初三临近毕业综合复习时，设置了一组有层级的复习题，综合复习了空间里的轴对称，旋转，平移三种基本空间关系，最终转化为基本问题：两点之间线段最短。

问题1：直线m两侧各有一点A点、B点，动点P在直线m上，当P在什么位置时，满足PA+PB的值最小。

问题2：直线m:同侧有两点A点、B点，动点P在直线m上，当P在什么位置时，满足PA+PB的值最小。

问题3：∆ABC是一个锐角三角形，在三角形内有一动点P，当P在什么位置时，满足PA+PB+PC的值最小。

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要点解析：

1题略。

2题利用轴对称知识转化为1问题。

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3题利用旋转，转化为两点之间线段最短的基本问题。

如图分别以BP和BC为边做等边∆BDP和等边∆BCE，并连接

DE，由边角边可证∆BPC≌∆BDE，则有PD=PB，DE=PC。在空间上可以看做∆BPC绕着B点逆时针旋转60o到∆BDE位置，则PB绕着B点逆时针旋转60o到PD位置，PC绕着B点顺时针旋转60o到DE位置。如图（1）

则PA+PB+PC=PA+PD+DE

所以问题转化为A、E两点之间，怎样的连线最短。

很明显，A、P、D、E在一条直线上时，既P、D在线段AE上时，两点之间线段最短，此时PA+PD+DE的值最小，

既PA+PB+PC的值最小。

此时∠BPC=∠BDE=180O-∠BDP=120O.则∠APC=120O。如图（2）

怎样确定P点的位置呢？

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如图(3)，可知P点在AE上，同理，以AC为边，在∆ABC外做等边∆ACF，那么P也在BF上，因此AE和BF的交点即为P点。证明如下：

易证明∆AEC≌∆FBC,并且∆AEC与∆FBC的空间关系可以看做：∆FBC绕着C点逆时针旋转60o到∆AEC的位置，因此易证明AE和BF的交角∠APF=∠BPE=60o。

由C点向BF和AE做垂线段，由全等三角形对应边上的高相等，可知C点在∠EPF的角平分线上，所以∠EPC=∠FPC=60o。

故∠BPC=∠BDE=∠APC=120O成立。

拓展：

1、（1）如果∆ABC是钝角三角形，钝角∠BAC小于120O，那么∆ABC内也一定存在一个点，它到三角形各顶点连线段之和最短，且该点一定满足这三条连线之间的夹角均为120O。,

(2)如果∆ABC是钝角三角形，钝角∠BAC等于120O，那么到三角形各顶点连线段之和最短的点在哪儿呢？

(3)如果∆ABC是钝角三角形，钝角∠BAC大于120O，那么到三角形各顶点连线段之和最短的点在哪儿呢？为什么？

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2、如果四边形ABCD对角线AC和BD相互垂直，那么对角线交点P到四边形各顶点连线段之和最短。你能证明这个结论吗？

要点说明：如右图，设平面内另有一点Q， 那么有

QB+QD≥PB+PD,且QA+QC≥PA+PC,

故有AQ+QC+QB+QD≥PA+PC+PB+PD，仅当Q与P重合时，等号成立，取得最小值。

3、根据前面的结论，你能否做出合情推理，如果五边形内如果存在一点，当该点与五边形的每个顶点的连线满足什么条件时，该点到五边形各顶点连线段之和最短？

要点：如果该点与五边形的每个顶点的相邻连线夹角为72o时，该点到五边形各顶点连线段之和最短。如图所示。

http://s14/mw690/002Y1OJnzy6Jcni09t3ed&690