教材解读

“小数的意义”教材对比解读

第3小组   蒋文玲

“小数的意义”是学生在“小数的初步认识”的基础上，进行系统学习小数知识的开始。在这里我将用人教版教材和西师版教材对这一教学内容进行横向对比解读。

1.教学年段

人教版和西师版教材都将“小数的意义”这一内容安排在了四年级下册。

2.小数的引入

人教版和西师版教材都是通过测量活动，使学生感受到小数是在测量和计算的实际需要中产生的。

3.内容安排

人教版教材没有将数位顺序表放在“小数的意义”教学中，它将数位顺序表放在了读、写小数这一课时，我想编者主要将这节课的侧重点定于小数意义及相邻计数单位的十进关系上，数位顺序表的侧重点是“位值制”；西师版教材则将数位顺序表放在了这一课时，容量较大，学生接受较困难。

4.学习教材

学生在“小数的初步认识”时接触到的学习材料主要是“元角分”和相关长度单位“米、分米、厘米、毫米”，所以人教版教材选取“米尺”作为“小数意义”教学的直观教具。教材分三个层次编排：首先将1米平均分成10份，说明十分之几用一次小数表示，再把1米平均分成100份，说明百分之几用两位小数表示；然后把1米平均分成1000份，说明千分之几用三位小数表示。这三个层次的教学都是将1米进行平均分，让学生感受到越分每份越小，并且借助分米、厘米、毫米的进率能直观看出0.1、0.01、0.001之间的关系。这样学生理解小数相邻计数单位间的十进关系更易。

西师版教材通过两个例题教学“小数的意义”，例1用平面方格模型图认识一位小数、两位小数的意义，计数单位，0.1与0.01的十进关系；例2用立体方格模型图认识三位小数。但例1和例2联系不大。这样拉通0.01与0.001的联系较困难。在例1、例2教学后出现了数位顺序表。

无论是人教版和西师版教材在“小数意义”教学时都注重小数与十进分数的联系。“小数意义”的教学依赖于分数。

教学思考：

1.“小数意义”教学是否依赖于分数。

张奠宙教授说：“小数的本质是位置计数法的拓展。小将是将个、十、百、千、万等不断扩大的计数方式向另一个方向不断缩小的计数方式的延伸，即小数是由若干个计数单位的累加。”所以“小数的意义”教学是否可以不依赖于分数，直接从整数过渡到小数，拉通整数与小数的联系。

2.“小数意义”教学是否需整理出数位顺序表

是否整理出数位顺序表，要看这节课的取向。我认识“小数意义”这一课时侧重于意义及相邻计数单位的“十进关系”，而数位顺序表侧重于位值制，主要是便于读写数，所以我觉得可以不整理出数位顺序表。

 

话题交流

话题：你赞同用“位置计数法”教学《小数的意义》吗？

此话题一抛出，因其颠覆了常规教学，致使大家脑洞大开，畅所欲言，各抒己见，把本次话题交流活动推向了高潮，精彩发言整理如下：

一、是否赞成这种观点？

李小元：对这个话题你们是如何理解的？你赞同这种观点吗？大家积极发表自己的见解。

蒋文玲：我比较赞成，我以前上这节课的时候，我感觉学生最难解决的问题就是不理解十分位、百分位、千分位之间的进率为什么是“10”？用正方体去支撑，一部分学生理解很困难，所以我觉得利用分数去上小数的意义，不能很好的解决这个问题。

陈奉江：不是这次话题交流的探讨，学习张奠宙《小数的本质》这篇文章，我还不知道，小数的本质是“位置计数法”的拓展，所以我赞成这种观点。

游祖平：平时我们都是通过分数去呈现小数的意义的，先去认识分数，然后再过渡到特殊情形小数，从一般到特殊，有一定道理。看了《小数的本质》那篇文章，我又觉得也很有道理，我两种都赞成吧。

吴成友：西师版教材利用分数去构造小数的意义的，平时都是按教材思路去上的，我觉得两种都赞同吧。

诸志丽：我赞成这种观点，从小数的起源就可看出，小数的来源于不够一个整体，小数部分就按整数计数规则，向小的方向一次一次按10等分分下去，产生的新的位置值的数，所以我赞成。

郑洁：我有同感，平时都用分数的角度去构造小数的意义，大家都上过，不如挑战一下，从“位置计数法”的角度去上一节课。

张燕燕：对，有同感，我也是这么认为的，在以前教学时，我就发现利用正方体的模型去讲解，学生在感觉小数部分进率是“10”，很困难。

何文静：我也这么觉得，李校长，我们说得差不多了，您谈谈您的感受？

邓步梅：对，我也这么认为。如果按这个角度去上，该怎么教学呢？

李小元：你们刚才说得很好，从小数的起源与学生以往的困惑来看的话，我很赞成这种观点，我觉得，小数不是分数的附庸，小数的本质是计数单位的累加，就像整数计数单位计数一样的。小数数位有十分位、百分位、千分位......那它相对应的计数单位是0.1, 0.01，0.001......10个0.001是0.01,10个0.01是0.1,就是说是小数计数单位的累加产生了不同数位的小数。

二、“位置计数法”如何在课中体现？怎样理解小数单位之间的进率是10？

李小元：大家都赞成这种教学观点，那在课中如何去体现与构造这种教学呢？如果是你教学，你将怎么去上？

蒋俊华;我觉得这节课，肯定要与整数计数方式与小数计数方式进行沟通，让学生明白整数与小数，相邻计数单位之间的进率是“10”，要强调小数的计数单位0.1,0.01,0.001等。

李小元：对，就像分数的意义那节课本质切入一样，强调计数单位的累加，一位小数就是0.1的累加，两位小数就是0.01的累加。

肖丽：我赞同两位的意见，整数与小数都是计数单位累加得出来的。

徐川：上次我上过分数的意义，我觉得两者都有共同点，从自然数入手去进行教学，不够自然数“1”时，就会产生小数与分数，以此类推就可。

蒋小英：我觉得用正方体去构造很抽象，学生的空间观念还不够，不用正方体去构造，化成尺子上的米、分米、厘米去引入，可能好些，很直观的。把1米平均分成10份，l份就是1分米，即十分之一米，写作0．1米；再把1分米平均分成10份，也就是把1米分成了100份，1份就是l厘米，即百分之一米，写作0．01米。

诸志丽：对，我也这么认为，人教版就是这样引入的，我觉得在数轴上去构造1, 0.1，0.01，0.001之间的进率关系，更直观，也能渗透位置思想，渗透坐标思想等，也能沟通整数与小数之间的关系的。

张燕燕：我也觉得直接用数轴来演示更形象直观，不是要求我们多用数轴去表示数吗？。

陈奉江：用立体图形来演示也可以，空间观念的要求更高一些。教师要用语言，给与足够的时间，好好让学生形成空间表象。

李小元：元、角、分与米、分米、厘米，其实就是小数在生活中的模型，用它们引用，比用正方体去支撑，更能沟通学生的生活经验。

肖传奎：我很赞同李校长的观点。人教版就是这么引入的，用1米，1分米，1厘米去支撑的。

蒋文玲：我觉得用米、分米、厘米在数轴上构造很困难，要用放大去看，课件做起来很麻烦的，学生不好理解吧，因为要放大。

李小元：数轴是小数的几何表示，用数轴更直观形象，那么我们就暂定用数轴的形式去构造与讲解，分数单位之间的进率，以及分数单位的产生，是朝小的方向不断“分”出来的。用尺子来演示，用一把米尺来当作单位“1”，把它平均分成10份，每份是0.1，也就是1分米，然后把一分米平均分成10份，每份就是0.01，也就是1厘米，再把1厘米平均分成10份，每份就是0.001，也就是1毫米。因为米、分米、厘米、毫米之间的进率是10，因此0.1, 0.01, 0.001之间的进率也是10 。整堂课强调小数计数单位的累加。

吴成友：对，我很赞同李校长的观点。

其他成员也纷纷表示都赞成李校长的观点，最后达成了共识，最好利用数轴去体现，课上强调小数就是计数单位的累加构成的，应细致地引导学生去理解与领悟相邻计数单位之间的进率是“10”。

 

                                         （诸志丽、张燕燕整理）

 

 

学习分享

 

明白教材思想   注重学生感悟

梁平县西苑小学    诸志丽

3月13日到28日，我到北碚参加了2014年“国培计划”示范性项目小学数学骨干教师能力提升高端研修的培训。这次给我们培训的老师，可谓名师荟萃，理论方面有全国知名学者教授专家，实践方面除了省市名优，更有大师级人物——吴正宪老师的精彩课堂引领与专题讲座，可谓感悟颇深。下面就简要述说一下。

一、读懂教材背后的思想——立意高远

这次培训，无论是专家的引领，还是课例研究探讨，以及学员们的反思交流，谈论得最多的就是教材所呈现的数学思想。黄翔教授曾说：“只要有段教材，背后就有其思想，作为教师比须要读懂教材背后蕴含的思想”。的确，课有了思想，课堂才会有灵魂。没有深度的专业思想引领，是不会把学生的思考继续引向深刻的。

二、关注核心素养在课堂的落实——反思融入

重庆师范大学黄翔教授生动解读了核心素养，大力提倡基于核心素养的课堂教学，引导一线教师走向立意高远的课堂教学研究。怎样才能真正落实到教学内容及其目标中去呢？黄翔教授告诉我们一定要反思以下几点：1.上课前我的“立意”是否与发展学生的数学核心素养为导向的？2.是否将“数学核心素养”要求融入到课堂教学目标中去？与教学目标点的关联在哪里？3.相应素养在教材中的孕育点和生长点在哪里？4.相应素养怎样融入教学内容，教学过程的具体方式与载体？ 

三、课堂教学要有取舍——擒贼先擒王
   吴正宪老师用精彩而有内涵的一堂课——《用字母表示数》，生动地告诉我们：一节课就40分钟，要真正培养学生的核心素养，面面俱到是不行的，必须有取舍，就好像打仗，你要分清楚谁是主帅？谁起关键作用？先干掉了主帅，后面的虾兵虾将就好一网打尽了。吴老师这堂课，没像我们常规的教学那样，先上字母可以表示数与数量，让学生明白字母表示的数与数量有不确定性，有时还必须在一定的数值范围内，用字母表示简明概括，然后再去研究字母还可以表示数量之间的关系，最后教学简写。但吴老师没有这样，她直接从研究学生与老师之间的年龄关系入手，通过一步步地引导，让学生自己去抽象与概括，完成符号化的过程，最后学生自己说出了：用字母表示数，很简洁，概括，还能很清楚的表示关系。这节课是算术思维过渡到代数思维的起点，学生算术思维根深蒂固，最难理解的就是用字母去表示数量之间的关系。要突破这样难点，必须要做“足”。给予学生足够时间集中的去攻破。有些知识今天没处理，留着明天再处理。这节课没处理完，留在下节课就行。
   四、 注重学生感悟——不能急，慢慢来
   吴正宪老师还告诉我们，《用字母表示数》这节课是算术思维过渡到代数思维的起点，今天的教学只是推开了一小扇门缝，只是往里面看了看，而这一看就应该刻进孩子们的心里。怎样才能刻进孩子心中，有点感觉呢？只有让学生去感悟，去碰撞，哪怕头破血流，这种体验是不能被代替的，体验的过程就得慢慢来。这堂课就是要让孩子们体会到 ：用字母表示1.概括又简洁，2.既表示数量又表示数量关系。这些体会都必须要让学生自己说出来，一定要让学生经历从“点”——“类”——“全部”的顺序，完成抽象概括的符号化的过程。

这节课核心素养符号意识的培养，怎么去做，答案就是要给予学生足够的思考空间与时间，让他们去思考，用自己的思维去碰撞，去感悟，而这个过程，教师还必须从学生中抽取多个有用的教学素材，然后由低级到高级，进行标号，给学生的抽象与概括搭梯子，一步一步引导他们去抽象，逐步完成剥离概括，进而符号化。这个过程是试悟的过程，是漫长的，不要看见点苗头，就以星星燎原之势铺向学生。这个过程是要慢慢发酵，教师要善于等，才能真正让大部分学生领悟。

总之，这次培训，让我的思想境界再次提升，对课堂教学的认识更加深入，我将带着这些感悟，潜移默化地走进自己的课堂，播撒有“思想”重“感悟”的种子，让它在课堂中生根发芽，开出最美的花朵。

 

 

参考资料

小数的本质

张奠宙

《小学数学教师》是一本在全国有影响的刊物，每期送来，都要翻阅。最近因病住院，遂将2010年第11期比较仔细地读了一遍，觉得里面确有许多好文章。

　　邵虹等在小学一年级，就用求折线长度演练20以内的加法，使用了纵线、横线的卡通式说法，颇有些坐标系的外观，很有创意。姜荣富提出“数学问题情境”的概念，也是针对目前过分强调的“生活情境创设”所作的一种补充。该文提出“35×36=□×□”的问题，是一种具有挑战性的数学情境。依我看来，这一情境其实也有更实际的数学意味，即不同的矩形可以有相同的面积。袁仕理提出“引出问题≠发布指令”等5个教学不等式，也是很有针对性的论述。编辑部陈洪杰介绍日本的一堂公开课，旨在表明公开课应用于“课堂教学研究”，而非用于“展示”、“评比”、“获奖”，发人深思。公开课的过度功利性，应该让位给更多的学术性了。

　　这一期几篇有关小数教学的文章，涉及了许多问题，其中最重要的是小数和分数的关系问题。以下的一些不同的思考，供大家探讨分析。

　　一、日常生活中小数比分数有用

　　小数是日常生活中最常用的数之一。学生离开学校以后，日常生活中几乎可以不接触分数，却不能离开小数。元、角、分的货币自不必说，老式的“几尺几寸、几斤几两”仍在使用。“0.5千克”、“身高1米63”等现代说法都离不开小数。至于分数，日常生活中几乎碰不到。我在医院问过好多位受过义务教育的护工同志：1/2加1/3等于多少？多数人说：忘了。究其原因，是因为日常生活中几乎不用分数。可是让他们做小数乘法，则基本都会。

　　二、小数有自己的概念系统，不能也不必都依赖于对分数的理解

小学数学教育界的一种流行观点是，小数教学要基于分数教学，否则是科学性错误云云。这未免耸人听闻。

　　这一期巩子坤等的文章，用细致的分析揭示学生错误的成因，是难得的具有实证意义的好文章。但是，该文反复强调分数教学对小数教学的重要性，我觉得未必精当。文章还建议“等学生对分数意义、分数表征有了更为透彻的理解后，再来学习小数乘法”。这意味着，没有分数就无法学好小数。确实，小数乃是一种特殊的分数。先出示分数，再叙述其特殊情形--小数，从一般到特殊，在逻辑上有其一定道理。但是教学安排却未必都要从一般出发。我们也可以从特殊推广到一般，正如先有自然数，再逐步推广到分数、实数一样。

　　文中还说，历史上分数已经完善地建立起来的时候，小数还是“襁褓中的婴儿”。这似乎也不尽然。中国商代已经有十进制的度量衡制度，这就是小数。而分数的记载，则出现在春秋时期。中国古代数学由于重视数值计算及其算法，特别崇尚小数。曾经盛行数百年的中国珠算则完全使用小数计算，可以不涉及分数的一般意义。

　　在实际教学中，小数因其具体而容易学，分数则因抽象而难以把握。为什么许多人把分数知识忘了，而小数计算依然会做，就是因为小数有其独立的价值体系。我见过俄罗斯的一种教材，就是先学小数，完全独立于后学的分数。

　　三、小数的本质在于“位置计数法”的拓展，而不在“十分之几”的表述，小数是将个、十、百、千等不断扩大的位置计数方式，朝着另一个方向（“不断缩小”的位置计数方式）加以延伸：即增加了十分位、百分位等新位置，使之成为更为完善的一种位置计数制度。

　　小数的教学，必须抓住这一总的线索展开。不要什么都回到分数意义上理解。巩子坤在文中提到，有些学生把小数8.2当作分数2/8或者带分数8(2/100)。这其实是分数和小数彼此干扰的结果。

　四、乘以纯小数的一个核心思想是缩小

相比于乘以正整数是越乘越大，乘以纯小数则是会越乘越小。这是一个非常基本的数学规律，也是一个极为有用的数学观念。当学生注意到乘以纯小数的意义，恰和乘以整数的意义相反后，也就不会有什么整数乘法的负迁移发生了。

　　而对于“小数倍”的说法，如“某企业资产是合并前的3.6倍”，小学生理解起来也并非难事。学生会很直观地认为，3.6倍比3倍多，不到4倍；3.6倍比3.5倍要多一点。所以，一个数n乘以0.3，应该允许说它是n的0.3倍。鉴于汉语中的“倍”通常指“放大”，目前还不习惯这样的说法。但是至少不要认为错，更不要扣分。

　　一个附带的感想是，数学的表达方式应该按照数学的需要与时俱进地有所发展。例如，分数运算只有“约分”，香港却还使用“扩分”作为约分的反运算，其实是有道理的。“倍”的使用也应该有所发展。相比较而言，汉语本身发展很快，诸如“给力”、“驴友”这样的词汇，本来都认为是“错的”，现在则登堂入室，成为正确的了。

　　五、多多使用小数的几何表示

应当及早在数轴上标出0.1，0.2，…和0.01，0.02，…其方法恰和刻度尺上标出的厘米、毫米相对应。尤其是，小数乘法的意义可以用边长为小数的矩形面积来表示。例如，考察以下情形：

　　1×1 =1 边长为1的正方形面积

　　1×0.1 =0.1 长为1、宽为0.1的矩形的面积

　　0.1×0.1 =0.01 边长为0.1的正方形面积（要扩充100倍才是单位正方形）

　　这样的直观考察，对于揭示小数的意义及其和整数的关系、在数轴上的位置、乘以小数的意义、乘纯小数越乘越小的规律、因数的小数点和积的小数点关系等性质，都很有帮助。顺便指出，小数的这些基本内容，也和分数没有太多的联系。

六、计算规律只需要做合理的解释

这一期陆顺昌的文章提到某教材要学生从计算实例出发，猜想出“几位小数乘整数，积也是几位小数”；方法是举例观察，用不完全归纳法得出结论，而且借助计算器计算加以强化。这样的教材设计，似乎不尽妥当。事实上，这样的计算规律，只需要做合理的解释就可以了。这样明摆的事实，何必猜想？猜想出来后又该如何证明？照该教材设计，要求用计算器大量计算例子，得出结论。但是，无论算多少例子归纳出的结论依然是不完全的，因而也算不得证明。无论如何，猜想出来以后总还得讲道理。讲道理就是证明。

　　七、小数乘法的竖式计算，也可以用扩大和缩小的“位置计数法”加以解释

小数乘法的竖式计算，其基本思想是先将每个因数乘上若干次的10，把计数位置前移几位，使之可以如同多位数整数乘法那样进行计算，最后将得到的结果同等地除以若干次的10，回到原位。这样想，就会很自然地将小数点放到适当的位置上。

综上所述，小数计算的特点，在于位置计数法的扩充，用乘以若干次的10扩大位数、除以若干次的10缩小位数的方式进行计算。利用几何表示进行诠释，则是可取的教学途径。这一切，和分数知识内容的关联其实并不大。