线段的长度
•
——直线型边长：大小关系
•
——圆周长：圆周率
•
——圆与内接正多边形周长关系：积分认识
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——度量与积分
•
角度
•
——角的度量：角度
•
——特殊直线型的角度
•
——边角关系：三角函数
•
——圆心角与弧长
•
——多边形内角和、外角和及不变意义
结构
空间与图形
研究图形的基本方法
——度量与积分
•
面积
•
——正方形与面积单位
•
——长方形、直角三角形、三角形面积
•
——长度与面积：思考
•
——长度、角度、面积
•
——圆的面积与积分
•
几何课程的教育价值：
逻辑推理、几何直观
•
欧式几何的利弊：
培养逻辑推理载体、初步体会“公理思想”的作用、一部分结果有用
几何直观作用体现不足，有用的结果不多
•
变换本身是重要内容；
学习的主要图形是对称图形；
认识、研究图形方法；
培养几何直观——让图形”动”起来
（以平行四边形为例）；
几何课程的变换趋势。
重视演绎推理，也要重视归纳推理，
提升推理能力需要——过程
重视几何中演绎推理
更要重视代数中演绎推理
如何体现归纳推理
归纳推理：引入概念——案例教学，
发现结论
寻求解决问题途径
掌握技能
归纳推理：创新思维的思维基础
六、统计与概率——基本脉络
七、综合与实践：
——数学活动经验
•
综合与实践——数学应用
可以分成三个层次来理解数学应用，分别是：知识的背景和对实际问题的数学描述；对数学模型的认识和在实际中的直接应用；经历数学建模的过程。
综合与实践
•
发展学生的应用意识
•
激发学生的学习兴趣
•
增强学生对数学的理解
•
扩展学生的视野
•
培养学生的良好品行
•
提高学生的阅读能力
综合与实践
问题——”综合与实践“的关键
——选择与学生的生活实际相关的问题，并减少对问题不必要的人为加工和刻意雕琢。
——选择已有的、别人做过的问题
——选择数学背景问题，有不同的层次，并注意问题的可扩展性和开放性。
——鼓励学生自己发现和提出问题
——教师应该积累一批问题
综合与实践
• 开拓学生视野——
• 自主学习能力——阅读、设计
• 发现、提出并能分析、解决一个问题。
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