这是对张万旭同学提问答复的续3。希望张同学能看到。

雷达图的基本概念和基本操作，可以参看一般的教材和书籍，这里只是就雷达图如何表达二次曲线中的圆和椭圆的极坐标方程的曲线，做一个尝试。本文是在为张万旭同学解答，使用Excel图表表示二次曲线极坐标方程时，由对极径ρ的处理方法，想到可能雷达图也可以解决，从而做了尝试。本文只是利用雷达图，而绝非雷达图之本来面目和原始用途。其它教材和文章一般不会谈及。

先对雷达图与极坐标的相似处与相异处，说一下我个人的理解。

雷达图既然称之为“雷达”，就要把雷达的最基本知识最粗浅地解释一下。

有个概念可以先复习一下：“方位角”。在学习地理或测量时曾学到过方位角，它是指从某点的指向正北方向线起记为0度，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角就是该目标的方位角。方位角0度就是正北；九十度就是正东；180度就是正南；270度就是正西；360度与0度重合还是正北。

与笛卡尔直角坐标系的向右的X轴不同，Excel的雷达图的分类轴（X轴）起始位置就是朝上——正北方向。雷达图也没有角度的概念，千万不要企图让雷达图来按角的数值来表示它的几何意义，它只是按照数据点的多少来等分中心角，如要它按照一定角度处理某些问题，就要靠我们的人为的安排转化。

再说雷达。雷达装置不停地按顺时针旋转，同时发出电磁波，电磁波遇到目标就会反射回来，雷达接收该目标的回波，并由此获得目标至电磁波发射点的距离、距离变化率（径向速度）、方位、高度等信息。

Excel的雷达图就是模拟使用除却高度之外的这一系列概念，我们可以认为：雷达图就是一部雷达从方位角0度、即正北方向开始按照顺时针方向开始旋转扫描并显示检索回波的一个屏幕，而雷达图上的某系列的数据点可以看做在雷达屏幕上看到的一架飞机的回波点的轨迹，雷达图上的径向轴上X的数据值，就是飞机与电磁波发射点——雷达发射装置之间的距离，每个数据点之间的连线可以看成是飞机飞行的轨迹，只不过方位角的概念两者相差甚远——只有当有360个数据点时，两者意思相近。另外，如果有多架飞机被发现，也就是雷达图上有多个系列的轨迹折线。

如果一架飞机以雷达发射装置为圆心，以 10千米为半径，做圆周飞行，此时你不要认为在Excel的雷达图上可以随便画出一个圆。能不能画出圆，要看你的雷达发射装置顺时针旋转的速度快不快。在飞机作完整的一圈飞行过程中，在初始位置：正北处方位角0度，被雷达测到第一次。如果雷达发射装置顺时针旋转的速度较慢，在飞机做完整的一个圆周绕行过程中，连首次在初始的正北方向、即方位角0度时被测得的在内，雷达总共只测得3次目标飞机，那么，尽管飞机是按圆周飞行，每相近被测得的两次之间在圆周上移动的圆心角是120度，但在雷达图上表现其轨迹却是一个正三角形，如下图所示：

 

上图中，只需选取E86：E88，选作雷达图即可，D86：D88作为分类轴（X）轴的标志。删去或处理图例、数据标志、网格线等一系列格式后，就可得上图。

如雷达发射装置顺时针旋转的速度略快，在飞机做完整的一个圆周绕行过程中，连首次在初始的正北方向，即方位角0度时被测得的在内，雷达总共能测得4次目标飞机，那么，尽管飞机是按圆周飞行，每相近被测得的两次之间在圆周上移动的圆心角是90度，但在雷达图上表现其轨迹却是一个正四边形，如下图所示：

 

上图中，只需选取E81：E84，选作雷达图即可，D81：D84作为分类轴（X）轴的标志。删去或处理图例、数据标志、网格线等一系列格式后，就可得上图。

如雷达发射装置顺时针旋转的速度再快一些，在飞机做完整的一个圆周绕行过程中，连首次在初始的正北方向，即方位角0度时被测得的在内，雷达总共能测得5次目标飞机，那么，尽管飞机是按圆周飞行，每相近被测得的两次之间在圆周上移动的圆心角是72度，但在雷达图上表现其轨迹会是一个正五边形，如下图所示：

 

如雷达发射装置顺时针旋转的速度更快一些，在飞机做完整的一个圆周绕行过程中，连首次在初始的正北方向，即方位角0度时被测得的在内，雷达总共能测得10次目标飞机，那么，尽管飞机是按圆周飞行，每相近被测得的两次之间在圆周上移动的圆心角是36度，在雷达图上表现其轨迹会是一个正十边形，如下图所示：

 

从上述几图可以看到：边数越多，折线越短。你可以联想：就如砌墙的砖是矩形，其边是直线；但是当相当多的直线型的砖砌成烟囱时，这可以是个圆柱形的。也就是说当上述数据值越多，图形就越接近一个圆。恭喜你！答对了！

如雷达发射装置顺时针旋转的速度更快一些，在飞机做完整的一个圆周绕行过程中，连首次在初始的正北方向，即方位角0度时被测得的在内，雷达总共能测得60次目标飞机，那么，飞机是按圆周飞行，每相近被测得的两次之间在圆周上移动的圆心角是6度，在雷达图上表现其轨迹会是一个正六十边形，非常接近于一个圆，如下图：

 

上图中，只需选取B2：B61，数值都是10，共60个数据，选作雷达图即可，A2：A61作为分类轴（X）轴的标志，从0到354，数据间隔为6。删去或处理图例、数据标志、网格线等一系列格式后，就可得上图。

这时，你可以发现上述数据表格中的左侧的表达方式和圆的极坐标方程：ρ=r很像。

我曾经在《Excel:关于圆（圆心在原点）的极坐标方程图像的描绘》（http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/15115632012102773433265/）中探讨过相关内容，不过那次的最后处理还是要把圆心在原点的圆的极坐标方程每个数据点转换成直角坐标，而且极角θ的取值是弧度制（对于弧度很多人已经糊涂了，忘了）。在雷达图中，不需要转换，角度已经不重要了，只要数据点足够多就行了，在Excel中再多的数据点，设置公式、数据以及选取都是很容易的。如果是要做同心圆，只要按要求使用不同的半径值，多做几个系列就是了。

重要的是，上述雷达图中的径向值，使我想起了极坐标方程中的极径ρ，它们在定义和作用上非常相似，能不能用它作出椭圆的极坐标方程的图像？应该是可以的。

不过需要提前做好准备的是：

极坐标中极径初始状态是从向右（正东），开始旋转时是按逆时针旋转，极角θ由0开始逐渐增大；如果极径按顺时针旋转，极角θ则是负值，其绝对值逐渐增大。而雷达图初始状态是从向上（正北）开始按顺时针旋转，没有角度概念，只是按照数据点的多少来等分中心角。

另外，极坐标中极角θ的取值是弧度制，而雷达图中如上所述只是由数据点的多少来等分圆心角，可以如上例将其60等分，每份圆心角为6度，但在极坐标计算中要转化成为弧度。

有必要简单回忆复习一下关于角度和弧度的转化：

弧度的值是实数。∠α的弧度值=∠α在该圆中所对的弧长/该圆的半径。

在单位圆中，半径为1，整个圆周弧长是2π，整个圆周角是360°。

1°的角所对应的弧度，应该是所对的弧长（全圆周长）除以360，即：

1°的角所对应的弧度=2π/360°≈3.14159*2/360≈0.017。

而1弧度对应的角应该是圆周角360°/2π，即

1弧度对应的角度=360°/2π≈57.3°=57°18′

换算的简单表示（弧度可以省略不写）：

1°≈0.017（弧度），

1（弧度）≈57.3°=57°18′

常用的有：

30°=π/6，45°=π/4，60°=π/3，90°=π/2，180°=π，360°=2π

椭圆的极坐标方程是：ρ=ep/(1-e cosθ) （其中：p为焦点F到准线的距离，e为离心率，且0）

在e和p设定后，在雷达图中，可以使用极径ρ直接作图，但是主要是变量极角θ要转换成弧度制。雷达图不认识角度或弧度，它只认识等分后的圆心角，即你想把圆周角分成几份？为了准确反映余弦函数cosθ完整周期内的变动，我将其分成360等分（0~359），每一份就是1°，然后将角度化成弧度

先以椭圆为例（本例假设e=0.8，p=10.）。

先在D2单元格设定e的值，在E2单元格设定p的值，在F2单元格中设定1°的角对应的弧度，对这三个单元格可以使用绝对引用。

A列从A3开始为X在[0,359]上取值，从0开始，到359，数据间隔为1.

B列从B3开始是公式，将角度换算成弧度：在B3中键入=A3*$F$2，对F2单元格中1°的角对应的弧度数的值使用绝对引用，对A3单元格的角度的值使用相对引用。然后向下拖曳复制到与A列相对应的B362。

C列从C3开始也是公式，按椭圆的极坐标方程ρ=ep/(1-e cosθ)计算ρ的值：在C3中键入=$D$2*$E$2/(1-$D$2*COS(B3))，对D2单元格e的值和E2单元格p的值使用绝对引用，对B3单元格中已换算好的θ取值的弧度数使用相对引用。然后向下拖曳复制到与A列相对应的C362。如下图左侧：

 

注意：选中C3:C362，在图表向导中选择雷达图中不含数据点标志的第一个图，删去图例、背景，数据点标志设置、调整网格线，即可完成。

由于与笛卡尔直角坐标系的向右的X轴不同，Excel的雷达图的分类轴（X轴）起始位置就是朝上——正北方向。所以相当于极坐标系的椭圆逆时针旋转了九十度。如要想让椭圆横过来也很简单，我们只需要对上例中的C列中的公式内的余弦的角度做一个增加或减少π/2就可以了。

先将余弦的角度增加π/2，观察会发生什么变化：在G3中键入的是=$D$2*$E$2/(1-$D$2*COS(B3+3.14/2))，对D2单元格e的值和E2单元格p的值使用绝对引用，对B3单元格中已换算好的θ取值的弧度数使用相对引用并增加π/2。然后向下拖曳复制到与A列相对应的G362。结果椭圆逆时针旋转了90度（π/2）。选取G3:G362，在图表向导中选择雷达图。调整后如下图所示：

 

先将余弦的角度减少π/2，观察会发生什么变化：在H3中键入的是=$D$2*$E$2/(1-$D$2*COS(B3-3.14/2))，对D2单元格e的值和E2单元格p的值使用绝对引用，对B3单元格中已换算好的θ取值的弧度数使用相对引用并减少π/2。然后向下拖曳复制到与A列相对应的H362。结果椭圆顺时针旋转了90度（π/2）。选取H3:H362，在图表向导中选择雷达图。调整后如下图所示：

 

如你能看懂以上文字，对于为什么增加或减少π/2就可以使其逆时针或顺时针旋转九十度，就不用解释了。我不用左转或右转，使用了逆时针或顺时针，就已经提示了缘由。

二次曲线是中学数学内容，不过上述内容高考是不考的，只是一种联想、启迪和探索的结果。

 

【附录】关于我的博客中使用Excel图表描绘二次曲线的相关文章

1.《Excel:关于二次曲线直角坐标方程图像的描绘》

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/1511563201210268292123/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014emw.html

2.《Excel:关于圆（圆心在原点）的极坐标方程图像的描绘》

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/15115632012102773433265/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014fc5.html

3.《Excel:关于二次曲线极坐标方程图像的描绘》

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/15115632012102774036558/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014fce.html

4.《Excel雷达图:描绘圆与椭圆极坐标方程的图像》

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/151156320121029104236157/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014gvr.html

5.《Excel雷达图:描绘抛物线和双曲线的极坐标方程的图像》

http://shuchonghui.blog.163.com/blog/static/15115632012103022446426/

http://blog.sina.com.cn/s/blog_a20c88b601014h8z.html